弹性力学例题

2. 按应力函数的形式，由σ y 推测Φ 的形式， 所以
σy
2Φ x 2
xf
( y),
Φ x
x2 2
f ( y) f1(y) ,
x3 Φ 6 f ( y) xf1(y) f2 (y).
3. 由相容方程求应力函数。代入 4Φ0,
得
x3 6
d4 f dy4
x
d4 f1 dy4
d4 f2 dy4
(h
y)2，
v F (h y)(1 3x )。
2Eb
2b
在顶点x=y=0，
Fh
(v)x y0
. 2Eb
例题5
图中矩形截面的简支梁上，作用有三 角形分布荷载。试用下列应力函数
Φ Ax3 y3 Bxy5 Cx3 y Dxy3 Ex3 Fxy,
求解应力分量。
ql
6o
y
qx l
ql
h/2
y
u0
,
v
F 2Eb
(
y
3xy 2b
)
x
v0 .
再由刚体约束条件，
u ( y )x0, yh
0,
得
3F 4Eb2
h；
(u)x0, yh 0,
得
u 3F h；
0 8Eb2
(v)x0, yh 0,
得
v0
F 2Eb
h.
代入u,v,得到位移分量的解答
u
F
2Eb
(x
3x2 4b
)
3F 8Eb2
(A y2 2Dy3) b/2 M , 得D 2M ;
2
-b/2
b3
h/2 h/2
(
xy
)x0
d
y
F，
(By Cy3) b/2 F，得B 1 Cb2 F 。 (b)
-b/2
4
b
再由(a),(b)式解出
C
2 b2
(q
F b
),
代入，得应力解答，
B1 (q 3F ).
2
b
σx σy
F b
例题1 例题2
例题3 例题4
例题5 例题6
例题7 例题8
Fs
M
o
FN
σ xτ xy
y dy
h/2
h/2
x
图l 3-5
y
(l h, 1)
解： 本题是较典型的例题，已经给出了应
力函数 Φ ，可按下列步骤求解。
1. 将Φ 代入相容方程，显然是满足的。 2. 将 Φ 代入式(2-24)，求出应力分量。
xy
q 4
(1 4
y2 l )(
h2 h
3
x2 lh
h 20l
y2
lh
).
读者试校核在x=l的小边界上，下列条 件是满足的，
h/2
(σ
h/2
x
)
xl
d
y
0，
h/2
(σ h/2
x
) xl
yd y0,
h/2
(
h/2
xy
)
xl
d
y
ql 3
.
例题6 矩形截面的柱体受到 顶部的集中力 2F 和 力矩M的作用，不计 体力，试用应力函数
度为 1 ，厚度
为b,图示,水的密
度为 2 ，试求
应力分量。
y
o
bb 22
2g
1g
x
解：用半逆解法求解。 1. 假设应力分量的函数形式。
因为在 y=-b/2边界上，σ y 0; y=b/2 边界 上， σ y 2gx ，所以可假设在区域内
σ y 沿x 向 也是一次式变化，即
σ y xf ( y)。
4
(c,d)
(e,f )
求解各系数，由
(a)+(b)
(a)-(b)
(c)-(d) (c)+(d)
得
b2 B
4
D
1 2
2 g,
得
A b3 8
C
b 2
1 2
2
g
,
得
A b3 8
C
b 2
1 2
2 g
,
得
A 3b2 C 0。
4
由此得
又有
A
2 b3
2 g,
C 3 2b
2 g.
(e)( f )得 (e)( f )得
(a) 其中A= 0，才可能成为应力函数；
(b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力 函数。
例题4
图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中 力F和力矩 M Fb 的作用，试用应力函数
2
Φ Ax3 Bx 2 ,
求解图示问题的应力及位移，设在A点的 位移和转角均为零。
F
Fb/2
O
x
bb h
A y (h b, 1)
解： 应用应力函数求解：
(1) 校核 相容方程 4Φ 0 ，满足.
(2) 求应力分量 ，在无体力时，得
σ y 6Ax2B, σx xy 0.
(3) 考察主要边界条件，
x b , 均已满足
σx 0, xy 0 ,
考察次要边界条件，在y=0上，
( xy ) y0 0,
),
y
F 2Eb
(1
3x 2b
),
xy 0。
(5) 求位移分量，
由 u x
x
F (1
2Eb
3x ), 2b
对x积分得
u
F (x
2Eb
3x2 ) 4b
f1( y);
由 v y
y
F (1 2Eb
3x ), 2b
对y积分得
v
F (y 2Eb
3xy ) 2b
f2 (x).
