圆锥曲线中的面积最值问题
2022年高考数学总复习第64讲：圆锥曲线中的范围、最值问题
2022年高考数学总复习第64讲：圆锥曲线中的范围、最值问题考点1 范围问题求参数范围的4种方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． (3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．(2019·山师附中模拟)已知椭圆C ：x 23＋y 22＝1，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若|m |>3，求实数k 的取值范围；(2)若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列(其中O 为坐标原点)，求△OAB 的面积的取值范围．[解] (1)联立方程x 23＋y 22＝1和y ＝kx ＋m ， 得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0， 所以Δ＝(6km )2－4(2＋3k 2)(3m 2－6)>0， 所以m 2<2＋3k 2，所以2＋3k 2>3，即k 2>13， 解得k >33或k <－33.所以实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－62＋3k 2.设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2， 因为直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，所以k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2，即（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x2＝k 2(m ≠0)，化简得2＋3k 2＝6k 2，即k 2＝23.因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝53⎝ ⎛⎭⎪⎫6－32m 2， 点O 到直线l 的距离h ＝|m |1＋k2＝35|m |，所以S △OAB ＝12|AB |·h ＝66·32m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－32m 2≤66×32m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－32m 22＝62， 当m ＝±2时，直线OA 或OB 的斜率不存在，等号取不到，所以△OAB 的面积的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，62.本例求解采用了学生熟知的两种方法：不等式法和判别式法，利用判别式构建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置关系和判别式Δ的关系建立目标不等式．[教师备选例题](2019·江南十校联考)已知右焦点为F 2(c ，0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．[解] (1)∵椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴1a 2＋94b 2＝1，①∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点， ∴a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2，② 由①②得a 2＝4，b 2＝3，1.如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．[解] (1)证明：设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2.因为P A ，PB 的中点在抛物线上， 所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0， 所以PM 垂直于y 轴． (2)由(1)可知⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 2， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）. 所以△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324()y 20－4x 032.因为x 20＋y 24＝1(－1≤x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，所以△P AB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104. 2．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．[解] (1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a ＝2＋0＋2＋（2＋2）2＝42， 所以a ＝22，b ＝2， 即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1. (2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0，22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8. 若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2，点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到： (2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0， 则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k 2，所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8， 因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2， 综上所述，OE →·OF →的取值范围是[－8，2]． 考点2 最值问题圆锥曲线中最值问题的解决方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解．(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围．利用基本不等式求最值 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．[解] (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1， 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 2＋4－x 202＋2（4－x 20 ）x 20＋4 ＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4)．因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．[解] (1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1， 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋14k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12·d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t ≤1.