第十章 多元函数积分学中的基本公式及其应用

第十章 多元函数积分学中的基本公式及其应用

10.1平面上的单连通区域与区域的正向边界 10.1.1单连通区域的定义

设D 为平面区域，如果D 内任意闭曲线所围部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域,否则称为平面复连通区域.

注：①平面区域是道路联通的(平面区域上的任意两点，存在曲线连接两点，且曲线上任意一点都属于平面区域)，但不一定是封闭的.

例：如图10.1为平面单连通区域，如图10.2为平面复连通区域.

图10.1 图10.2 图10.3 10.1.2平面区域的正向边界的定义

如图10.3，设D 平面区域，L 是D 的边界，L 的正向定义如下：当观察者沿着这个方向行进时，D 内在它附近的那一部分总在他的左边. 10.2多元函数积分学中的基本公式

格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了对坐标的曲线积分与二重积分、对坐标的曲面积分与三重积分和对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分之间的联系.其中格林公式是斯托克斯公式的特殊情形. 10.2.1格林公式 (1)格林公式的定义

设平面Oxy 上的有界闭区域D 是由分段光滑曲线L 围成，函数()y x P P ,=，

()y x Q Q ,=在D 内有连续的一阶偏导数，则：⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂L D Pdx Qdy d y P x Q σ,

其中+L 是有界闭区域D 的正向边界曲线.

(2)格林公式的证明

首先分析任何一条平行于x 轴或y 轴的直线最多与边界分段光滑曲线有两个交点的特殊闭区域D .

显然这种类型的闭区域D 有两种表现形式：

如图10.4，()()(){

}x y y x y b x a y x D 21,,≤≤≤≤=； 如图10.5，()()(){

}d y c y x x y x y x D ≤≤≤≤=,,21.

图10.4 图10.5 图10.6

由()()(){

}x y y x y b x a y x D 21,,≤≤≤≤=， ()()()()()

()()()()，

则： --- ,,,1

2

212112⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+

==-==∂∂=∂∂L L L b a b a b a x y x y x y x y b a D

Pdx Pdx Pdx dx x y x P dx x y x P dx y x P dy y P dx d y P σ

同理⎰⎰⎰+

=∂∂L D Qdy d x Q

σ， 那么，在这种特殊区域D 下⎰⎰⎰+

+=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-∂∂L D Pdx Qdy d y P x Q σ得证.

如图10.6，若区域D 不满足以上特殊区域条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合特殊区域条件，仍可证明格林公式成立.

【例10.1】求()[]

d y x a x y ax dx x

a y I L

222

2

2ln 2++-++=⎰

，其中L 是为由点

()R A ,0到点()R B -,0以原点为圆心的左半圆周.

分析：如果用关于L 的方程把I 直接化为一元函数积分求解会有些困难，所以可以试图建立一个封闭曲线，利用格林公式求解.

解：构造辅助有向直线段BA

L ：0=x (R y R ≤≤-),记有向直线段BA

L 与有向曲线

段L 围成的区域为D ,2

2

2x

a y P +=

，()

22ln 2x a x y ax Q ++-=.

.

212ln 20 22R a R a ady y ad Qdy d y P x Q Qdy Pdx Qdy Pdx I R R D L D L L B A B A ππσσ

=⋅+-=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂-∂∂++-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-则：

10.2.2高斯公式 (1)高斯公式的定义

设空间有界闭合区域Ω，其边界∑为分片光滑闭曲面，函数()z y x P P ,,=，

()z y x Q Q ,,=，()z y x R R ,,=及其一阶偏导数在Ω上连续，则：

⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy

Qdzdx Pdydz dV z R y Q x P ， 其中边界∑指向区域Ω的外部. (2)高斯公式的证明

首先分析任何一条平行于x 轴、y 轴和z 轴的直线最多与边界的分段光滑闭曲面有两个交点的特殊闭区域Ω.

显然这种类型的闭区域Ω有三种表现形式：

如图10.7，()()()(){}

xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω,,,,,,21，

类似的，()()()(){

}zx D z x z x y y z x y z y x ∈≤≤=Ω,,,,,,21， 类似的，()()()(){}

yz D z y z y x x z y x z y x ∈≤≤=Ω,,,,,,21. 由()()()(){}

xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω,,,,,,21，

()()()()()()[]()()，

则： ,,,, ,,,,,,1

2

2112,,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

∑∑Ω

+=-=∂∂=∂∂dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy

y x z y x R y x z y x R dz z R dxdy dV z R

xy

xy D y x z y x z D

又因为：()0,,3=⎰⎰∑dxdy z y x R ，其中3∑是以闭区域xy

D

的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面上的一部分.

所以有⎰⎰⎰⎰⎰∑

Ω=∂∂Rdxdy dV z R

， 同理：⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Pdydz dV x P ，⎰⎰⎰⎰⎰∑

Ω=∂∂Qdzdx dV y Q , 那么，在特殊闭区域Ω下⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dV z R y Q x P 得证.

若区域Ω不满足以上特殊区域条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点超过两点时，可在区域内引进一个或几个辅助曲面把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合特殊区域条件，仍可证明高斯公式成立. 【例10.2】求()

⎰⎰

++++=S

z y x

zdxdy

ydzdx xdydz I 2

/32

22

，其中S 是由椭球面1222222=++c

z b y a x 的

外侧.

分析：通过曲面S 的表达式化为二重积分计算有些困难，若把积分记为

⎰⎰++=S

Rdxdy Qdzdx Pdydz I ，显然有：0=∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P (()0,,≠∀z y x ),

所以用高斯公式会简单些.

若椭球面S 围成的区域记为Ω，它包含()0,0,0，而P ，Q ，R 在()0,0,0处无定义，

因而不能再

Ω上直接引用高斯公式.所以需要建立一个以原点为圆心，ε为半径方向向外的辅助球面εS （位于S 内）,在利用高斯公式求解. 解：设εS 所围成的区域记为εΩ,S 和εS 所围成的区域记为1Ω，