将u,v代入几何方程的第三式，
本题得出的应力解答是
σx
q
(arctan
y x
x
2
xy y
2
),
σy
q
(arctan
y x
x
2
xy y
2
),
xy
q
y2 。 x2 y2
例题8
试用应力函数
Φ q [
12ln(
x2
y2
)
xyarctan
y x
y2
],
求解图中所示的半平面体在x 0 的边界
2
x
d2 f dy2
0.
要使上式在任意的x处都成立，必须
d4 f d y4 0 ,
得 f Ay3 By2 CBaidu Nhomakorabea D;
d4 f1 d y4
2
d2 f d y2
0,
得
f1
A 10
y5
B 6
y4
Gy3
Hy2
Iy;
d4 f2 0 , d y4
得
f2 Ey3 Fy2.
代入Φ ，即得应力函数的解答，其中已 略去了与应力无关的一次式。
满足。
b
b (σ y ) y0 d x F,
得 B F ;
2b
b b
(σ y
) y0
x
d
x
Fb 2
,
得
A
F 8b2
。
代入，得应力的解答，
σ
y
F 2b
(1
3x 2b
),
σ x xy 0.
上述应力已满足了 4Φ 0 和全部边界条 件，因而是上述问题的解。
(4) 求应变分量，
x
F
2Eb
(1
3x 2b
Φ Ay2 Bxy Cxy3 Dy3
M
2F
45
y
o
b/2 b/2
hq
q
求解其应力分量。
(h b, 1) x
解：应用上述应力函数求解：
(1) 代入相容方程，4Φ 0, 满足。 (2) 求应力分量，在无体力下，
σ x A 6Cxy 6Dy, σ y 0,
xy (B 3Cy2 )。
3
h/2
x
l
(h l, 1)
解：应用上述应力函数求解：
(1) 将Φ 代入相容方程，
4Φ 0, 72A 120B 0, 得A 5 B。 3
由此，
Φ 5 Bx3 y3 Bxy5 Cx3 y Dxy3 Ex3 Fxy。 3
(2) 代入应力公式，在无体力下，得
σ x 10Bx 3 y 20Bxy3 6Dxy， σ y 10Bxy3 6Cxy 6Ex，
得
I
b 80
2g
b2 4
G
.
(h)
由式(g),(h)解出
I 8b0 2 g, G101b 2 g .
代入应力分量的表达式得最后的应力解答：
σx
22g
b3
x3 y
32 g
5b
xy
42g
b3
xy3
1gx,
σy
2 gx(2
y3 b3
2y 3b
1 2
);
xy
2gx2 (3
y2 b3
3 ) 4b
2 gy(
B b2 4
C b D) 0; 2
(b)
( xy ) yb / 2 0,得
x2
3b2 (A
Bb C)
24
( A b4 B b3 G 3b2 32 12 4
Hb I) 0.
由上式得到
A 3b2 Bb C 0 4
A b4 B b3 G 3b2 Hb I 0
32 12
σx 2B 6Cy 6Dxy,
σ y 0, xy ( A 3Dy 2 )。
3. 考察边界条件：
主要边界 y h / 2 上应精确满足式(2-
15),
(σ y ) yh / 2 0,
( ) xy yh / 2 0,
满足； 得 A 3 Dh2 0 . (a)
4
在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢 量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的 边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表
A 3Fs , 2h
D 2Fs . h3
最后一个次要边界条件(x=l上)，在平 衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件 下，是必然满足的，故不必再校核。
代入应力公式，得
σx
FN h
12 M h3
y
12Fs h3
xy,
σ y 0,
xy
3Fs 2h
(1 4
y2 h2 ).
例题2
挡水墙的密
示了负x面上的σx 和 xy 的正方向，由此得：
h/2
h/ 2 (σx )x0 d y FN ,
得 B FN ; 2h
h/2
h/2 (σx )x0 y d y M ,
得
C
2M h3
;
h/2
h/2 ( xY )x0 d y Fs ,
得
Ah 1 Dh3 4
Fs
.
(b)
由(a),(b) 解出
H 0， Ab4 G 3b2 I 0 .