当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为2y ±7x ＋4＝0.利用函数性质求最值在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．[解] (1)∵点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，∴p 4＋p 2＝32，∴p ＝2，∴C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ， ∴y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，∵线段PQ 的中点的纵坐标为1，∴2k 2＋b ＝1，△OPQ 的面积S ＝12·b ·16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0＜b ≤1)， 设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，故函数单调递增， ∴b ＝1时，△OPQ 的面积的最大值为2.若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等．[教师备选例题]如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 点坐标．[解] (1)由抛物线的性质可得：p2＝1，∴p ＝2， ∴抛物线的准线方程为x ＝－1；(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G (x G ，y G )，令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2，由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x ＝t 2－12t y ＋1，代入y 2＝4x ，得：y 2－2(t 2－1)ty －4＝0，∴2ty B ＝－4，即y B ＝－2t ，∴B (1t 2，－2t )，又x G ＝13(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝13(y A ＋y B ＋y C )，重心在x 轴上，∴2t －2t ＋y C ＝0， ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t 2，2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 4－2t 2＋23t 2，0，∴直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)，得Q (t 2－1,0)， ∵Q 在焦点F 的右侧，∴t 2>2， ∴S 1S 2＝12|FG |·|y A |12|QG |·|y C |＝|2t 4－5t 2＋23t 2|·|2t ||t 2－1－2t 4－2t 2＋23t 2|·|2t －2t |＝2t 4－t 2t 4－1＝2－t 2－2t 4－1，令m ＝t 2－2，则m >0， S 1S 2＝2－m m 2＋4m ＋3＝2－1m ＋3m＋4≥2－12m ·3m ＋4＝1＋32，∴当m ＝3时，S 1S 2取得最小值为1＋32，此时G (2,0)．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．[解] (1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2. ② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB的斜率是±2 2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AO B.因为2S△AOB ＝2·12·|OF|·|y1－y2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝41＋m2，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.。
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－ 的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求 · 的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条切线，切点分别为 .求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值问题
面积最值问题
总结词
面积最值问题主要研究圆锥曲线与其 内部区域的面积的最小或最大值。
详细描述
求解面积最值问题通常需要利用曲线 的参数方程或极坐标方程，转化为关 于角度或参数的定积分，通过求积分 得到面积表达式，再求最值。
周长最值问题
总结词
周长最值问题主要研究圆锥曲线 上的点的轨迹形成的曲线的周长 的最小或最大值。
圆锥曲线中的最值问
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线中最大值最线中的最值问题的实例分析
01
引言
圆锥曲线的定义与性质
圆锥曲线是由平面与圆锥的侧面或顶 点相交形成的几何图形，包括椭圆、 抛物线和双曲线等。
圆锥曲线具有多种性质，如对称性、 焦点、准线等，这些性质在解决最值 问题时具有重要作用。
详细描述
解决周长最值问题通常需要利用 曲线的参数方程，通过求导数找 到曲线的拐点，从而确定周长的 最大或最小值。
角度最值问题
总结词
角度最值问题主要研究圆锥曲线上的点与坐标轴形成的角度 的最小或最大值。
详细描述
解决角度最值问题通常需要利用曲线的极坐标方程，通过求 导数找到曲线的极值点，从而确定角度的最小或最大值。
在实际生活中的应用
航天器轨道设计
在航天领域，卫星和行星的轨道通常呈现为某种圆锥曲线 的形状，通过研究这些轨道的最值问题，可以优化航天器 的发射和运行轨迹。
物流运输
在物流和运输行业中，货物的运输路径通常受到多种因素 的限制，呈现出某种圆锥曲线的轨迹，通过求解最值问题， 可以找到最优的运输路径和最低的成本。
03
解决圆锥曲线中最大值最小值问题的
方法
利用导数求最值
导数可以帮助我们找到函数的极值点 ，通过求导并令导数为零，我们可以 找到可能的极值点。
圆锥曲线中的范围与最值问题
解：(2)由 2 ＝λ 1 ，
延长 BF 1， AF 2交椭圆于 C ， D 两点，根据椭圆的对
称性可知，四边形 ABCБайду номын сангаас 为平行四边形，且四边形
ABF 1 F 2的面积为四边形 ABCD 的面积的一半.
由题知， BF 1的斜率不为零，
故设 BF 1的方程为 x ＝ my － 2 ，
= 4，
(*)， x 1
＋ x 2＝4 k ， x 1 x 2＝－4 b ，所以｜ AB ｜＝ 1 + 2 ｜ x 1－ x 2｜＝
1 + 2 · (1 ＋2 )2 − 41 2 ＝4 1 + 2 · 2 ＋ .因为 x 2＝4 y ，即 y ＝
2
1
，所以y'＝ ，则抛物线在点 A 处的切线斜率为 ，在点 A 处的切线方
3
3
2 2
1 2
2
2
2
2
∴b ＝a －c ＝a － a ＝ a ，
3
3
∴椭圆的标准方程为 x 2＋3 y 2＝ a 2.
2 + 3 2 ＝2 ，
2 −2
由൝
⇒ y ＝±
.
3
＝ 2
2 −2
2 3
由题可知2
＝
，解得 a 2＝3，
3
3
2
∴椭圆 C 的方程为 ＋ y 2＝1.
