直角三角形相似的判定
22.2.4直角三角形相似判定定理
A
A'B' A'C'
AB kA' B'，AC kA'C'
BC AB2 AC2
k 2 A' B'2 k 2 A'C'2
C
B
k A' B'2 A'C'2
A'
kB'C'
AB AC BC k A'B' A'C' B'C'
RtABC∽RtA' B'C'
C' B'
上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC，
求证：(1) AE是∠CAB的平分线； (2) AB•AF＝AC•AE.
C E
F
A
D
B
分析：(1)要证明AE是∠CAB的平分线，
只要证明RtΔACE∽RtΔADF即可
(2)要证明AB•AF＝AC•AE， 只要证明ΔACF∽ΔABE
C E
F
证明：
A
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°； (2) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8； (3) AB＝10，AC＝8，A'B'＝15，B'C'＝9．
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°；
A 25°
B' 65°
65°
C'
A'
C
B
∵ ∠B=∠B ∠C=∠C
∴ ΔABC∽ΔA'B'C'
两角分别对应相等的两个三角形相似.
相似三角形判定复习(三)
⇒△ABC∽△A'B'C'
直角三角形相似的判定: 直角边和斜边的比相等，两直角 三角形相似。
C' ∠C=∠C' =90 ⇒ Rt△ABC∽Rt△A'B'C' AB AC = A A'C' A' B '
o
A'
B'
C
B
二、探索题
1、条件探索型 、
维 要 严 密
如图， ABCD中 BC延长 7.如图，在□ABCD中，G是BC延长 线上一点，AG与BD交于点E,与 交于点E, 线上一点，AG与BD交于点E,与DC 交于点F 交于点 F ， 则图中相似三角形共 有（ ）
A． B． C． D． 3对 4对 5对 6对
A
D
E B
F C G
8.【04宁波】如图，已知点P是边长为 宁波】如图，已知点P 宁波 4的正方形 的正方形ABCD内一点，且PB=3 内一点， 的正方形 内一点 BF⊥BP垂足是 请在射线 上找一点 垂足是B请在射线 ⊥ 垂足是 请在射线BF上找一点 M，使以点 、M、C为顶点的三角形 ，使以点B、 、 ．为顶点的三角形 与△ABP相似 相似 D A 则BM= P
M F
2 C
2.如图， 2.如图，D是△ABC的AB边上的一点，已知 如图 ABC的AB边上的一点， 边上的一点 2 AB=12 AC=15， =12， AB， AC上取一点 上取一点E AB=12，AC=15，AD= 3 AB，在AC上取一点E， ADE与 ABC相似 相似， AE的长 的长。 使△ADE与△ABC相似，求AE的长。
三角形相似的判定条件
两角对应相等，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；三边对应平行，两个三角形相似；斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似；全等三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：全等三角形相似。
)。
直角三角形相似判定定理
直角三角形相似判定定理
一、定义法
如果两个直角三角形的三条边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
二、定理法
1.勾股定理：在直角三角形中，勾股定理表述了直角三角形的两条直角边的
平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形相似。
2.毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，毕达哥拉斯定理表述了直角三角形的
两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形相似。
三、斜边中线法
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
如果两个直角三角形的斜边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
四、两锐角对应相等
如果两个直角三角形的两个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。
五、夹边中线法
在直角三角形中，夹边上的中线等于夹边的一半。
如果两个直角三角形的夹边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
六、两边对应成比例且夹角相等
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个直角三角形相似。
七、两边对应成比例且夹边平行
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
八、两锐角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两锐角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
九、两角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
直角三角形相似
E
F
B
D
要证明AB•AF＝AC•AE，只要证明 ΔACF∽ΔＡＢＥ
证明
(1) C是 D 斜 A上 B边 的高 又 ∠CAE=∠EAB
AD A FC 9E 0 又 A A E D AA FC
ΔACF∽ΔABE
AE AC AF AD
AC AF AB AE
ΔAEC∽ΔAFD
AB•AF=AC•AE
直角三角形相似
初三数学组
序言
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AB
则△ABC≌ △A'B'C'
3）(SSS)
若
AB BCCA 1 A B BC C A
经典：相似三角形判定复习(一)
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' A
B'
C
B
二、例题欣赏
例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点， 连结C P ， (1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC? (2)AC∶AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?
