第14章第1节偏导数和全微分的概念

z f (x x, y y) f (x, y).
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§14.1 偏导数和全微分的概念
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)
可以表示为 z Ax By o( )，
其中 A, B不依赖于x、y而仅与 x、y有关，
定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0处有增量x时，
相应地函数有增量
z f (x0 x, y0) f (x0, y0)
如果 lim z lim f (x0 x, y0) f (x0, y0)
x x0
x0
x
存在，则称此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )
处对 x的偏导数，记为
斜率.
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§14.1 偏导数和全微分的概念
二、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
zx f (x x, y) f (x, y) fx(x, y)x
zy f (x, y y) f (x, y) f y( x, y)y
二元函数 对 x和对 y的偏增量
二元函数 对 x和对 y的偏微分
z f ( x, y0 )
M0
Tx Ty
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§14.1 偏导数和全微分的概念
几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点M0 处的切线M 0Tx 对x 轴的
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面x x0 所截得的曲线在点M0 处的切线M0Ty对y 轴的
，
z
y
或
f y(x, y).
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§14.1 偏导数和全微分的概念
偏导数的概念可以推广到二元以上函数.
例如，u f (x, y, z), 在 (x, y, z) 处，
f x ( x, y,z) lim
x0
f
( xx, y,z) x
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f ( x, yy,z) y
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§14.1 偏导数和全微分的概念
(x0 , y0 )
二元函数的图形通常是一张曲面.
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§14.1 偏导数和全微分的概念
z x
， f xx0 x
y y0
xx0 ， z x
y y0
xx0 或
y y0
f x ( x0 , y0 ).
f x
lim
xx0 x0
f ( x0 x, y0 ) x
f ( x0 , y0 ) .
Ch§a1p4t.e1r1偏4导. 偏数和导全数微和分全的微概分念
教学目的：
在多元函数极限和连续概念基础上,讨论 多元函数的偏导数和全微分及其在几何方面 的应用。为学习多元函数积分学奠定基础。
教学重点和难点：
多元函数的偏导数的概念
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Ch§a1p4t.e1r1偏4导. 偏数和导全数微和分全的微概分念
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y的偏导
数为

f
( x0 , y0 )
记为
z y
， f xx0 y
y y0
xx0 ， z y
y y0
xx0 或 f y ( x0 , y0 ).
y y0
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§14.1 偏导数和全微分的概念
0,
x2 y2 0.
在(0, 0)点 f x (0, 0) f y (0, 0) 0.
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
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§14.1 偏导数和全微分的概念
偏导数的几何意义
设 M0( x0, y0, f ( x0, y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点,
如图 z f ( x0, y)
教学内容：
§1. 偏导数和全微分的概念 §2. 求复合函数偏导数的链式法则 §3. 由方程（组）所确定的函数的求导 法 §4. 空间曲线的切线和法平面 §5. 曲面的切平面与法线 §6. 方向导数和梯度 §7. 泰勒公式
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§14.1 偏导数和全微分的概念
一、偏导数的定义
定义
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻域内有
如果函数z f ( x, y)在区域D内任一点( x, y)处对 x的
偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x、 y的函数，
它就称为函数z f ( x, y)对自变量 x的偏导数，记作
z x
，
f x
，
z
x
或
fx(x, y).
同理可定义函数z f ( x, y)对自变量 y的偏导数，记作
z y
，
f y
x
fx 0,1 1,
fx 1, 0 2;
f x 3 y2 , y
f y 0, 2 12,
f y 2, 0 2
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§14.1 偏导数和全微分的概念
在某一点偏导数存在与连续的关系:
一元函数中在某点可导
连续.
多元函数中在某点偏导数存在
连续.
例如如:
f
( x,
y)
xy x2 y2
,
x2 y2 0, ,
f
(x, y,z) ,
fz ( x, y,z) lim
z0
f
( x, y,zz) z
f
(x, y,z)
.
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§14.1 偏导数和全微分的概念
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。
求 f 时，只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 x 常量，对 x 求导数即可。
求
f y
时， 只要把 y
例2 求z x2 sin 2 y的偏导数.
解
z x
2xsin2 y;
z y
2x2cos2 y .
把 y 看成常量 把 x 看成常量
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§14.1 偏导数和全微分的概念
例3 设f
x,
y
xy
x2
y3 ,求 f
f ,
,
x y
并求fx 0,1, fx 1,0, f y 0,2 , f y 2,0.
解： f y 2x,
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§14.1 偏导数和全微分的概念
全增量的概念
如果函数z f ( x, y)在点 P( x, y)的某邻域内有定义，
设 P( x x, y y)为这邻域内的任意一点，则称 这两点的函数值之差 f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增量， 记为 z ，即
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
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§14.1 偏导数和全微分的概念
例 1 求z x2 3 xy y2在点(1, 2)处的偏导数．
解
z x
2x 3 y;
把 y 看成常量
z y
3x2y.
把 x 看成常量
z x
x1
y2
21 328,
z y
x1
y2
31 22 7.