3
(2)若 A 和 B 为椭圆 C 上在 x 轴同侧的两点，且 2 ＝λ 1 ，求四边形
的纵坐标的最小值为( A )
D. 1
(2)设 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)， M ( x 0， y 0)，直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋
高考数学利用均值不等式求圆锥曲线中的最值(解析版)
利用均值不等式求圆锥曲线中的最值一、考情分析与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐，其中利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题，求解时常涉及函数与方程、化归转化等数学思想．二、解题秘籍(一)利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略利用均值不等式求圆锥曲线中的最值，一是直接根据圆锥曲线中的和(积)为定值的性质求积(和)的最大(小)值，如根据椭圆中PF 1 +PF 2 为定值，可求PF 1 PF 2 的最大值，二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解这类问题的核心是建立参数之间的等量关系.【例1】(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考)设椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，F 1，F 2是椭圆Γ的左、右焦点，点A 1,32 在椭圆Γ上，点P 4,0 在椭圆Γ外，且PF 2 =4-3．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若B 1,-32，点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA ，PB 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，记△OMN ，△PMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 21-S 1S 2+S 22的最小值．【解析】(1)因为点A 1,32 在椭圆Γ上，所以1a 2+34b 2=1，①因为点P 4,0 在椭圆Γ外，且PF 2 =4-3，所以c =3，即a 2-b 2=c 2=3，②由①②解得a 2=4，b 2=1，故椭圆Γ的方程为x 24+y 2=1．(2)设点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线MN ：x =my +t ，由椭圆性质以及点C 的横坐标大于1可知，t >2，将直线MN 代入方程x 24+y 2=1并化简可得，my +t 2+4y 2-4=0，即m 2+4 y 2+2mty +t 2-4=0，因为直线l 与椭圆有且仅有一个交点，所以Δ=4m 2t 2-4m 2+4 t 2-4 =0，即t 2=m 2+4．直线AP 的方程为：x =4-23y ；直线BP 的方程为l BP ：x =4+23y ，联立方程x =my +t ,x =4-23y ,得y 1=4-t 23+m ，同理得y 2=t -423-m，所以y 1-y 2=4-t -43 m 2-12=43t +4，所以S 1=12t y 1-y 2 ，S 2=124-t y 1-y 2 ，所以S 21-S 1S 2+S 22=14t 2y 1-y 2 2-t 4-t 4y 1-y 2 2+14(4-t )2y 1-y 22=14y 1-y 2 2t 2-4t +t 2+16-8t +t 2 =14×48t +4 23t 2-12t +16 =36-489t +8 t 2+8t +16，令9t +8=λλ>26 ，则S 21-S 1S 2+S 22=36-48×81λ+282λ+56≥97，当且仅当λ=28，即t =209时，不等式取等号，故当t =209时，S 21-S 1S 2+S 22取得最小值97．【例2】已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为32，且过点1,2 .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 被圆x 2+y 2=a 2截得的弦长为26，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 面积的最大值.【解析】(1)e =32，b a =a 2-c 2a =1-e 2=12，由椭圆过点1,2 得4a 2+1b 2=1，解得a 2=8，b 2=2，∴椭圆C 的方程为y 28+x 22=1.(2)直线l 被圆x 2+y 2=8截得的弦长为26，则圆心到直线l 的距离d 满足6 2=22 2-d 2，解得d =2，当l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，圆心为原点则有d =m 1+k 2=2，∴m 2=2k 2+1.将l 方程代入椭圆方程中整理得：k 2+4 x 2+2mkx +m 2-8=0，∴x 1+x 2=-2mk k 2+4，x 1x 2=m 2-8k 2+4，AB =k 2+1⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=k 2+1⋅42k 2+8-m 2k 2+4=46⋅k 2+1k 2+4，∴S △OAB =12AB d =43×1k 2+1+3k 2+1≤2，当且仅当k 2+1=3k 2+1，即k =±2时取等号.