几何光学基本原理证明反射定律符合费马原理证明费马

第三章 几何光学基本原理

1．证明反射定律符合费马原理。

证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。

⎰=B

A

nds

或恒值

max .min ，在介质n 与'n 的界面上，入射光A 遵守反射定律1

1i i '

=,

经O 点到达B 点，如果能证明从A 点到B 点的所有光程中AOB 是最小光程，则说明反射定律符合费马原理。

设C 点为介质分界面上除O 点以外的其他任意一点，连接ACB 并说明光程∆ ACB>光程

∆AOB

由于∆ACB 与∆AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两个路程ACB 与AOB 的大小。

从B 点到分界面的垂线，垂足为o '，并延长O B '至 B ′

，使B O B O '=''，连接 B O '，根

据几何关系知B O OB '=，再结合

11i i '

=，又可证明∠180='B AO °，

说明B AO '三点在一直线上，

B AO ' 与A

C 和B C '组成ΔB AC '，其中B C AC B AO '

+〈'。

又∵

CB

B C AOB OB AO B O AO B AO ='=+='+=',

ACB CB AC AOB =+〈∴

即符合反射定律的光程AOB 是从A 点到B 点的所有光程中的极小值，说明反射定律符

合费马原理。

2、根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等.由此导出薄透镜的物象公式。

证明：由QB A ～FBA 得：OF\AQ=BO\BQ=f\s

同理，得OA\BA=f '

\s ',BO\BA=f\s

由费马定理：NQA+NQ A '=NQ Q '

结合以上各式得：(OA+OB)\BA=1得证 3．眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d 为30cm.求物PQ 的像 与物体PQ 之间的距离 为多少?

解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：

cm

n

d p p 10)3

21(30)11(=-

=-

='，即像与物的距离为cm 10

题3.3图

4．玻璃棱镜的折射棱角A 为60度,对某一波长的光其折射率为1.6.计算(1)最小偏向角;(2)此时的入射角;(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角.

解：由最小偏向角定义得 n=sin

2

A

0+θ/sin 2A

,得θ0=46゜１６′

由几何关系知，此时的入射角为:i=

2A

0+θ=５３゜８′

当在C 处正好发生全反射时：i 2’= sin

-1

6

.11

=38゜41′,i 2=A- i 2’

=21゜19′

∴i 1= sin -1(1.6sin 21゜19′)= 35゜34′ ∴ｉmin ＝３５゜３4′

５．图示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个30度-60-90度棱镜与一个45度-45度度棱镜按图示方式组合在一起.白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变1θ，从而使任意一种波长

的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r.求证：如果2sin 1n

=

θ则12θθ=，且光束

i 与 r 垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）． 解： i nsin sin 11=θ

若θ1sin = 2n , 则 sini 1 = 21

, i 1=30。

则i 2=30。

,而i nsin

2sin 2=θ

∴ θθ21=

=

+αθ1190

。

，而θθ21=

∴ =+αθ

12

90

。，∴i

⊥γ

得证。

６．高５cm 的物体距凹面镜的焦距顶点12cm ，凹面镜的焦距是１０cm,求像的位置及高度，并作光路图．

解：∵cm s cm f 12,10-=-='

又f s s

'

=

'

+

111

∴

101

112

1-

='

+

-

s ，即cm s 60-='，

s

s y

y '=

'-

=β ∴

s s y y '

-

='=-25cm

即像在镜前60cm 处，像高为25cm

７．一个５cm 高的物体放在球面镜前１０cm 处成1cm 高的虚像．求（１）此像的曲率半径；（２）此镜是凸面镜还是凹面镜？

解：由题知物体在球面镜前成虚象，则其为反射延长线的交点，

∵s

s y y '-

='

=β

∴

cm

y

s y s 2='-

='， 又r s s

2

11

=

'

+

， ∴05〉=cm r ，所以此镜为凸面镜。

８．某观察者通过一块薄玻璃板去看凸面镜中他自己的像．他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起，若凸面镜的焦距为１０cm ,眼睛距凸面镜顶点的距离灵40cm,问玻璃板观察者眼睛的距离为多少?