题型六 第20题几何测量问题

题型六 第20题几何测量问题

专题一 锐角三角函数的实际应用题 （2012、2010年20题）

典例精讲

例1 （2012陕西20题8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东o 65方向，然后，他从凉亭A 处沿湖岸向正东方向走了100米到B 处，测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东o 45方向（点A 、B 、C 在同一水平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之间的距离．（结果精确到1米，参考数据

≈

≈≈≈≈≈o o o 65tan ,4226.065cos ,9063.065sin ,4663.025tan ,9063.025cos ,4226.025sin o o o )1445.2

【思维教练】解决锐角三角函数实际应用题，首先想到构造直角三角形，将已知条件和要求量联系起来，已知方向角和AB 的长度，则只需过点B 作AC 上的高BD 或过点C 作AB 边上的高BD ，BD 即为所构造直角三角形的公共边，设出未知数，列方程求解即可.

有关锐角三角函数的实际应用的解题步骤：

(1)审题：通读题干，结合图形，在图中找出与题干相吻合的已知条件，弄明白哪些是已知量，哪些是未知量；

(2)构造直角三角形：将已知条件转化为示意图中的边角关系，再结合问题，把所求的量转化到与已知条件相关的直角三角形中，若不能在图中体现，则需作适当的辅助线将其结合；

(3)列关系式：在直角三角形中选择适当的锐角三角函数列关系式进行求解；

(4)检验：解题完毕后，可能会存在一些较为特殊的数据，例如含有复杂的小 数等．因此，要特别注意所求数据是否符合实际意义，同时还要注意题目中对结果的精确度有无要求．

针对演练

1．（2015昆明6分）如图，两幢建筑物AB 和CD,AB BD CD BD ⊥⊥,,AB=15 m,CD=20 m,AB 和CD 之间有一景观池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为ο42，在C 点测得E 点的俯角为o 45（点B 、E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD.（结果精确到0.1 m ，参考数据：≈o 42sin )90.042tan ,74.042cos ,67.0≈≈o o

2．某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB ，河流两岸AC ，BD 互相平行，河流对岸有两棵树A 和C,且A 、C 之间的距离是60米，他们在D 处测得BDC ∠=o 36,前行140米后测得.45o =∠BPA 请根据测量数据求出河流的宽度．（结果精确到0.1米，参考数据：)81.036cos ,59.036sin ,73.036tan ≈≈≈o o o

3．（2016陕西副题20题7分）某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区．小明和小亮想测量“东州湖”东西两端A 、B 间的距离，于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B 的一点C,并测得BC=350米，点A 位于点C 的北偏西ο73方向，点B 位于点C 的北偏东o 45方向，请你根据以上提供的信息，计算“东州湖”东西两端之间AB 的长．（结果

精确到1米）

（参考数据：,2924.073cos ,9563.073sin ≈≈o o )414.12,2709.373tan ≈≈o

4．（2017原创）某居民楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地，如图所示，

AD BE AD BC ⊥,//，

斜坡AB 长为30米，坡角o 75=∠BAD .为了减缓坡面防止山体滑坡，居委会决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过ο50时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 向左移15米到F 点处，问这样改造能确保安全吗？

（参考数据：≈≈≈o 75tan ,26.075cos ,97.075sin o o

)19.150tan ,64.050cos ,77.050sin ,73.3≈≈≈o o o

5．（2017原创）如图，在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西o 62方向前进实施拦截．红方行驶1000米到达C 处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西︒45方向前进了相同的距离，刚好在D 处成功拦截蓝方，求拦截点D 处到公路的距离（结果精确到1m ）．（参考数据：

,5317.028tan ,8829.028cos ,4695.028sin ≈≈≈o o o )7321.13,4142.12≈≈

6．（2017原创）某校九年级数学兴趣小组要测量二七纪念塔的高度，他们在一座15.8米高的大楼CD 的底部D 处测得塔顶A 的仰角恰好为ο45，在楼顶C 处测得塔顶A 的仰角为2536'o ，已知大楼的底部D 与塔底B 在同一水平线上，求二七纪念塔的高度AB.（结果保留整数，参考数据：≈'2536sin o )75.02536tan ,80.02536cos ,60.0≈'≈'o o

7．（2016泰州10分）如图，地面上两个村庄C 、D 处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米／小时的速度沿MN 方向水平飞行，航线MN 与C 、D 在同一铅直平面内，当该飞行器飞行至村庄C 的正上方A 处时，测得,60o =∠NAD 该飞行器从A 处飞行40分钟至B 处时，测得.75o =∠ABD 求村庄C 、D 间的距离．(3取

1.73，结果精确到0.1千米）

8．（2017原创）小宏想利用所学知识测量郊区某圆柱体水塔上部蓄水池的外径（水塔的厚度忽略不计）．如图，水塔上部为圆柱体蓄水池，下部为圆柱体支撑柱，两圆柱体的底面圆心在同一条竖直直线上，已知CD 是上部圆柱体的外径，点G 是CD 上一点，,,EA GA EA EF ⊥⊥EF 为小宏的身高，点E 距离点A 为5m ，