当l 的斜率不存在时，则l ：x =±2，过椭圆的左、右顶点，此时直线l 与椭圆只有一个交点，不符合题意.∴△OAB 面积的最大值为2.(二)把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值.此类问题通常利用两点间距离或弦长公式，把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标(纵坐标)的函数，然后利用均值不等式求最值.【例3】已知圆C 过定点A (0，p )(p >0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设|AM |=m ，|AN |=n ，∠MAN =θ.(1)当点C 运动时，|MN |是否变化？试证明你的结论；(2)求m n +n m的最大值.【解析】(1)设C x 0,x 202p ，则AC =x 20+x 202p -p 2，故圆C 的方程x -x 0 2+y -x 202p2=x 20+x 202p -p2 ，令y =0有x -x 0 2+x 404p 2=x 20+x 404p 2-x 20+p 2，故x -x 0 2=p 2，解得x 1=x 0+p ，x 2=x 0-p ，故MN =x 1-x 2 =2p 不变化，为定值(2)由(1)不妨设M x 0-p ,0 ,N x 0+p ,0 ，故m =x 0-p 2+p 2，n =x 0+p 2+p 2，故m n +nm=m 2+n 2mn =x 0-p 2+p 2+x 0+p 2+p 2x 0-p 2+p 2x 0+p 2+p 2=2x 20+4p 2x 20+2p 2 2-4p 2x 2=2x 20+2p 2 x 40+4p 4=21+4x 20p 2x 40+4p 4=21+4p 2x 20+4p 4x 2≤21+4p 22x 20⋅4p 4x 20=22，当且仅当x 2=4p 4x 20，即x 0=±2p 时取等号.故m n +nm 的最大值为22(三)把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数，然后利用均值不等式求最值.【例4】(2022届陕西省汉中市高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0)且经过点P (3,2).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)【解析】(1)由椭圆的定义，可知2a =PF 1 +PF 2 =(23)2+4+2=4+2=6解得a =3，又b 2=a 2-(3)2=6.∴椭圆C 的标准方程为x 29+y 26=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ，联立椭圆方程，得5x 2+6mx +3m 2-18=0，△=36m 2-60m 2+360>0，得-15<m <15设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-6m 5,x 1⋅x 2=3m 2-185，∴|AB |=2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2⋅36m 225-12m 2-725=435⋅15-m 2，点O (0,0)到直线l :x +y -m =0的距离d =|m |2，∴S △AOB =12|AB |⋅d =12×435×15-m 2×|m |2=6515-m 2 ⋅m2≤6515-m 2+m 22 2=65×152=362.当且仅当15-m 2=m 2,(-15<m <15)，即m 2=152,m =±302时取等号；∴△AOB 面积的最大值为362.(四)把面积用双变量表示，然后利用均值不等式求最值求解该类问题通常先建立两个变量之间的等量关系，然后利用和或积为定值，借助均值不等式求最值.【例5】(2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的离心率为e =32，Q 2,22 为椭圆上一点.直线l 不经过原点O ，且与椭圆交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点.(1)求椭圆的方程；(2)求△OAB 面积的最大值，并求当△OAB 面积最大时AB 的取值范围.【解析】(1)∵e =c a =32,a 2=b 2+c 2,∴a 2=43c 2,b 2=c 23，∴3x 24c 2+3y 2c 2=1.将Q 2,22 代入得32c 2+32c2=1⇒c =3⇒a 2=4,b 2=1，∴椭圆方程为x24+y 2=1.(2)设l :x =ty +m m ≠0 ，与椭圆联立得：t 2+4 y 2+2tmy +m 2-4=0，所以y 1+y 2=-2tm t 2+4,y 1y 2=m 2-4t 2+4,Δ=16t 2+4-m 2 >0.则S △OAB =12m ⋅y 1-y 2 =2m t 2+4-m 2t 2+4=2m 2t 2+41-m 2t 2+4 ，因为t 2+4-m 2>0，故0<m 2t 2+4<1，所以2m 2t 2+41-m 2t 2+4 ≤m 2t 2+4+1-m 2t 2+4 =1当且仅当m 2t 2+4=12时取等号，此时Δ=16m 2>0，符合题意.所以S △OAB ≤1，即△OAB 面积的最大值为1.当t 不存在时，设l :y =h h ≠0 ，则S △OAB =21-h 2⋅h ≤1，当h =22时取等号.综上，△OAB 面积的最大值为1当△OAB 面积最大时：若t 存在，则此时t 2=2m 2-4≥0⇒m 2≥2，则AB =1+t 2⋅4t 2+4-m 2t 2+4=22-3m 2∈2,22 ，若t 不存在，则此时AB =41-h 2=22.