正态分布时的统计决策

第3章 正态分布时的统计决策

在统计决策理论中，涉及到类条件概率密度函数)|(i w x P 。对许多实际的数据集，正态分布通常是合理的近似。如果在特征空间中的某一类样本，较多地分布在这一类均值附近，远离均值点的样本比较少，此时用正态分布作为这一类的概率模型是合理的。另外，正态分布概率模型有许多好的性质，有利于作数学分析。概括起来就是： （1） 物理上的合理性 （2） 数学上的简单性

下面重点讨论正态分布分布及其性质，以及正态分布下的Bayes 决策理论。

3.1 正态分布概率密度函数的定义及性质 1．单变量正态分布 定义：])(21exp[21

)(2

σμσπρ--=

x x

（3.1-1）

其中：μ为随机变量x 的期望，也就是平均值； 2σ为x 的方差，σ为均方差，又称为标准差。

⎰

∞∞

-⋅==dx x x x E )()(ρμ （3.1-2）

⎰

∞

∞

-⋅-=dx x x )()(22ρμσ

（3.1-3）

概率密度函数的一般图形如下：

)(x ρ具有一下性质：

)(,0)(∞<<-∞≥x x ρ

1)(=⎰∞

∞-dx x ρ （3.1-4）

从)(x ρ的图形上可以看出，只要有两个参数2σμ和就可以完全确定其曲线。为了简单，常记)(x ρ为),(2σμN 。若从服从正态分布的总体中随机抽取样本x ，约有95％的样本落在)2,2(σμσμ+-中。样本的分散程度可以用σ来表示，σ越大分散程度越大。

2．多元正态分布 定义：∑---∑=

-)]()(21

exp[|

|)2(1)(12

12μμπρx x x T d

（3.1-5）

其中： T d x x x x ],,,[21 =为d 维随机向量，对于d 维随机向量x ，它的均值向量μ是d 维的。也就是：

T d ],,,[21μμμμ =为

d 维均值向量。

∑是d d ⨯维协方差矩阵，1-∑是∑的逆矩阵，||∑为∑的行列式。协

方差矩阵∑是对称的，其中有2/)1(+⨯d d 个独立元素。由于)(x ρ可由μ和

∑完全确定，所以实际上)(x ρ可由2/)1(+⨯+d d d 个独立元素来确定。

T x )(μ- 是)(μ-x 的转置，且：

}{x E =μ

}))({(T x x E μμ--=∑ μ

、∑分别是向量x 和矩阵T x x ))((μμ--的期望。具体说：若i x 是x 的

第i 个分量，i μ是μ的第i 个分量，2ij σ是∑的第i 、j 个元素。

⎰

⎰∞

∞

-===i

i i i i i dx x x dx x x x E )()(][ρρμ （3.1-6）

其中)(i x ρ为边缘分布，⎰⎰∞

∞

-∞

∞-

=d i dx dx dx x x 21)()(ρρ ―――――――――――――――――――――――――――

“对于二维随机变量X 和Y 作为一个整体，其分布函数F （x ，y ），而X 和Y 都是随机变量，各别也有分布函数F X (x)、F Y (y)，分别称为二维随机变量（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘分布函数。有：

),()(+∞=x F x F X 和),()(y F y F Y +∞=。

对于离散随机变量有：

∑∑≤∞

==

+∞=x x j ij

X i p x F x F 1

),()(从中得到X 的分布律为：

∑∞

===1

}{j ij i p x X P 同样，Y

的分布律为∑∞

===1

}{i ij j p y Y P 。

对于连续型随机变量（X ，Y ），假定它的概率密度为),(y x f ，由：

dx dy y x f x F x F x

X ⎰⎰∞

-+∞

∞-=+∞=]),([),()(知道，X

的概率密度为：

⎰

+∞

∞

-=dy y x f x f X ),()(同样也可以求出Y 的概率密度函数。”

―――――――――――――――――――――――――――――

而：)])([(j 2

j i i ij

x x E μμσ--=

]),())((j j i j i j i i dx dx x x x x ρμμ⋅--=

⎰⎰∞∞-∞

∞

-

（3.1-7）

协方差矩阵：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑22

22122222

212212

12211dd d d

d d σσσσσσσσσ

（3.1-8）

是一个对称矩阵，只考虑∑为正定矩阵的情况，也就是||∑所有的子式都大于

0。即0||211≥σ，02

22

2

12

2

12

2

11≥σσσσ，…… 同单变量正态分布一样，多元正态分布)(x ρ可以由μ和∑完全确定，常记为),(∑μN 。

3．多元正态分布的性质

（1）参数∑和μ对分布的决定性

对于d 维随机向量x ，它的均值向量μ也是d 维的，协方差矩阵是对称的，其中有2/)1(+d d 个独立元素。)(x ρ可由∑和μ完全确定，实际上)(x ρ可由2/)1(++d d d 个独立元素决定。常记为：)(x ρ～),(∑μN 。

（2）等密度点的轨迹为一超椭球面

由)(x ρ的定义公式（3.1-5）可知，当右边指数项为常数时，密度

)(x ρ的值不变，所以等密度点满足：

常数=-∑--)()(1μμx x T

可以证明，上式的解是一个超椭球面，其主轴方向取决于∑的本征向量（特征向量），主轴的长度与相应的本征值成正比。如下图所示：

从上图可以看出，从正态分布总体中抽取的样本大部分落在由μ和∑所确定的一个区域里，这个区域的中心由均值向量μ决定，区域的大小由协方差矩阵决定。

在数理统计中，令： )()(12μμγ-∑-=-x x T

式中γ称为x 到μ的马氏距离（Mahalanobis ）距离。所以，等密度点轨迹是x 到μ的马氏距离γ为常数的超椭球面。该超椭球面构成的球体的大小是样本对于均值向量的“离散度度量”。