解：(1)∵∠A＝∠A ∴ 当∠ACP＝∠B时, △ACP∽△ABC.
M为斜边BC中点
又 ∵ ∠DMA=
∴AM=BM=BC/2
∠AME
∴ ∠B= ∠MAD 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∴△MAD∽ △MEA ② ∵ △MAD∽ △MEA
∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE
AM ME ∴ MD =AM
即AM2=MD·ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
AA'BB'BB'CC'CC'AA'△ABC∽△A'B'C'
思考： 对于两个直角三角形，我们还
可以用“HL”判定它们全等。那么， 满足斜边的比等于一组直角边的比 的两个直角三角形相似吗？
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 A' 三角形相似。
∠C=∠C' =90o
C'
AC = A B A'C' A ' B '
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
A
2.△ABC中,∠ BAC是直角，过斜
D
B
E
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D,连AM. D A
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
两个直角三角形相似的判定
一直角三角形的三边分别为3，4， 5，另一直角三角形的两边分别为6， 8，则这两个直角三角形相似。
（ ×）
例1、 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90° ，AC=a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎 样的关系式时，△ABC∽△CDB？
∠B= ∠两角对应相等，两三角形相似。 B' 定理3： ∠A= ∠A' ∠B= ∠B' △ABC∽△A'B'C'
B
C
一、知识回顾
2．判定两个直角三角形全等的方法
有哪些？
▲判定直角三角形全等除“SAS”，“ASA”， “ AAS”“SSS”方法外，还有“HL”的方法，即有斜 边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等． 思考：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形是否相似呢？
随堂练习 2．已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，CD，C′D′分 别是两个三角形斜边上的高，且 CD∶C′D′=AC∶A′C′
请说明：△ABC∽△A′B′C′．
3.如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是 BC上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC， 求证：(1) AE是∠CAB的平分线； (2) AB•AF＝AC•AE。
直角三角形相似的判定
A
A′
c b
B
a
∟
C
B′
C′
一、知识回顾
1、相似三角形的判定定理： 定理1：三边对应成比例，两三角形相似。
AB BC CA △ABC∽△A'B'C' B' A' B' B' C' C' A'
相似三角形的判定一
ABC DEF相似三角形的判定(一)掌握相似三角形的判定方法：1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2、如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
3、如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
4、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 重点难点:相似三角形判定条件 【知识点回顾】 相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
即：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形。
（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ？ （2）当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．不相似，请说明理由。
，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上有222111A C B A C B ∆∆例1、如图，方格纸上的每个小正方形的边长都为1，下列图中的三角形与右图中的△ABC 相似的是（）。
例2、如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=6，AC=4，DA=8.AC平分∠BAD 吗？为什么？例3、方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：一是考查相似三角形的判定；二是考查利用相似三角形的性质解题；三是考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性，又能注重知识之间的综合性。
首先我们帮助学生突破相似三角形判定这个难点。
三角形相似的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形比值与比的概念比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1判定方法证两个相似三角形应该把表示对应顶点的`字母写在对应的位置上。
如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
知道了定义那么我们接下来就看看，三角形相似的判定的6种方法。