综上，AB ∈2,22 .．(五)与斜率有关的最值问题与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解.【例6】(2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ =9QF，求直线OQ 斜率的最大值．【解析】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F p 2,0 ，准线方程为x =-p2，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p 2--p2=p =2，所以该抛物线的方程为y 2=4x ；(2)设Q x 0,y 0 ，则PQ =9QF=9-9x 0,-9y 0 ，所以P 10x 0-9,10y 0 ，由P 在抛物线上可得10y 0 2=410x 0-9 ，即x 0=25y 20+910，据此整理可得点Q 的轨迹方程为y 2=25x -925，所以直线OQ 的斜率k OQ =y 0x 0=y 025y 20+910=10y 025y 20+9，当y 0=0时，k OQ =0；当y 0≠0时，k OQ =1025y 0+9y 0，当y 0>0时，因为25y 0+9y 0≥225y 0⋅9y 0=30，此时0<k OQ ≤13，当且仅当25y 0=9y 0，即y 0=35时，等号成立；当y 0<0时，k OQ <0；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.(六)与数量积有关的最值问题求解与数量积有关的最值问题，通常利用数量积的定义或坐标运算，把数量积表示成某个变量的函数，然后再利用均值不等式求最值.【例7】设椭圆x 25+y 24=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ，曲线C 的两条切线PA 、PB 交于点P ，且与C 分别切于A 、B 两点，求PA ⋅PB的最小值．【解析】设椭圆的两切线为l 1，l 2．①当l 1⊥x 轴或l 1⎳x 轴时，对应l 2⎳x 轴或l 2⊥x 轴，可知切点为；②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x ≠±5，设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为-1k，并设l 1,l 2 的交点为x 0,y 0 ，则l 1的方程为y -y 0=k x -x 0 ，联立x 25+y 24=1，得：5k 2+4 x 2+10y 0-kx 0 kx +5y 0-k 0x 0 2-20=0 ，∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，得5y 0-kx 0 2k 2-5k 2+4 y 0-kx 0 2-4 =0，∴x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0，∴k 是方程x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的一个根，同理-1k是方程x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的另一个根，∴k ⋅-1k =y 20-4x 20-5得x 20+y 20=9，其中x ≠±5，∴交点的轨迹方程为：x 2+y 2=9x ≠±5 ，∵±5,±2 也满足上式；综上知：轨迹C 方程为x 2+y 2=9；设PA =PB =x ，∠APB =θ，则在△AOB 与△APB 中应用余弦定理知，AB 2=OA 2+OB 2-2OA ⋅OB ⋅cos ∠AOB =PA 2+PB 2-2PA ⋅PB ⋅cos ∠APB ，即32+32-2⋅3⋅3cos 180°-θ =x 2+x 2-2x ⋅x ⋅cos θ ，即x 2=91+cos θ1-cos θ，PA ⋅PB =PA ⋅PB cos ∠APB =x ⋅x cos θ=91+cos θ cos θ1-cos θ，令t =1-cos θ∈0,2 ，则cos θ=1-t ，PA ⋅PB =92-t 1-t t =9t 2-3t +2 t =9⋅t +2t-3 ≥9⋅2t ⋅2t -3 =922-3 ，当且仅当t =2t，即t =2时，PA ⋅PB 取得最小922-3 ；综上，PA ⋅PB 的最小为922-3 .三、跟踪检测1.(2023届山东省青岛市高三上学期检测)在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆C 1:x 2+y 2+2x -454=0内切，且与圆C 2:x 2+y 2-2x +34=0外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)不过圆心C 2且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ,M 两个不同的点，连接AC 2交轨迹E 于点B .(i )若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；(ii )若过圆心C 1的直线交轨迹E 于D ,G 两个不同的点，且AB ⊥DG ，求四边形ADBG 面积的最小值.【解析】(1)设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为x ,y由题意可知：圆C 1的圆心为C 1-1,0 ，半径为72；圆C 2的圆心为C 21,0 ，半径为12.