圆锥曲线中三角形面积问题

2.已知椭圆2

212

x y +=，12,F F 分别是椭圆的左右焦点，过点B(0，－2)作直线1BF 交椭圆于,C D ，求2F CD S ∆

(9

)

4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率为3

，短轴一个端点到右焦点的距离为

。（1）求椭圆C 的方程（

2

213

x y +=） (2)设直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，坐标原点O 到直线l

，求AOB ∆面积最大值。

） ()的方程

求直线时当的最大值的条件下求在的面积为记两点、交于与椭圆直线浙江AB ，S AB ，S b k S AOB ，B A y x b kx y 1,2)2(;10,0)1(.

14

07.122

==<<=∆=++= （Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，

由2214

x b +=

，解得12x =±， 所以121

2

S b x x =

-221b b =-2211b b +-

=≤． 当且仅当b =

S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由22

14

y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得222

12104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝

⎭，

2241k b ∆=-+，

211||||AB x x =-222

24214

k b k -==+． ②

设O 到AB 的距离为d ，则21||S d AB =

=

，又因为d =22

1b k =+， 代入②式并整理，得42

104k k -+=，解得212k =，23

2

b =，代入①式检验，0∆>， 故直线AB 的方程是

22y x =

+

或22y x =-

或22y x =-+

，或22

y x =-- 7.已知方向向量为

()3

,1=v 的直线

l

过点

()32,0-和椭圆

)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.

(1)求椭圆C 的方程； (2)是否存在过点

()

0,2-E 的直线

m

交椭圆

C

于点M 、N ，满足

().0tan 1

364为原点O MON

ON OM ≠=

⋅若存在，求直线m 的方程；若不存在，请

说明理由.

解：（1）椭圆C 的方程为12

62

2=+y x

（2）直线l 的方程为2,3

3233,33233-=--=+=x x y x y ()的面积的最小值

求四边形证明点的坐标为

设垂足为且两点、的直线交椭圆于过两点、的直线交椭圆于过、的左、右焦点分别为已知椭圆ABCD y x ，y x P P BD AC ，C A F ，

D B F F F y x )2(;12

3:,)1(.,.12

3.32

020*******

2<+⊥=+

（Ⅰ）椭圆的半焦距1c =

=，

由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22

001x y +=，

所以，2222

00021132222

y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程

22

132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+

22

2

1222121)

(1)()432k BD x x

k x x x x k +⎡

=-=++-=⎣+；

因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1

k

-

， 所以，222

2111)12332k k AC k k

⎫+⎪

+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积

222222222124(1)(1)962(32)(23)25

(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦

≥． 当2

1k =时，上式取等号．

（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为

9625

． 21．（本题满分15分）如图，点P (0，−1)是椭圆C 1：x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴

是圆C 2：x 2+y 2=4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D ． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；

（Ⅱ）求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．

【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础

知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力 【答案解析】 （Ⅰ）由题意得

⎩⎨⎧b =1，a =2．

所以椭圆C 的方程为

x 24+y 2

=1．

（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则

直线l 1的方程为

y =kx −1．

又圆C 2：x 2+y 2=4，故点O 到直线l 1的距离

d =1

k 2+1

，

所以