现代数学基础作业

摘要

近世代数即抽象代数，产生于十九世纪，在20世纪沿着各个不同方向展开，是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。包含有群论、环论、线性代数等许多分支,并与数学其它分支相结合产生新的数学学科,已经成了当代大部分数学的通用语言。对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要影响。

本文简单的介绍了近世代数的产生、发展，并以分子结构问题及开关线路问题等具体问题来说明近世代数的应用。

关键词：近世代数抽象理论应用

目录

摘要 (1)

1近世代数的产生与发展 (1)

2近世代数的应用 (6)

2.1分子结构的问题。 (6)

2.2开关的线路的计算问题 (7)

2.3近世代数与其他课程结合应用 (7)

参考文献 (8)

1近世代数的产生与发展

近世代数即抽象代数，产生于十九世纪。抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集,例如向量、矩阵超数、变换等,这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定,而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来,并因此而达到更高层次,这就诞生了抽象代数。抽象代数,包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支,并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

近世代数对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响，在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。后来凯莱对群作了抽象定义，在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，但没有引起反响。直到1878年，凯莱写了抽象群的四篇文章，引起了世人注意。1874年，挪威数学家索甫斯·李在研究微分方程时，发现某些微分方程的解在一些连续变换群下是不变的，一下子接触到连续群。1882年，英国的冯·戴克把群论的三个主要来源方程式论，数论和无限变换群纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念。20世纪初给出了群的抽象公理系统。

群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开。例如，找出给定阶的有限群的全体。群分解为单群、可解群等问题一直被研究着。有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决。伯恩赛德曾提出过许多问题和猜想。如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群？并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的。前者至今尚未解决，后者于1963年解决。舒尔于1901年提出有限群表示的问题。群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出。

抽象代数的另一方向是域论。1910年施泰尼茨发表《域的代数理论》，成为抽象代数的重要里程碑。他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了任意的域可由其素域经扩张而得。

环论是抽象代数中较晚成熟的。尽管环和理想的构造在19世纪就出现了，但抽象理论却完全是20世纪的产物。韦德伯恩《论超复数》一文中，研究了线形结合代数，

这种代数实际上就是环。环和理想的系统理论由诺特给出。她开始工作时，环和理想的许多结果都已经有了，但当她将这些结果给予适当的确切表述时，就得到了抽象理论。诺特把多项式环的理想论包括在一般理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基础。诺特对环和理想作了十分深刻的研究。人们认为这一总结性的工作在1926年臻于完成，因此，可以认为抽象代数形成的时间为1926年。范德瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿，写成《近世代数学》一书，其研究对象从研究代数方程根的计算与分布进到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构。这就发生了质变。由于抽象代数的一般性，它的方法和结果带有基本的性质，因而渗入到各个不同的数学分支。范德瓦尔登的《代数学》至今仍是学习代数的好书。人们从抽象代数奠基人——诺特、阿廷等人灿烂的成果中吸取到了营养，从那以后，代数研究有了长足进展。

1830年，皮科克的《代数学》问世，书中对代数运算的基本法则进行了探索性研究。在这之前，代数的符号运算实际仅是实数与复数运算的翻版。皮科克试图建立一门更一般的代数，它仅是符号及其满足的某些运算法则的科学。他与德·摩根等英国学者围绕这一目标的工作，为代数结构观点的形成及代数公理化研究作了尝试，因而皮科克被誉为“代数中的欧几里德”。皮科克的目标虽然很有价值，但方法过于含糊，无法达到他的愿望。

代数中更深刻的思想来自于数学史上传奇式的人物伽罗瓦。在1829～1832年间，他提出并论证了代数方程可用根式解的普遍判别准则，从概念和方法上为最基本的一种代数结构(群)理论奠定了基础，阐明了群的正规子群及同构等重要概念。

伽罗瓦在1832年去世前，几次向巴黎科学院递交他的论文，均未获答复。他的理论在1846年由刘维尔发表之前几乎无人知晓，到十九世纪60年代后才引起重视，这是数学史上新思想历经磨难终放异彩的最典型的例证。

另一项引起代数观念深刻变革的成果，归功于哈密顿和格拉斯曼。哈密顿在用“数对”表示复数并探究其运算规则时，试图将复数概念推广到三维空间，未获成功，但却意想不到的创立了四元数理论，时间是1843年。

四元数是第一个被构造出的不满足乘法交换律的数学对象。从此，数学家便突破了

实数与复数的框架，比较自由地构造各种新的代数系统。四元数理论一经问世便引来数学与物理学家的讨论，它本身虽没有广泛应用，但成为向量代数、向量分析以及线性结合代数理论的先导。1844年，格拉斯曼在讨论 n维几何时，独立得到更一般的具有 n 个分量的超复数理论，这一高度独创的成果由于表达晦涩，无法为当时的学者所理解。

在这一时期，还诞生了代数不变量理论，这是从数论中的二次型及射影几何中的线性变换引伸出的课题。1841年左右，凯莱受布尔的影响开始研究代数型在线性变换下的不变量。之后，寻找各种特殊型的不变量及不变量的有限基，成为十九世纪下半叶最热门的研究课题，出现了人数众多的德国学派，进而开辟了代数几何的研究领域。

数论中的重要问题，往往成为新思想发展的酵母。1844年，库默尔在研究费马大定理时提出了理想数理论，借助理想数可证明在惟一因子分解定理不成立的代数数域中，普通数论中的某些结果仍成立。

在这代数学丰产的时期，几何、分析和数论也都有长足的进步。格林在讨论变密度椭球体的引力问题时，考虑了 n维位势；凯莱在分析学中讨论了具有 n个坐标的变量；格拉斯曼则直接从几何上建立高维空间理论。他们从不同角度导出超越直观的 n 维空间概念。施陶特确立了不依赖欧氏空间的长度概念的射影几何体系，从逻辑上说明射影几何比欧氏几何更基本。

分析的严格化在继续。狄利克雷按变量间对应的说法给出现代意义下的函数定义。魏尔斯特拉斯开始了将分析奠基于算术的工作，从1842年起采用明确的一致收敛概念于分析学，使级数理论更趋完善。

值得注意的是，未经严格证明的分析工具仍被广泛使用，在获得新结果方面显示威力。格林首先使用了位势函数的极小化积分存在的原理，即现称的狄利克雷原理，它的严格理论迟至1904年才为希尔伯特阐明，但是在十九世纪50年代就已成为黎曼研究分析学的重要工具。

随着分析工具的逐步完善，数学家开始更自觉地在数学其他分支使用它们。除微分几何外，解析数论也应运而生。1837年，狄利克雷在证明算术序列包含无穷多素数时，精心使用了级数理论，这是近代解析数论最早的重要成果。刘维尔则在1844年首次证明了超越数的存在，引起数学家对寻找超越数和证明某些特殊的数为超越数的兴