方法一(预备定理)平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
(这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)方法二如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
方法三如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似方法四如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似方法五(定义)对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形三个基本型Z型A型反A型方法六两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。
一定相似的三角形1、两个全等的三角形(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1)2、两个等腰三角形(两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。
)3、两个等边三角形(两个等边三角形，三角都是60度，且边边相等，所以相似)4、直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形(母子三角形)。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
两个直角三角形相似的判定定理
两个直角三角形相似的判定定理
两个直角三角形相似的判定定理是高中数学中的一个重要定理，主要用于解决与直角三角形相似性有关的问题。
本文将介绍两个直角三角形相似的判定定理及其证明，以及相似性在几何学中的应用。
1. 判定定理一：若一个直角三角形的两条直角边分别等于另一个直角三角形的两条直角边或者分别等于另一个直角三角形的一条非直角边和一条斜边，则这两个直角三角形是相似的。
对于判定定理一，我们需要使用勾股定理进行证明。
假设ΔABC和ΔDEF是两个直角三角形，并且AB=DE，AC=DF，BC=EF。
根据勾股定理可知：
AB²=AC²-BC² ，DE²=DF²-EF²
代入等式可得：
将等式左右两边同时加上BC²和EF²，可得：
因此，两个直角三角形ΔABC和ΔDEF是相似的。
a/sinB=b/sinA，c/sinE=d/sinF
BC=EF
a/b = c/d
两个直角三角形相似的判定定理在几何学中的应用十分广泛。
例如，在三角形相似问题中，我们可以使用判定定理一得出两个直角三角形之间的相似性，从而进一步解决整个问题。
此外，这个定理还可以应用于计算机视觉、机器人学、虚拟现实等领域。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法有：
平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似、
假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似、
假如两个三角形的两组对应边的比相等，同时相应的夹角相等，那么这两个三角形相似、
假如两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似、
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似、
直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，同时分成的两个直角三角形也相似、。
3.3 (第六课时)相似三角形的判定(直角三角形)
解答
1，当AC与BC，BC与BD对应时：RtΔABC∽RtΔCDB （过程略） 2，如图： ABC CDB 90
当 AC BC
2
( BD
b
2
)
a
AB BD
时，
ΔABC∽ΔBDC，
A
a b
B
C
即当
a b
a b BD
2
时，
ΔABC∽ΔBDC，
BD
b a b
（ ×）
练习
1. 已知在Rt△ABC与Rt△ A B C 中，∠C =∠C′= 90°， AC=3cm，BC=2cm， C = 4.2cm，B C = 2.8cm. A 求证：△ A B C ∽△ABC.
∵ 证明： A C = 5 , B C = 5 . A C 7 B C 7 C = C = 9 0 ,
还可以根据相似三角形 的判定定理3，来证明这两 个直角三角形相似.
图3-22
说一说
把例1中的 改成任意一个正数k，Rt△ A B C 与 Rt△ABC相似吗？由此你能得出什么结论？
如图3-22在 Rt△ABC 与 Rt△ A B C 中， ∠C =∠C ′= 90°，且 A B A C k AB AC 求证：△ A B C ∽△ABC.
本节内容 本课内容 3.3
相似三角形的性质和判定
相似三角形判定方法
1、(定义法)三个角对应相等,且三条边对应成比例的 两个三角形叫作相似三角形. 2、（判定定理1）三边对应成比例的两个三角形相似。 3、（判定定理2）两角对应相等的两个三角形相似。 4、（判定定理3）两边对应成比例且夹角相等的两 个三角形相似
直角三角形相似的判定1
（1）画图；
A A’
（2）参照图形写出已知；
已知，在△ABC与△A’B’C’中，
∠C= ∠C’=RT ∠,
C
B C’ B’
（3）参照图形写出求证； 求证： △ABC∽△A’B’C’
（4）写出证明过程。
已知，在△ABC与△A’B’C’中， A
∠C= ∠C’=RT ∠,
A’
求证： △ABC∽△A’B’C’。
AB AC AB AB AC AB AC A' B ' A'C ' A' B ' A' B ' A'C ' A' B ' A'C '
AB 0 A'B'
BC B 'C '
AB 2 A' B '
AB A'B'
AB A'B'
AC A'C '
BC B 'C '
ADB ODC Rt
} △ABD ∽ △COD
∠BAD= ∠ OCD ∠AOE= ∠ COD
∠AEO= ∠ CDO=Rt ∠
CE⊥AB
练习：
1.找出例2图中的各对相似的直角三角形。 2 .如图， ∠DEB= ∠ACB=Rt ∠，DE=2，AB=5，