32 4
代入A,得
I
b 16
2 g
3b2 4
G
.
(g)
在次要边界（小边界）x=0上，列出三 个积分的边界条件：
b/2
b/ 2 (σx )x0 d y 0,
得 F 0;
b/2
b/ 2 (σx )x0 y d y 0,
得 E0;
b/2
b/ 2 ( xy )x0 d y 0,
2Φ xy
x2 (3Ay2 2By C) 2
( A y4 2B y3 3Gy2 2Hy I ).
2
3
5. 考察边界条件：
主要边界 y b / 2 上,有
(σ y
)yb/2 2gx,得
x( A
b3 8
B
b2 4
C
b 2
D)
2 gx;
(a)
(σ y
) yb / 2
0, 得
x(A b3 8
y3 b3
3y 10b
b )。 80 y
例题3
已知
(a) Φ Ay2 (a2 x2 ) BxyC(x2 y2 ); (b) Φ Ax4 Bx 3 yCx2 y2 Dxy2 Ey4 ,
试问它们能否作为平面问题的应力函数？
解：
作为应力函数，必须首先满足相容方程，
将 Φ 代入，
4Φ 0.
v x
u y
xy
0。
两边分离变量，并全都等于 常数，即
d f2 (x) d f1( y) 3F y ,
dx
d y 4Eb2
从上式分别积分，求出
f2 (x) x v0 ,
f1 (
y)
3F 8Eb2
y2
y u0。
代入u,v, 得
u
F
3x2 3F
(x 2Eb
4b
) 8Eb2
y2
q(8h0l
l 4h
).
另两个积分的边界条件，
h/2
(σ h/2
x
)
x0
d
y
0,
h/2
(σ h/2
x
)
x0
yd
y
0.
显然是满足的。
于是将各系数代入应力表达式，得最后的 应力解答。
σx
2q
xy lh
(l2
x2 h2
2
y2 h2
3 ), 10
σy
q
x 2l
(1 3
y2 h2
4
y3 h3 ),
4. 由应力函数求解应力分量。将Φ代入式
(2-24) ,注f意x 1g, fy 0
， 体力求得应力分
量为σ x
2Φ y2
xf x
x3 ( Ay
B 3
x( 2Ay3 2By2 6Gy 2H ) (6Ey 2F) 1gx,
σy
2Φ x2
yf y
x( Ay3
By 2
Cy
D),
τ xy
(3)考察边界条件，在主要边界 ( y b / 2),
y b / 2, σ y 0, 满足；
xy q,
B 3 Cb2 q. 4
(a)
在小边界（ x= 0）
h/2
(σ
h/2
x
)
x0
d
y
F，
( Ay3Dy 2 ) b/2 F,得A F .
-b/2
b
h/2
h/2 (σx )x0 y d y M ,
5 Bh 2 3C q 。
(e)
4
2lh
由(5)-(1)得
B
q 5lh 3
,
C q 。 4 lh
(4) 考察小边界上的边界条件(x=0),由
h/2
(
h/2
xy
)
x0
d
y
ql 6
,
得
B h5 D h3 Fh ql .
16 4
6
（f）
由式(2)和(6)解出
Dq(
l 3h3
101lh
),
F
xy (15Bx 2 y2 5By 4 3Cx2 3Dy 2 F )。
(3) 考察主要边界条件 ( y h / 2),
y h / 2, xy 0, 得
x2 (3C 15 Bh 2 ) ( 5 Bh 4 3 Dh2 F ) 0。
4
16
4
对于任意的x值，上式均满足，由此得
3C 15 Bh 2 0,
(a)
4
5 Bh 4 3 Dh2 F 0。 (b)
16
4
y h / 2, y 0,
x( 5 Bh3 3Ch 6E) 0, 4
(c)
y
h/2,
y
q
x l
,x(
5 4
Bh
3
3Ch6E
)q
x l
.
(d)
由(3)+(4)得
E q 。 12l
由(3)-(4)得
0,
12 b2
(q
F b
)xy
12M b3
y,
xy
1 (q 2
3F b
)
6 b2
(q
F ) y2。 b
例题7
试用应力函数
Φ
q
2
[(
x2
y2
)arctan
y x
x y],
求解图中所示的半无限平面体在 x 0
的边界上受均布压力q的问题。
o
φ
x
y
解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量。