椭圆中的中心三角形面积问题求解

椭圆中的中心三角形问题求解

题目一：y kx m =+与椭圆22

221x y a b +=交于A ，B 两点，则

22222222

OA OB

OAB b ab

k k k a b m S a ∆⋅=-⇔+=⇔=

提示：记忆方式利用直线与椭圆相切的公式特点记忆。

222222

y kx m

b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，

22222222()2()0

b k a x kma x a m b +++-=，

22

2

2

2

2

4()0a b k a b m ∆=+->，2112222kma x x k a b -+=+，2221122

2

()

a m

b x x k a b

-⋅=+， 222

12121222212()()OA OB

y y b b b k k kx m kx m x x a x x a a

⋅=-⇔⋅=-⇔+⋅+=-

2222222

222

121222222222

()2()()0()0b b a m b kma k x x km x x m k km m a a k a b k a b

--++++=⇒+++=++， 化简得：2222

2k a b m +=。

122OAB

ab S AB d ∆=⋅===。 题目二：y kx m =+与椭圆22

221x y a b +=交于A ，B 两点，则

2

OAB ab S ∆≤

，当且仅当2222

2k a b m +=时等号成立。

简证：1122OAB S AB d ∆=⋅=222222221()22

ab k a b m m ab

k a b +-+≤⋅=

+，

m =，即2222

2k a b m +=时均值不等式中的等号成立。

解法2：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A a b B a b ααββ，则12211

2

OAB S x y x y ∆=

- 1cos sin sin cos sin()222

ab ab ab ab αβαβαβ=

-=-≤。 注意：椭圆参数方程中参数的几何意义不是极角。

题目三：y kx m =+与椭圆22

221x y a b

+=交于A ，B 两点，则

222222

2222(1)2OAB k a b a b ab OA OB m d S a b a b ∆+⊥⇔=⇔=⇔≤≤++ 222222

y kx m

b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，

22222222()2()0

b k a x kma x a m b +++-=，

22

2

2

2

2

4()0a b k a b m ∆=+->，2112222kma x x k a b -+=+，2221122

2

()

a m

b x x k a b -⋅=+， 1212()()OA OB kx m kx m x x ⊥⇔+⋅+=-

2222

2

2

2

21212222222

()2(1)()0(1)0a m b kma k x x km x x m k km m k a b k a b

--++++=⇒+++=++， 化简得：2222

22

(1)k a b m a b

+=+。 22222222442244444222

2

2

222222222244422222

4()(1)()4()4(1)()()2a b k a b m k k a b a b k a b a b k a b AB k k a b k a b a b k a b a b k a b

+-+++++=+⋅=⋅=⋅++++++222222

22222

22444422222

22

2422

2()4()4(1)(1)22a b k a b a b a b a b b k a b a b k a b a b k a a b k

--=+⋅=+

⋅≤+++++++， 当且仅当b k a =时均值不等式中的等号成立。当b k a =时222

22

4a b AB a b

≥+

11222OAB ab S AB d ∆=

⋅≤=

。当且仅当b k a =时面积取得最大值。 2222

2

OAB a b ab

S a b ∆≤≤+，当0k =或k 不存在时，面积取最小值。 解法2：极坐标法：22221x y a b +=的极坐标方程为22222

cos sin 1a b ααρ+=

， 2

2

222

cos sin 1A a b ααρ+=，22

2222222cos()sin()sin cos 122B

a b a b ππ

ααααρ+++=+=， 两边相加得：22

22

22222211111121OAB A B OAB

a b S a b OA OB S a b OA OB ρρ∆∆+=+=+≥=⇒≥⋅+，