∵动圆P 与圆C 1内切，且与圆C 2外切，∴PC 1 =72-RPC 2 =12+R⇒PC 1 +PC 2 =4>C 1C 2 =2∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以C 1,C 2为焦点的椭圆，设其方程为：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，其中2a =4,2c =2,∴a =2,b 2=3从而轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1(2)(i )设直线AB 的方程为y =k x -1 k ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1,-y 1 由y =k x -1x 24+y 23=1可得：4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0∴x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3直线BM 的方程为y +y 1=y 2+y 1x 2-x 1x -x 1 ，令y =0可得N 点的横坐标为：x N =x 2-x 1y 2+y 1y 1+x 1=k x 2-x 1 x 1-1 k x 1+x 2-2+x 1=2x 1x 2-x 1+x 2 x 1+x 2-2=2×4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+38k 24k 2+3-2=4∴N 为一个定点，其坐标为4,0(ii )根据(i )可进一步求得：AB =1+k 2x 2-x 1 =1+k 2×x 2+x 12-4x 1x 2=1+k 2×8k 24k 2+3 2-4×4k 2-124k 2+3=12k 2+1 4k 2+3.∵AB ⊥DG ,∴k DG =-1k，则DG =12k 2+13k 2+4∵AB ⊥DG ，∴四边形ADBG面积S=12AB×DG=12×12k2+14k2+3×12k2+13k2+4=72k2+124k2+33k2+4(法一)S=72k2+124k2+33k2+4≥72k2+124k2+3+3k2+422=28849等号当且仅当4k2+3=3k2+4时取，即k=±1时，S min=288 49(法二)令k2+1=t,∵k≠0,∴t>1，则S=72t212t2+t-1=72-1t2+1t+12=72-1t-122+494当1t=12，即k=±1时，S min=288492.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点3,-32，且椭圆的离心率e=12，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A,B及C、D．(1)求椭圆的方程；(2)求证：1|AB|+1|CD|为定值；(3)求|AB|+916|CD|的最小值．【解析】(1)由e=ca=12，得c2a2=14，∴a2=4c2=4(a2-b2)，∴3a2=4b2．①，由椭圆过点3,-3 2知，3a2+34b2=1②．联立①②式解得a2=4，b2=3．故椭圆的方程是x24+y23=1．(2)1|AB|+1|CD|为定值712．证明：椭圆的右焦点为F(1,0)，分两种情况．1°不妨设当AB的斜率不存在时，AB:x=1，则CD:y=0．此时|AB|=2b2a=3，|CD|=2a=4，1|AB|+1|CD|=712；2°当直线AB的斜率存在时，设AB:y=k(x-1)(k≠0)，则CD:y=-1k(x-1)．又设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程组y=k(x-1)3x2+4y2=12 ，消去y并化简得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，∴x1+x2=8k24k2+3，x1∙x2=4k2-124k2+3，∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=1+k2∙(x1+x2)2-4x1x2=1+k2∙64k4-16(k2-3)(4k2+3)(4k2+3)2=12(k2+1)4k2+3，由题知，直线CD的斜率为-1 k，同理可得|CD |=12(1+k 2)4+3k 2所以1|AB |+1|CD |=7k 2+712(k 2+1)=712为定值．(3)解：由(2)知1|AB |+1|CD |=712，∴|AB |+916|CD |=127|AB |+916|CD | 1|AB |+1|CD |=1272516+916|CD ||AB |+|AB ||CD |≥1272516+2916|CD ||AB |×|AB ||CD |=214，当且仅当916|CD ||AB |=|AB ||CD |，即|AB |=34|CD |，即|AB |=3，|CD |=4时取等号，∴|AB |+916|CD |的最小值为214．3.(2023届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试)已知离心率为12的椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点1,32，抛物线C 2:y 2=2px p >0 ．(1)若抛物线C 2的焦点恰为椭圆C 1的右顶点，求抛物线方程；(2)若椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为A ，过A 但不经过原点的直线l 交椭圆C 1于B ，交抛物线C 2于M ，且AM =MB，求p 的最大值，并求出此时直线l 的斜率．