直角三角形相似的判定

分析：根据勾股定理， 由 AB AC ，就可推出
B
A B AC
AB
' '
'
'
'
'
C A′
A B AC B C

AC
' '

BC
' '
B′ C′
是真是假 练习一
谁是英雄
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°。依据下列各组条件判定 这两个三角形是不是相似，并说明为什么。 1、∠A=25°，∠B′=65°。 2、AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8。 3、AB=10，AC=8，A′B′=15， B′C′=9。
2、判定两个直角三角形相似有几种方法？
答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。
争先赛
填空：（填相似或不相似）
1、一个三角形有两个角分别是60°和35°， 另一个三角形的两个角分别是60°和85°， 那么这两个三角形 。 相似 2、一个三角形的三边分别是3、4、5，另 一个三角形的三边分别是6、8、10，那么 这两个三角形 相似 。
用。
3.射影定理：CD2=AD· BD;
C
AC2=AD· AB;BC2=BD· AB.
A
D
B
开启
智慧
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=90°， AB=10，AC=8，BC= 6 ；∠D=90°， EF=5，DE=4，DF= 3 ；这两个直 角三角形相似 。 问题：1、这两个直角三角形的已 知边（共四条）有什么关系？ 2、你是如何证明这两个直角三角 形相似的？
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探求
新知
4、AB=10，BC=6， A′B′=5， A′C′=______. 4
3a 5、AC：AB=1：3， A′C′=a, A′B′=_____
例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
求证：ΔACD ∽ ΔABC
∽ ΔCBD 。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。 C
射影定理
A D B
求证（2）AC2=AD · AB
BC2 =BD · AB
CD2=AD · DB
A
D
B
18
4 √2 12√2
分析：要使R t⊿ABC∽ R t⊿CDB 而题中已经知道R t⊿ABC的斜边和一直角边及R t⊿CDB 的斜边，利用今天讲的这个定理可知只须加上条件 = 即可。 a
C
b
A
B
D
学习小结
1、如何判定两个直角三角形相似呢？
答：一个锐角对应相等或两边对应
成比例的两个直角三角形相似。
2、直角三角形相似的判定定理的简单应
4.9直角三角形相似的判定
A
ห้องสมุดไป่ตู้A′
c b
B
a
∟
C
B′
C′
☞ 回顾与反思
1、到目前为止我们总共学过几种判定两 个三 角形相似的方法？
答(1）相似三角形判定的预备定理(平行线）
（2）两角对应相等的两个三角形相似。(AA)
（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)
（4）三边对应成比例的两个三角形相似。(SSS)
C
3、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC=
例2如图 CE交△ABC的高线AD于点O，交AB 于 E，且OC· BD=AB· OD，求证CE⊥AB
A
E O B D C
独立 作业
如图所示，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD 与a,b之间满足怎样的关系式时，⊿ABC∽ ⊿CDB？
练习二
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°。要使Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′，应 加什么条件？
55° 1、∠A=35° ，∠B′=________。 12 2、AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。 3 ，A′B′=10， A′C′=6。 3、AB=5，AC=___
3、一个三角形的两边分别是3和7， 它们的夹角是35°，另一个三角形 的一个角是35°，夹这个角的两边 分别是14和6，那么这两个三角 相似。 形 4、在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∠C=90°，AB=10，AC=8，BC= 6 °，EF=5， ∠D=90 DE=4， DF= ；这两个三角形 。 3 相似 ；
回味无穷
直角三角形相似判定定理
（HL)
如果一个直角三角形的斜边和 一条直角边与另一个直角三角 形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么这两个直角三角形 相似。
定理证明
☞
驰骋 战场
已知：如图所示，Rt⊿ABC与Rt⊿A′B′C′中，A ∠C=∠C′=90°， = 求证： Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′