BC=3，BD=2.5,求证：AB平分∠DBC。
C B C’ B’
证明:C C ' RT
Hale Waihona Puke BC AB2 AC2 B'C ' A' B'2 A'C '2
《怎样判定三角形相似》 知识清单
《怎样判定三角形相似》知识清单在数学的世界里，三角形相似是一个重要的概念，能够帮助我们解决许多与几何图形相关的问题。
那么，怎样判定三角形相似呢？下面就来给大家详细介绍一下。
一、定义法如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是三角形相似最基本的定义，但在实际应用中，直接通过定义来判定往往比较复杂。
二、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似这是一个非常实用的判定方法。
例如，在一个三角形中，如果有一条直线平行于其中的一边，并且与另外两边相交，那么所形成的新三角形就和原来的三角形相似。
三、三边成比例的两个三角形相似假设两个三角形的三条边分别为 a、b、c 和 A、B、C，如果 a/A ＝b/B ＝ c/C，那么这两个三角形相似。
为了更好地理解这个判定方法，我们可以通过实际测量和计算来验证。
比如，有两个三角形，一个三角形的三边分别为 3、4、5，另一个三角形的三边分别为 6、8、10。
通过计算可以发现 3/6 ＝ 4/8 ＝ 5/10 ＝ 1/2，所以这两个三角形相似。
四、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似当两个三角形中有两条边对应成比例，并且它们的夹角相等时，这两个三角形相似。
比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF，AB/DE ＝ AC/DF，且∠A ＝∠D，那么三角形 ABC 就和三角形 DEF 相似。
这里需要特别注意的是，一定要是夹角相等，如果不是夹角相等，就不能判定两个三角形相似。
五、两角分别相等的两个三角形相似如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
比如在三角形 MNO 和三角形 PQR 中，∠M ＝∠P，∠N ＝∠Q，那么三角形 MNO 就和三角形 PQR 相似。
这个判定方法是比较常用的，因为在很多情况下，通过角度的测量和比较相对比较容易。
六、直角三角形相似的判定1、斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似对于直角三角形，如果斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的判定简写
相似三角形的判定简写相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。
判定两个三角形是否相似，可以使用简写的方式，即使用比例关系的符号表示。
下面是相关参考内容的简写表示。
1. 直角三角形的相似判定：若存在两个直角三角形ABC和DEF，若∠B = ∠E = 90°，并且AB/DE = AC/DF = BC/EF，则三角形ABC和DEF相似。
2. 三边定理的相似判定：若存在两个三角形ABC和DEF，若AB/DE = AC/DF =BC/EF，则三角形ABC和DEF相似。
3. 根据角的相等：若存在两个三角形ABC和DEF，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = AC/DF = BC/EF，则三角形ABC和DEF相似。
4. 根据边的比例：若存在两个三角形ABC和DEF，若AB/DE = AC/DF =BC/EF，并且∠A ≠ ∠D，∠B ≠ ∠E，∠C ≠ ∠F，则三角形ABC和DEF相似。
5. 根据边长的比例：若存在两个三角形ABC和DEF，若AB/DE = AC/DF ≠ 1，或者AB/DE = BC/EF ≠ 1，或者AC/DF = BC/EF ≠ 1，则三角形ABC和DEF相似。
6. 边角关系的相似判定：若存在两个三角形ABC和DEF，若∠A = ∠D，并且AB/DE = AC/DF = BC/EF，或者∠B = ∠E，并且AB/DE = AC/DF = BC/EF，或者∠C = ∠F，并且AB/DE = AC/DF = BC/EF，则三角形ABC和DEF相似。
上述是一些相似三角形判定的简写表示，可以通过比较两个三角形的角度和边长之间的关系来确定它们是否相似。
通过字母代替具体的数值，可以方便地应用于不同具体问题中。
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教学目标
1、使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.
2、类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.
3、通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.
4、通过学习培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.
重点难点
即=,CD=.
BD2=a2-()2,BD=.
答:当BD=或BD=时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似.
三、练习新知
师:请同学们看课本84页练习1后回答.
生甲:△ABF和△ACE.
生乙:△EDB和△FDC.
师:下面请同学们完成第2题.
证明:(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形.
师:已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例,你能判断这两个直角三角形是否相似吗?
学生思考、讨论后回答.
师:我们知道了哪些条件?
生甲:两个直角对应相等.
生乙:两边对应成比例.
师:你再添加什么条件就能证出这两个三角形相似呢?
生:还有剩下的一边也是对应成比例的.
∴=(相似三角形的对应边成比例).
∵BC2=AB·BD(比例的基本性质).
∴∠A=∠A(公共角).