【解析】(1)由c a =12设a 2=4c 2，b 2=3c 2，所以将点1,32 代入椭圆C 1:x 24c 2+y 23c 2=1得：椭圆C 1:x 24+y 23=1，所以C 1的右顶点为2,0 ，依题意p 2=2，所以抛物线C 2方程为y 2=8x ；(2)设直线l 的方程为x =my +t t ≠0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 0,y 0 ，联立x =my +t x 24+y 23=1，消去x 整理得3m 2+4 y 2+6mty +3t 2-12=0，显然Δ>0则y 1+y 2=-6km 3m 2+4，所以y 0=y 1+y 22=-3km 3m 2+4，x 0=my 0+t =4t3m 2+4；联立x =my +t y 2=2px，消去x 整理得y 2-2pmy -2pt =0，∴Δ>0，且y 1y 0=-2pt∴y 1=-2pty 0=2p 3m 2+4 3m由抛物线方程得x 1=y 212p =2p 3m 2+4 29m 2，所以点坐标为A 2p 3m 2+4 29m 2,2p 3m 2+4 3m，将点A 代入椭圆方程3x 2+4y 2=12有：32p 3m 2+429m 22+42p 3m 2+4 3m 2=12整理得：27p2=133m +4m 4+43m +4m 2，令t =3m +4m2，则t ≥23m ⋅4m 2=48，当且仅当3m =4m即m =43，即直线l 的斜率k =32时t ≥48取等号，所以27p2=13t 2+4t ≥20×48，∴p 2≤9320，∴p ≤3540，即p 的最大值为3540，此时直线l 的斜率为32．4.平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为26，过焦点的最短弦长为 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为12的直线与椭圆交于A ,B 两点，P 为椭圆上异于A ,B 的点，求△PAB 的面积的最大值.【解析】(1)由题意得2c =26,2b 2a =2a 2-b 2=c 2⇒a 2=8,b 2=2，故椭圆的标准方程为x 28+y 22=1；(2)设直线AB 的方程为y =12x +m ，则x 28+y 22=1y =12x +m⇒x 2+2mx +2m 2-4=0，，Δ=16-4m 2>0⇒-2<m <2，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，x 1+x 2=-2m x 1x 2=2m 2-4AB =16-4m 2×1+14=5×4-m 2，当-2<m ≤0时，当P 到AB 的距离最大时，点P 在第二象限且过P 点的切线正好与AB 平行，设切线方程为y =12x +n ，n >0，x 28+y 22=1y =12x +n⇒x 2+2nx +2n 2-4=0，由Δ=16-4n 2=0得n =2，此时P (-2,1)，P 到AB 的距离最大为d =m -21+14=2m -2 5，故△PAB 的面积S =12×AB ×d =12×5×4-m 2×2m -2 5=4-m 2×m -2 ，则S 2=(2+m )(2-m )3=13(6+3m )(2-m )3≤13×6+3m +6-3m 4 4=27，故S ≤33，当且仅当m =-1时取等号. 当0<m <2时，当P 到AB 的距离最大时，点P 在第四象限且过P 点的切线正好与AB 平行，设切线方程为y =12x +n ，n <0，x 28+y 22=1y =12x +n⇒x 2+2nx +2n 2-4=0，由Δ=16-4n 2=0得n =-2，此时P (2,-1)，P 到AB 的距离最大为d =m +21+14=2m +2 5，故△PAB 的面积S =12×AB ×d =12×5×4-m 2×2m +2 5=4-m 2×m +2 ，则S 2=(2-m )(2+m )3=13(6-3m )(2+m )3≤13×6-3m +6+3m 4 4=27，故S ≤33，当且仅当m =1时取等号. 所以△PAB 的面积的最大值为33.5.平面直角坐标系中，过点(1,0)的圆C 与直线x =-1相切．圆心C 的轨迹记为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)设A ,B 为曲线Γ上的两点，记AB 中点为M ，过M 作AB 的垂线交x 轴于N ．①求x N -x M ；②当AB =10时，求x N 的最大值．【解析】(1)设C (x ,y )，由题意，则C 到(1,0)的距离等于C 到x =-1的距离，故C 的轨迹为抛物线y 2=4x ；(2)设A y 124,y 1 ,B y 224,y 2 ，则M y 12+y 228,y 1+y 22，①k AB =y 1-y 2y 124-y 224=4y 1+y 2故k MN=-y 1+y 24，MN :y -y 1+y 22=-y 1+y 24x -y 12+y 228，令y =0，得0-y 1+y 22=-y 1+y 24x -y 12+y 228，故x N =y 12+y 228+2，即xN -x M =2，②由题意y 124-y 2242+(y 1-y 2)2=10，即40=(y 1-y 2)2[(y 1+y 2)2+16]≤(y 1-y 2)2+(y 1+y 2)2+162=y 12+y 22+8，故x N =y 12+y 228+2≥6．6.已知点F 1、F 2分别为椭圆Γ:x 22+y 2=1的左､右焦点，直线l :y =kx +t 与椭圆Γ有且仅有一个公共点，直线F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l ，垂足分别为点M 、N .