高数第十一章习题课

3、对坐标的曲线积分的计算法
定理 设P( x, y),Q( x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的参数方程为
x y
(t), 当参数t单调地由变
(t ),
到时,点M ( x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具有一阶连
续导数,且2(t ) 2(t) 0,则曲线积分
2.给出了计算二重积分的新方法.
3.给出了计算第二类曲线积分的新方法.
二重积分与区域边界曲线上的第二类曲线积分的关系。 二重积分与曲线积分的计算可以互转. 即面积分与线积分互化.
平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数,则曲线积分 LPdx 在QDd y内 与路径无关(只与起止点有关),或 L Pdx Qd y 0.
第二节 对坐标的曲线积分 1、存在条件：
当P(x, y), Q(x, y)在光滑曲线弧 L上连续时, 第二类曲线积分存在
P(x, y)dx 对坐标x的曲线积分 L
Q(x, y)dy 对坐标y的曲线积分 L
2、组合形式:
L P(x, y)dx LQ(x, y)dy L P(x, y)dx Q(x, y)dy
f ( x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt
( )
对弧长的曲线积分计算方法
一代、二换、三定限
代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，Βιβλιοθήκη Baidu
换：换弧微元 ds x2 y2dt
定限：定积分限，下限—小参数，t的下限. 上限—大参数, t的上限.
{P[(t), (t),(t)](t) Q[(t), (t),(t)] (t)
R[(t), (t),(t)](t)}dt
注： （1）在平行于x轴的线段上对坐标y的曲线积分
Q(x, y)dy 0, AB
（2）在平行于y轴的线段上对坐标x的曲线积分
P(x, y)dx 0.
CD
第三节 格林公式
L P( x, y)dx Q( x, y)dy存在, 且L P( x, y)dx Q( x, y)dy
{P[(t), (t)](t) Q[(t), (t)] (t)}dt
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
{P[(t), (t)](t) Q[(t), (t)] (t)}dt
c
L
注意：
1. 定积分的下限 一定要小于上限 .因为小弧段的
长度 si 总是大于零,从而要求ti 0.
2. f ( x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的.
推广 : 如果空间光滑曲线弧由参数方程
x (t), y (t), z (t) ( t )
给出,函数f (x, y, z)在上连续,则有
第一节 对弧长的曲线积分
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
对弧长的曲线积分的计算
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理 设函数f ( x, y)在L 上有定义且连续, L 的参数
方程为
x y
(t)
,
(t)
(
t
),
其中 (t)、
(t)
在[ ,
曲线积分化成参变量的定积分 方法： 一代、二换、三定限
代 将 L 的参数方程代入被积函数
换 dx '(t)dt, dy '(t)dt
定限 下限——起点参数值 上限——终点参数值
特殊情形
(1) L : y y(x), x起点为a，终点为b.
dy y(x)dx
则 L P(x, y)dx Q(x, y)dy
]
上具有一阶连续导数, 且2(t ) 2(t ) 0, 则曲线积
分 L f ( x, y)ds 存在, 且
f ( x, y)ds f [ (t), (t)] 2(t) 2(t)dt ( ).
L
两种特殊情形
1.L : y y( x),a x b.
视L为特殊的参数方程:
x x, y y( x),
y 1B
x4dx xydy ( y 0)dxdy
L
D
x y 1
DA
ydxdy
1
dx
1 x ydy 1 .
0
0
6
O
1x
D
第四节 对面积的曲面积分 化成二重积分
按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面 : z z( x, y)
Dxy 为 在 xoy 面上的投影,
则 f ( x, y, z)dS
的充要条件是 P Q 在D内恒成立.
y x
Q
D
(
x
p y
)dxdy
L
P( x,
y)dx
Q( x,
y)dy
练习 计算 x4dx xydy,其中L是以(0,0),(1,0),(0,1) L 为顶点的三角形区域的正向边界.
解 记L所围区域为 D,由格林公式
令P x4, Q xy,
P 0, Q y, y x
a x b.
f ( x, y)ds
b
f [x, y( x)]
1
y2( x)dx
(a b).
a
L
2.L : x x( y),c y d.
视L为特殊的参数方程:
y y, x x( y),
c y d.
f ( x, y)ds
d
f [x( y), y]
x2( y) 1dy
(c d ).
b
a {P[x, y(x)] Q[x, y(x)] y(x)}dx.
将曲线积分化为定积分时，下限的参数值对 应曲线起点，上限的参数值对应曲线终点．
x (t)
(3)
空间光滑曲线
:
y
(t
),
t起点 ,终点 .
z (t)
dx '(t)dt, dy '(t)dt, dz '(t)dt
P(x, y)dx Q(x, y)dy R(x, y)dz
定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L所围成, 函数P( x, y),Q( x, y)在D上具有一阶连续偏导数,
则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy,
其中L 是 D 的正向边界曲线.
公式
D
Q x
P dxdy y
L Pdx
Qdy 的重要意义:
1．格林公式的实质: 建立了二重积分与边
界曲线积分之间的联系.
f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2( x, y) zy2( x, y)dxdy;
Dxy
ds
“一投影、二代入、三变换dS”
2. 若曲面 : y y( x, z)
则 f ( x, y, z)dS f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2dxdz;