∠ACB=∠ADC,
∴△ABC∽△ACD(两角对应相等的两个三角形相似).
∴=(相似三角形的对应边成比例).
∴AC2=AB·AD(比例的基本性质).
师:很好!现在请同学们看第3题.
学生计算后回答,然后集体订正得到:
2.例题.
教师多媒体课件出示:
【例】 如图,∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b.问当BD与a、b之间满足怎样的函数表达式时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似?
解:∵∠ABC=∠CDB=90°,
当=时,△ABC∽△CDB.
即=,BD=.
又当=时,△ABC∽△BDC,
第3题图
第4题图
4.如图,正方形ABCD的边长为4,AE=MN=2,那么当CM=时,Rt△ADE与Rt△MNC相似.(M为BC边上的动点,N为CD边上的动点)
5.如图,长梯AB靠在墙壁上,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,量得BD的长为55cm,请你求出梯子的长.
五、课堂小结
师:直角三角形相似的判定除了本节定理外,前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用,所以在证明两个直角三角形相似时不要忘了用证任意三角形相似的方法,在做题时要灵活选用合适的方法.
1、重点：直角三角形相似定理的应用.
2、难点：了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.
教学过程
一、复习引入
师:我们学习了几种判定三角形相似的方法?
学生回答:5种.
师:哪5种?
教师找一名学生回答,另一名或两名学生补充完善.
师:其中判定定理1、2、3的证明思路是什么?
生:作相似证全等或作全等证相似.
五、布置作业
习题22.2第9、10题
教学反思
教师在讲解例题时,应指出要使△ABC∽△CDB,应有点A与C,B与D,C与B成对应点,对应边分别是斜边和一条直角边,还可提问:
(1)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC∽△BDC?
(答案:当=时△ABC∽△BDC,即=,BD=.因此,当BD=时,△ABC∽△BDC)
师:你回答得太好了!现在请同学们写出具体的步骤,然后与课本上的对照,将不完善的地方改正.
学生证明并修改.
证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.
∵BC===k=kB'C',
∴===k,
∴△ABC∽△A'B'C'.
师:所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理:
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
解:(1)相似.证明如下:
∵BC===6,
∴==,==,
∴=,
∴这两个直角三角形相似.
(2)相似.证明如下:
∵A'B'===15,
∴==,==,
∴=,
∴这两师:经过刚才的了解,同学们掌握得怎么样呢?让我出几道题目来考考大家.
1.小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练,在用枪瞄准点B时要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A'.若OA=0.2m,OB=40 m,AA'=0.0015m,则小明射击到的点B'偏离目标点B的长度BB'约为( )
A.3m
B.0.3m
C.0.03m
D.0.2m
2.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判断它们相似的是( )
A.∠A=∠B'
B.AC=BC,A'C'=B'C'
C.AB=3BC,A'B'=3B'C'
D.△ABC中有两边长为3、4,△A'B'C'中有两边长为6、8
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过点E作EF⊥AB于点F,则AF=.
∴∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠A=∠BCD(同角的余角相等),
又∠ADC=∠CDB=90°,
∴△ADC∽△CDB(两角对应相等的两个三角形相似).
∴=(相似三角形的对应边成比例).
∵CD2=AD·BD(比例的基本性质).
(2)∴∠B=∠B(公共角),
∠ACB=∠CDB,
∴△ABC∽△CBD(两角对应相等的两个三角形相似).
师:同学们还记得什么是“勾股定理”吗?
生:记得.
师:请你叙述一下.
学生回答.
二、共同探究,获取新知
1.推理证明.
师:判定两个直角三角形是否全等时,除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法,那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢?
教师多媒体课件出示:
如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=,判断Rt△ABC与Rt△A'B'C'是否相似,为什么?
师:为什么要这样添加呢?
生:因为添加了这个条件,就可以根据三边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似了.
师:那么你怎么证明它们也是对应成比例的呢?
学生思考.
生:设==k,则AB=kA'B'.AC=kA'C'.根据勾股定理BC可以用含AB、AC的式子表示,进而可以用含A'B'的式子表示,再用勾股定理就得到BC=kB'C',所以就得到了三边对应成比例,这两个三角形相似.