第十二章无穷级数例题课件知识分享

逐项积分后所得到的幂级数和原级数 具有相同的收敛半径。
３．性质３ 幂级数 a n x n 的和函 n0
数 S x 在其收敛区间 R, R 内可
导，且有逐项求导公式。
S x a n x n 'a n x n'n a n x n 1x R
n 0 n 0
n 1
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有 相同的收敛半径。
例7．把函数
fx1xln1x
展开成 x 的幂级数。
例8．将函数 s i n x 展开成 x 4
的幂级数。
例9．将函数
f
x
x2
1 4x3
展开成 x 1 的幂级数。
例10．将
fxxarctanxln1x2
x 展开为 的幂级数。
例11．求级数 的值。
则级数 u n 收敛。 n 1
例５．判定级数
n 1
ln
1
1 n2
的收敛性。
例６．判定级数
n1
n11cosn
的敛散性。
例7．判别下列正项级数的敛散性
ln n
n1 2 n 3 1
例8．判别正项级数
n 1
1 n 0
sin 1
x
x
3
dx
的敛散性。
4．定理4（比较审敛法，达朗贝尔判别法）
是发散的。
§1２－２常数项级数的审敛法 2．定理2（比较审敛法）
（1）定理
设
un和
vn
都是正项级数，且
n 1
n 1
unvnn1,2, 若级数 v n 收敛，
则级数
n 1
u n 收敛，反之，若级数
un
n 1
n 1
发散，则级数
vn
发散。
n 1
例２．证明级数
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1
n1 n n 1
是发散的。
n
且级数
v n 发散，则级数 u n 发散。
n 1
n 1
例４． 判定级数 的收敛性。
1
sin
n 1
n
(2)推论（极限审敛法） 设
un 为
正项级数
n 1
① 如果 ln i m n u n l 0或 ln i m n u n
则级数 u n 发散。 n 1
②如果 p 1 ,而 ln i m n p u n l0 l
2 n
1
3 ln n
n 1
,
2
n1
nn bn
2n1n
b 0
例1３．判别交错级数
n1
1
1
en
1
n1
的敛散性。
例1４．设正项数列 a n 单调减少，
且
n 1
1
n
an
发散，试问
n1
1 n
an
1
是否收敛，并说明理由。
例1５．判别级数 s i n n n2 n 1
由此性质不难得知幂级数 a n x n n0
的和函数 S x 在其收敛区间 R, R
内具有任意阶导数。
例9．求幂级数 的和函数。
x n
n0 n 1
例10．求幂级数 n n 1x n n 1
的和函数。
例11．求级数 的和。
2 n 1 2n
n 1
§1２－4 函数展开成幂级数
(2)推论：设 un和 vn 都是正项级数，
n 1
n 1
如果级数 v n 收敛，且存在正整数N， n 1
使当 nN 时 有 u n k v nk 0 成立，则级
数 u n 收敛，如果级数 v n 发散，且当
n 1
n 1
nN 时 有 u n k v nk 0 成立，则级数
un
n 1
发散。
例３．讨论Ｐ一级数
设
u n 为正项级数，如果 limun1 ,则当1
n 1
u n n
时级数收敛；
1或lni muunn1
时级数
发散； = 1 时级数可能收敛也可能
发散。
例9．证明级数
111 1 1 1.2 1.2.3
n 11!
是收敛的，并估计以级数的部分和
S n 近似代替和S所产生的误差。
例10．判定级数
11.21.2.3 n!
和函数 S x 在其收敛域 I 上
连续．
２．性质２ 幂级数 a n x n 的和 n0
函数 S x 在其收敛域 I 上可积，
并有逐项积分公式。
0 xSxd x0 x n 0 a n x n d x n 00 xa n x n d x n 0n a n 1 x n 1x I
1
11
1
n1np12p3p np
的收敛性，其中常数 p 0 。
3、定理3 （比较审敛法的极限形式）
（1）定理 设 un和 vn 都是正项级数，
n 1
n 1
①如果
limun l0l
v n n
且级数 v n n 1
收敛，则级数 u n 收敛。
n 1
②如果
limun v n
n
l0或limun=+ v n
例1．将函数 f x ex
x 展开成 的幂级数。
例2．将函数 f x sinx
x 展开成 的幂级数。
a x 例３．将函数 x 展开成 的幂
级数 a 0 。
x 例４．将函数 cos x 展开成
的幂级数。
x 1
例５．将函数
1
x2
展开成
的
幂级数。 例6．将函数
fxln1x
x 展开成 的幂级数。
10 102 103
10n
的收敛性。 。
5．定理5（根值审敛法，柯西判别法）
设
u n 为正项级数，如果
n 1
lim n
n
un
，
则当 < 1 时级数收敛，1或 lni m nun
时级数发散， 1 时级数可能收敛，
也可能发散。
例11．判定级数 的收敛性
2 1n
n 1
2n
例1２．判别下列正项级数的敛散性
的收敛性。
例１6．判别级数
n1
n
1
1 2n
1
1n2 n
的敛散性。
例１7．判别级数
n1
1
1
en
1
n1
的敛散性。
§1２－3 幂级数
例１．求幂级数
xx2x3 1n1xn
23
n
的收敛半径与收敛域。
例２．求幂级数
1x1x2 1xn
2!
n!
的收敛域。
例３．求幂级数 的收敛半径。
n!xn
n0
例４．求幂级数 的收敛域。
第十二章 无穷级数 §1２－１常数项级数的概念和性质 例1．无穷级数
aqnaaqaq2 aqn
n0
叫做等比级数(又称为几何级数),其中
a 0, q 叫做级数的公比,试讨论该
级数的收敛性。
例2.判别下列各级数的收敛性
1 n 1n n1！ ,2 n 1ln11 n.
例3．证明：调和级数 1 n1 n
n 1
2n n2
xn 1
例５．求幂级数
的收敛半径。 例6．求幂级数
n0
2n ! n !2 x
2
n
n1 n 2nx2n
n1
的收敛域。
例7．求幂级数 的收敛域。
x 1 n
n 1 2 n.n
例8．求幂级数
的收敛域。
1
x
1
n
n1 n x
四、幂级数的和函数的性质
1．性质１ 幂级数 a n x n 的 n0