数列基础知识

数列

基础知识梳理 一、数列

1、 数列的定义

数列是按照一定顺序排列着的一列数，在函数的意义下，数列是某一定义域为正整数或它的有限子集{1,2,3,4，……，n}的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图像是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式为123,,,

,,

,n a a a a 通常简记为

{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，也叫通项。

注意：

1）{}n a 与n a 是不同的概念，{}n a 表示数列123,,,,,,n a a a a 而n a 表示的是这个数

列的第n 项

2）数列与集合的区别

集合中元素性质：确定性，无序性，互异性； 数列中数的性质：确定性，有序性，可重复性。

2、 数列的通项公式

当一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式()n a f n =来表示，就把这个公式叫数列{}n a 的通项公式，可根据数列的通项公式算出数列的各项，也可判断给定的数是否为数列{}n a 中的项或可确定是第几项。但不是所有数列都可以写出通项公式，数列的通项公式也不唯一。

3、 数列的表示方法

数列看成一个特殊的函数，所有从函数的观点出发，数列的表示方法有以下三种： 1）解析法:通项公式和递推公式两种； 2）列表法

3）图像法（数列的图像是一系列孤立的点）

4、 数列的分类

(1)有穷数列和无穷数列

(2)单调数列，搬动数列，常数列 5、 n n a 与S 的关系

11(n 1)(n 2)n n

n S a S S -=⎧=⎨-≥⎩

6、 等差数列

1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，

这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示

定义的表示为：*n-1(n N ,n 2)n a a d -=∈≥或者*

1n (n N )n a a d +-=∈

公差d 可正可负或为零，为零时，数列为常数列。

2）等差数列的通项公式

()()11,n n m a a n d a a n m d

=+-=+-

对于第二个公式要求,n m a a 是数列中的项即可，也可表示为

1

,1

(n m)

n n m a a d n a a d n m -=

--=≠-

3）等差数列的增减性

{}{}{}00=0n n n d a d a d a >⇔<⇔⇔等差数列为递增数列；

等差数列为递减数列；

等差数列为常数列。

4）等差中项

任意两个数,a b 有且仅有一个等差中项 ，即2

a b

A +=

。 ,,2

a b

A a A b +=

⇔三个数构成等差数列。

5）等差数列前n 项和公式（倒序相加法） ()

()

11;21.

2n n n n a a S n n S na d +=

-=+ 第二个公式()112n n n S na d -=+

可整理成21n n 22n d d S a ⎛

⎫=+- ⎪⎝

⎭，设

1,B 22

d d

A a =

=- 则2n n n S A B =+，n S 可看成是关于n 的二次函数（常数项为0）那么可以得出一下结论：

2

n 00(2){}S .

n n n d d a An Bn ><⇔=+(1)当是,S 有最小值；当是,S 有最大值;是等差数列

7、 等比数列

1) 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，

这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等差数列的公比，公差通常用字母(0)q q ≠ 表示

定义的表示为：

*n-1(n N ,n 2)n a q a =∈≥或者*1n

(n N )n a

q a +=∈ 公比0q ≠；当1q =时，数列为常数列。 2）等比数列的通项公式

11,.

n n n m

n m a a q a a q

--==

3）等比数列的增减性

{}{}{}{}111100

10100

01110n n n n a a a q q a a a q q q a q a ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩><⎧⎧⇔⎨⎨

<<>⎩⎩

=⇔<⇔或为递增数列；或为递减数列；为常数列；为摆动数列。

4）等比中项

如果在a b 与 中间插入一个数G 使,,a G b 成等比数列，那么G 叫做a b 与的等比中项。

如果G 是a b 与的等比中项，那么

2,G =,G =G b

ab ab a G

=±即因此 ；只有同号的两个数才有等比中项。 一个等比数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项。

5）等比数列前n 项和公式

()11111;111.

n n n n a q a a q

q S q

q q S na --≠=

=

--==当时，当时，

等比数列前n 项和公式的特点：当0,1q q ≠≠且时 可以化为

11-11-n

n a a S q q q

=

-

1=

1a A q

-记 ，那么-=0n n

n n S A Aq S A Bq A B ==++或者（）.