1-3 逆矩阵

1 4
1 1
| A|
5 3 1
所求逆变换为
x1 x2
2 6
y1 y1
y2 y3 4 y2 y3
x3 5 y1 3 y2 y3
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❖ 定理1 设 A, B 为 n 阶方阵, 若 AB E, 则 A, B 可逆, 且
A1 B, B1 A
证明 由 AB E, 得 | A | | B | 1, 于是 | A | 0, | B | 0,
M M
ann
An1
L
An1
M | A|E
Ann
AA | A | E A A | A | E
A11 L
M
An1
L
An1 a11 L
M M
Ann
an1
L
a1n
M | A| E
ann
❖ 伴随矩阵
设 Aij 为 n 阶方阵 A 的 (i, j) 元的代数余子式, 记
A11 A21 L
例3
求线性变换
y1 y2
x1 x1
2 x2 3 x2
3 x3 4 x3
的逆变换.
y3 2 x1 x2 2 x3
解 线性变换的系数矩阵
1 2 3
2 1 1
A 1 3 4 , A 6 4 1
2 1 2
5 3 1
| A| 1 2 2 6 3 (5) 1
A1
1
2 A 6
从而 A O, 与 | A | 0 矛盾.
注: 当 | A | 0 时, A( 1 A ) ( 1 A )A E
| A|
| A|
记
A1
|
1 A|
A , 则 AA1
A1A
E
( A )1 | A |1 ( A ) ( A )1 A E
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二、逆矩阵
❖ 逆矩阵 如果存在矩阵 B, 使 AB BA E
ain Ajn
|
A |, 0,
i j i j
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代数余子式的性质可写成两个矩阵等式
a11 L
M
an1
L
a1n A11 L
M M
ann
An1
L
An1
M | A|E
Ann
A11 L
M
An1
L
An1 a11 L
M M
Ann
an1
L
a1n
M | A| E
§1.3 逆矩阵
一、伴随矩阵 二、逆矩阵
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一、伴随矩阵
设 A (aij) 为 n 阶方阵, Aij 为元素 aij 的代数余子式, 由 Laplace 定理知
a11 L M an1 L
a1, j1 b1 a1, j1 L MMM
an, j1 bn an, j1 L
a1n M b1 A1 j b2 A2 j L bn An j ann
| A|
记
A1
|
1 A|
A , 则 AA1
A1A
E
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2 2 3
例1 设矩阵 A 1 1 0 , 求 A1 .
1 2 1
解
A11
1 2
0 1
1,
A21
2 2
3 1
4,
A31
2 1
3 0
3
A12
1 1
0 1
1,
A22
2 1
3 1
5,
A32
2 1
3 0
3
A13
1 1
1 2
4 2 3
例2 设 A 1 1 0 , 且 AX A 2X, 求 X.
1 2 3
解 由 AX A 2X, 得 ( A 2E ) X A,
2 2 3
1 4 3
A 2E 1 1 0 ,( A 2E) 1 5 3
1 2 1
1 6 4
| A 2E | 2 (1) 2(1) 31 1
因此 A, B 可逆. 等式 E AB 两边左乘 A1 及右乘 B1, 得
A1 A1( AB) ( A1A)B B
B1 ( AB)B1 A(BB1) A
例4 设 A3 O, 证明 (E A)1 E A A2
证明
(E A)(E A A2 ) E A3 E
因此 (E A)1 E A A2
ann
❖ 代数余子式的性质
a1i A1 j a2i A2 j L
ani Anj
|
A |, 0,
i j i j
ai1Aj1 ai2 Aj2 L
ain Ajn
|
A |, 0,
i j i j
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代数余子式的性质可写成两个矩阵等式
a11 L
M
an1
L
a1n A11 L
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❖ 定理1 设 A, B 为 n 阶方阵, 若 AB E, 则 A, B 可逆, 且
A1 B, B1 A
例5 设方阵 A 满足关系式 A2 2A 4E O, 证明 A 2E 可逆, 并求其逆.
提示 A2 2A 4E ( A 2E)A 4A 4E
( A 2E)A 4( A 2E) 4E
| A|
记
A1
|
1 A|
A , 则 AA1
A1A
E
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• 如果 | A | 0, 那么称方阵 A 为非奇异矩阵. • 如果 | A | 0, 那么称方阵 A 为奇异矩阵.
