锐角三角函数(课堂PPT)

铅 直 高 度
水平宽度
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梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
水平宽度
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梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
和B
A
1C C
1 1
有什么关系?
A
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
C C1
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结论：由相似三角形的性质得，只要∠A不变，那
么都有：
B C B 1C 1
AB =AB1
AC =AC1
AB AB1
B C B 1C 1
AC = AC1
B1
即在直角三角形中，当锐角A
B
取一定度数时，不管三角形的大
1
塔
垂
身
直
中
中
心
心
线
线
Ө
如果要你根据上述信 息，用“塔身中心线与垂直 中心线所成的角Ө（如图 ）“来描述比萨斜塔的倾斜 程度，你能完成吗？
从数学角度看，上述 问题就是：已知直角三角 形的某些边长，求其锐角 的度数，对于直角三角形 ，我们知道三边之间的关 系和两个锐角之间的关系 ，但我们不知道”边角之间 的关系“，因此，这一问题 的解答需要学习新的知识 。
∠A的邻边 斜边
A ∠A的邻边 C
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
1。锐角A的正弦、余弦、和正切叫做∠A的锐角三角函
数2。锐角的三角函数的值都是正实数，并且 0〈sin α〈1，
0〈cosα〈1 ，
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例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°AB=5,BC=3, 求 ∠A, ∠B的正弦,余弦和正切.
观察以上计算结果,你发现了什么?若AC=5,BC=3呢?
B 解：在Rt△ABC中,
A C A2 B B2C 5 2 3 2 4
A
C
因此
sin
A3
sin A cos B
5
cos A sin B
cos A 4 5
tan A • tan B 1
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tan A 3 4
sin B 4 5
cos B 3 5
C1
11
想一想
B
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形ABC有什么关系?
(2)
B A
C B
和B 1C 1
AB1
AC
,AB
AC 1
和AB1,
BC AC
和B
A
1C C
1有什么关系?
1
A
C
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
C1
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想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形ABC有什么关系?
小如何，∠A的对边与斜边的比是
一个固定值，叫做∠A的正弦，记
作sinA；邻边与斜边的比是一个
A
C
C1
固定值，叫做∠A的余弦，记作 cosA；对边与邻边的比是一个固
定值，叫做∠A的正切，记作tanA
。
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注意：三角函数的定义，必须在直角三角形中.
定 义
B
sinA
∠A的对边
斜边
斜边
∠A的对边 cosA
2
3
10m
10m
（1）
1m
5m
（2）4
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅
直
高
倾斜角
度
水平宽度
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梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
B
A
C
BC
B 1C 1 A C
AC 1
(2)A B 和 A B 1 , A B 和 A B 1 ,
BC AC
和B
A
1C C
1有什么关系?
1
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
C1
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想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形ABC有什么关系?
B
(2)
B A
C B
和B
A
1C B
意大利比萨尔塔在1350年 落成时就已倾斜，其塔顶 离中心偏离垂直中心线 2.1m，1972年比萨地区发 生地震，这座高54.5m的斜 塔在大幅度摇摆后仍巍然 屹立，但塔顶中心点偏离 垂直中心线增至5.2m，而 且还以每年增加1cm的速度 继续倾斜，随时都有倒塌 的危险。为此，意大利当 局从1990年起对斜塔进行 维修纠偏，2001年竣工， 使塔顶中心点偏离垂直中 心线的距离比纠偏前减少 了43.8cm。
的比＿越＿大＿＿＿
铅 直 高 度 水平宽度
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想一想
B
A
C
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形ABC有什么关系?
(2)
B A
C B
和 B 1C 1
AB1
,
A C 和 A C 1,
AB
AB1
BC AC
和 B 1 C 1有什么关系?
AC 1
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
tan B 4 3
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例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.
求:BC的长.
C
解：
sin
A
BC
200
AC
BC AC sin A
┌
A
B
200 0 6 120
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A
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求: sinB,cosB,tanB.
AB
BC sin A
20 4
25
5
┐
C
A
AC AB2 BC2 252 202 15
因此，△ABC的周长=25+20+15=60
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3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时
水平宽度
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梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
水平宽度
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梯子越陡——倾斜角＿越＿＿大＿＿
倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿越＿＿大＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿越＿＿小＿＿
倾斜角越大——铅直高度与水平宽度
1 1
,
AC AB
和A
A
C B
1 1
,
BC AC
和B 1 C 1有什么关系?
AC 1
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
A
C
C1
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想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形ABC有什么关系?
B
BC
B 1C 1 A C
AC1 BC
(2) A B 和 A B 1 , A B 和A B 1 , A C
5
5
解：过点A作AD垂直于BC于D.
B
┌ 6D
C
∵AB=AC=5 ∴BD=1/2BC=3
在Rt△ABD中 A D A2 B B2D 5 2 3 2 4
siB n4,coB s3,taB n4
5
5
3
20
2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20, sin A 4 .
5
求:△ABC的周长.
B
解： sin A BC AB