概率论与数理统计模拟试题及解答

模拟试题（一）参考答案

一.单项选择题（每小题2分,共16分）

1、设B A ,为两个随机事件,若0)(=AB P ,则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立

(C) 0)(0)(==B P A P 或 (D) AB 未必是不可能事件 解 若AB 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D. 2、设每次试验失败的概率为p ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）

(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C -

解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为3p ,故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.

3、若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度,则下面说法中一定成立的是（ ）

(A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续

解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,)(x f 是定义在),(+∞-∞上的

非负函数,且满足⎰∞

+∞-=1d )(x x f ,所以A 一定成立.而其它选项不一定成立.例

如服从]2

1

,31[

上的均匀分布的随机变量的概率密度 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,

0,2131,6)(x x f

在31=x 与2

1

=x 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选

A.

4、若随机变量X 的概率密度为)( e

21)(4

)3(2

+∞<<-∞=

+-

x x f x π

,则=

Y （ ）)1,0(~N

(A) 2

3+X (B)

2

3+X (C)

23-X (D)

2

3

-X 解 X 的数学期望3-=EX ,方差2

=DX ,令2

3

+=

X Y

,则其服从标准正

态分布.故本题应选A.

5、若随机变量Y X ,不相关,则下列等式中不成立的是（ ）

(A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)(

(C) DY DX DXY ⋅= (D) EY EX EXY ⋅=

解 因为0=ρ,故

0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ,

DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(,

但无论如何,都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.

6、设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ,又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则（ ）

(A) )1,0(~N X (B) )1,0(~N X n

(C) )(~212

n X n

i i χ∑= (D)

)1(~-n t S

X

解 )1

,0(~n

N X

,),0(~n N X n ,)1(~-⋅n t S X n ,只有C 选项成立.本题应选C. 7、样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ,则下列估计量中,（ ）不是总

体期望μ的无偏估计量

(A) ∑=n

i i X 1 (B) X

(C) )46(1.01n X X + (D) 321X X X -+

解 由无偏估计量的定义计算可知,∑=n

i i X 1不是无偏估计量,本题应选A.

8、在假设检验中,记0H 为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ） (A) 0H 成立,经检验接受0H (B) 0H 成立,经检验拒绝0H (C) 0H 不成立,经检验接受0H (D) 0H 不成立,经检验拒绝0H 解 弃真错误为第一类错误,本题应选B. 二.填空题（每空2分,共14分）

1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是,恰好出现一个正面的概率是.

解 81

;8

3.

2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布,且3

1

,3=

=DX EX ,则X 的概

率密度为.

解 设],[~b a X ,则,3

1

12)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a , 4=b , 所以X 的概率密度为

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0

,42,21

)(其他x x f

3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布, Y 服从参数为4的指数分

布,则=+)32(2Y X E .

解 4

73])([232)32(222=

++=+=+EY EX DX EY

EX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则根据切比雪夫不等式,有≤≥+}6||{Y X P .

解 根据切比雪夫不等式,

121

36),cov(26)(}6||{2

=++=+≤

≥+Y X DY DX Y X D Y X P .

5、假设随机变量X 服从分布)(n t ,则21X

服从分布（并写出其参数）.

解 设)(~n t n

Z Y

X =,其中)1,0(~N Y ,)(~2n Z χ,且)1(~22χY ,从而)1,(~1

22n F Y

n Z X =. 6、设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本,对总体方差DX 进行估计时,常用的无偏估计量是.

解 ∑=--=

n

i i X X n S 1

22

)(11

.

三.(本题６分)

设1.0)(=A P ,9.0)|(=A B P ,2.0)|(=A B P ,求)|(B A P . 解 由全概率公式可得

27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .

3

1

)()|()()()()|(===

B P A B P A P B P AB P B A P . 四.(本题8分)

两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现

废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:

(1) 任取一个零件是合格品的概率,

(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.

解 设21,A A 分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件.

(1) 由全概率公式可得

973.098.03

1

97.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=

+=A B P A P A B P A P B P .