高等数学上册复习

高等数学上册复习（2011秋）

第一章 函数与极限

复习要点：

1. 复合函数的定义、判别、计算；

2. 极限的性质（小题）。用极限定义证明极限不要求，但左右极限是要求的！

3. 无穷大量、无穷小量的定义、判别、性质。无穷小量阶的比较、性质。

4. 极限存在的两个准则；两个重要极限；（计算题）

5. 函数连续的定义，间断的定义、分类。

6. 闭区间上连续函数的性质。

一、试求)1(),1(),0(),1(+-x f f f f ，若 01

,2,0

,14)(2

⎩⎨

⎧≤++≥+=x x x x x f 。

解：32)1()1(2

=+-=-f ； 1104)0(=+⨯=f ； 5114)1(=+⨯=f

⎩⎨⎧≤+++≥+++=+01)1( ,)1(01 ,1)1(4)1(2

x x x x x f ⎩

⎨⎧-≤++-≥+=2 ,321

,542x x x x x

三、设(),1x

x

x f -=

求()[]x f f 和()[]{}x f f f 解：()[]x f f =x

x 21-，()[]{}x x

x f f f 31-= 注意定义域

一、求下列函数在x =0处的左、右极限，并说明它们在x →0时极限是否存在。 证明：1. x

e

x f 1)(=

∵+∞=+

→x

x e 10lim 0lim 10=-

→x

x e

即)00()00(-≠+f f ∴ 0

10

lim )(lim →→=x x

x e x f 不存在

2. ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧>+≤-==0,20,2)(),(sin )]([x x x x x g x g x g f ππ

证明：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

>-≤-==0

),2sin(0 ),2

sin()(sin )]([x x x x x g x g f ππ

∴12

sin 2sin lim )]([lim 00==⎪⎭⎫

⎝

⎛+

=+

+

→→π

πx x g f x x

∴12sin 2sin lim )]([lim 0

-=⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫

⎝

⎛

-

=-

-

→→ππx x g f x x 即)]00([)]00([-≠+g f g f

)]([lim 0

x g f x →不存在

一、判断下列变量在给定的变化过程中是否是无穷小量 1．13--x ()0→x （ ） 2．

x

x

sin ()∞→x （ ） 3．

1

253

2+-x x x ()∞→x （ ）

4. ⎪⎭

⎫

⎝⎛++x x x 1sin 212 ()0→x （ ） 答案：是是否是

二、函数x x y 1

sin 1=

在(0，1)上是否有界？当0+→x 时，该函数是否为无穷大？为什么？ 解：①函数x

x

1

sin

1在[0，1]上无界，事实上，0>∀M ， 取2

21 ,1][0π

π+

=

+=k x M k 则

M k k x x >>+=2

21sin 100ππ ∴x

x 1

sin 1在[0，1]上无界 ②x x

1sin

1

当0→x 不是无穷大，事实上，若x

x 1

sin 1是无穷大，则

0 ,0>∃>∀δM ，当δ<

x >1

sin 1 但01>∀δ，取1111221

,11δπδπδ<<=+⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡=k x k ，则

M k k x x <==0|2sin 2|1sin 11

1ππ，矛盾 ∴x

x y 1

sin 1=

当+→0x 时不是无穷大量 三、证明函数x x y ctg =在（0，+∞）内是无界的，但当+∞→x 时却不是无穷大。

证明：①令),2,1(4

2 =+

=k k x k π

π时，∴x x y ctg =在(0,+∞)内无界.

)(4

2+∞→+∞→+

=k k y k π

π

②若x x y ctg =当+∞→x 时是无穷大，则对M =1，X >0，当x >X 时 有

1>xctgx ，但是取2

2π

π+

=k x k ，（k 充分大时，k x >X ） 而1ctg >x x ，但是取2

2π

π+=k x k ，（k 充分大时，X x k >）

而10)2

2(ctg 2

2ctg <=+

+

=π

ππ

πk k x x k k ，矛盾

∴+∞→=x x x y 在ctg 是不是无穷大。

一、判断题

1．数列有界必收敛 ( ) 2．如果)(lim x f x ∞

→存在，则)(x f 必有界 ( )

3．如果函数()x f 在0x x =无定义，则)(lim 0

x f x x →不存在。 ( )

4．()x f 与()x g 均在0x 不连续，但()()x g x f +在0x 可能连续 ( ) 5．设()()x f x x f y -∆+=∆，则当0→∆x 时必有0→∆y . ( )

答案：错错错对错

二、计算下列极限：

1. x x x

x x sin sin lim +-∞→ 2. π

+-

→x

arctg e x x 1lim 1