❖ 逆矩阵计算公式
非奇异矩阵 A 可逆, 且其逆矩阵为 A1 1 A ( A | A | A1) | A|
注: 当 | A | 0 时, A 可逆, 方程组 Ax b 有唯一解
因此
x A1b
1
A11 M
L
|
A
|
A1n
L
An1 b1
M M
Ann
bn
xj
|
1 A|
(b1 A1 j
b2 A2
j
L
bn Anj )
( j 1, 2,L
, n)
a11 L a1, j1 b1 a1, j1 L a1n
那么称方阵 A 为可逆的, 并称 B 为 A 的逆矩阵. • 方阵 A 可逆时, 其逆矩阵唯一, 记为 A1. 证明 设 C 也为方阵 A 的逆矩阵, 则 E AC, 于是
B B( AC) (BA)C EC C
注: 当 | A | 0 时, A( 1 A ) ( 1 A )A E
| A|
( A 2E)( A 4E) 4E
证明 ( A 2E)( A 4E) A2 2A 8E 4E
( A 2E)(E 1 A) E 4
因此 A 2E 可逆, 且 ( A 2E)1 E 1 A 4
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❖ 逆矩阵的性质 设 A, B 为 n 阶可逆矩阵, 则有下列性质:
| (3 A)1 1 A | | 1 A1 | A | A1 |
3
3
3
| 1 A1 | 1 | A1 | 1
3
27
54
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习题1-3
作业
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当 i j 时, 取 b1 a1i , , bn ani , 则 i, j 列相同, 于是 a1i A1 j a2i A2 j L ani Anj 0, i j
❖ 代数余子式的性质
a1i A1 j a2i A2 j L
ani Anj
|
A |, 0,
i j i j
ai1Aj1 ai2 Aj2 L
(1) ( A1)1 A; (2) (kA)1 k1A1 (k 0);
(3) ( AB)1 B1A1;
(4) ( AT )1 ( A1)T; (5) ( A )1 ( A1) 1 A.
| A|
(3)的证明 ( AB)(B1A1) A(BB1)A1 AA1 E
(5)的证明 ( A )1 (| A | A1)1 | A |1 A
证明 由(1)两边取行列式, 得 | A | | A | | A |n | E | | A |n
当 | A | 0 时, 由上式即得(2). 当 | A | 0 时, | A | 0: 若不然, 则 (A )1 存在, 于是 A [( A )1 A ]A ( A )1 A A ( A )1O O
( A1) | A1 | ( A1)1 | A |1 A
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例6 已知 A 为三阶方阵, 且 | A | 2, 求 | 2A1|, | A | 和 | (3A)1 1 A | .
3 解 | 2A1 | 8 | A1 | 8 4
| A| | A | | A |2 4
1,
A23
2 1
2 2
6,
A33
2 1
2 1
4
| A | a11 A11 a12 A12 a13 A13 2 (1) 2 (1) 31 1
1 4 A 1 5
3 3 ,
A1
1
1 A 1
4 3 5 3
1 6 4
| A | 1 6 4
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• 设 A 可逆, 则矩阵方程 AX B 有唯一解 X A1 B. • 设 A 可逆, 则矩阵方程 XA B 有唯一解 X BA1 .
( A 2E)1
1
1 4 3
( A 2E) 1 5 3
| A 2E |
1 6 4
3 8 6
X ( A 2E)1 A 2 9 6
2 12 9
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• 设 A 可逆, 则矩阵方程 AX B 有唯一解 X A1 B. • 设 A 可逆, 则矩阵方程 XA B 有唯一解 X BA1 .
A
A12 M
A1n
A22 M
A2n
L L
An1
An2 M
Ann
称 A 为方阵 A 的[转置]伴随矩阵.
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❖ 伴随矩阵的性质
(1) (2)
n 阶方阵 A 的伴随阵 A 具有下列性质: AA A A | A | E; | A | | A | n1 .
AA | A | E A A | A | E
记
Dj M
MMM
M
an1 L an, j1 bn an, j1 L ann
b1 A1 j b2 A2 j L bn An j
则
xj
Dj | A|
( j 1, 2,L
, n)
—— Cramer 法则
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• 设 A 可逆, 则线性变换 y Ax 的逆变换为 x A1 y.
• 可逆方阵 A 为非奇异矩阵, 且 | A1 | | A |1.
证明 由 AA1 E, 得 | A | | A1| 1. 于是 | A | 0, 方阵 A 为非奇异矩阵, 且 | A1 | | A |1 .
注: 当 | A | 0 时, A( 1 A ) ( 1 A )A E
| A|