(1)求证：t 2=2k 2+1；(2)求证：F 1M ⋅F 2N为定值，并求出该定值；(3)求OM +ON ⋅ OM -ON的最大值.【解析】(1)联立l :y =kx +t 与Γ:x 22+y 2=1得：2k 2+1 x 2+4ktx +2t 2-2=0，由直线与椭圆有一个公共点可知：Δ=4kt 2-42k 2+1 2t 2-2 =0，化简得：t 2=2k 2+1；(2)由题意得：F 1-1,0 ,F 21,0 ，因为F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l ，所以F 1M ∥F 2N ，故F 1M ⋅F 2N =F 1M ⋅F 2N ，其中F 1M =-k +tk 2+1，F 2N =k +tk 2+1，所以F 1M ⋅F 2N =F 1M ⋅F 2N =-k +t k 2+1⋅k +t k 2+1=t 2-k 2 k 2+1=2k 2+1-k 2k 2+1=1，F 1M ⋅F 2N为定值，该定值为1；(3)OM +ON =OF 1 +F 1M +OF 2 +F 2N =F 1M +F 2N =F 1M +F 2N ，由题意得：点F 1,F 2在直线l 的同侧，所以F 1M +F 2N =-k +t k 2+1+k +t k 2+1=2t k 2+1，OM -ON =NM =F 1F 2 ⋅MNMN=F 1F 2 cos α=2k 2+1，(其中α为F 1F 2 ,MN 的夹角)，由此可知：OM +ON ⋅ OM -ON =4t k 2+1=8t t 2+1=8t +1t ≤82t ⋅1t=4，当且仅当t =1t即t =1,k =0时，等号成立，所以OM +ON ⋅ OM -ON 的最大值为4.7.(2022届广东省佛山市高三上学期12月模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e =22，且点P 2,1 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若点A ,B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP (不包括端点)上.求△AOB 面积的最大值.【解析】(1)离心率e =c a =22，将P 代入椭圆方程，可得4a 2+1b2=1，又a 2-b 2=c 2 ，∴联立上述方程，可得：a =6， b =c =3，∴椭圆方程为x 26+y 23=1；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 可得：x 21+2y 21=6,x 22+2y 22=6，相减可得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0，由题意，k OM =k OP =12，即y 1+y 2x 1+x 2=12，∴直线AB 的斜率y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 22y 1+y 2=-12×2=-1，故可设直线AB 为y =-x +t ，代入椭圆方程可得：3x 2-4tx +2t 2-6=0，由Δ=16t 2-12(2t 2-6)>0，解得-3<t <3，∴x 1+x 2=4t 3,x 1x 2=2t 2-63，AB =2⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2⋅16t 29-8t 2-243=439-t 2，又O 到AB 的距离为d =t2，∴△AOB 面积为S =12AB d =23t 29-t 2≤23⋅t 2+9-t 22=322，当且仅当t 2=9-t 2，即t =±322时，S 取得最大值322.8.(2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点为B 0,1 ，过点2,0 且与x 轴垂直的直线被截得的线段长为233.(1)求椭圆Γ的标准方程﹔(2)设直线l 1交椭圆Γ于异于点B 的P ,Q 两点，以PQ 为直径的圆经过点B ,线段PQ 的中垂线l 2与x 轴的交点为(x 0,0)，求x 0的取值范围.【解析】(1)由已知条件得：b =1，令x =2，得y =±1-2a2，由题意知：21-2a 2=233，解得a =3，∴椭圆的标准方程为x 23+y 2=1，(2)①当直线PQ 的斜率不存在时，显然不合题意；②当直线PQ 斜率存在时，设PQ :y =kx +m ，当k =0时，此时P ,Q 关于y 轴对称，令P (x ,y ),Q (-x ,y )，∴BP =(x ,y -1),BQ =(-x ,y -1)且BP ⋅BQ=0，则(y -1)2=x 2，又x 2=3-3y 2，∴2y 2-y -1=0，解得y =-12或y =1(舍)，则P 32,-12 ,Q -32,-12符合题设.∴此时有x 0=0；当k ≠0时，则y =kx +mx 2+3y 2=3，得1+3k 2 x 2+6km x +3m 2-3=0，Δ=36k 2+12-12m 2>0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则y =kx +mx 2+3y 2=3，得1+3k 2 x 2+6km x +3m 2-3=0，Δ=36k 2+12-12m 2>0，且x 1+x 2=-6km 1+3k2x 1x 2=3m 2-31+3k 2，由BP ⋅BQ=x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =0，即1+k 2 x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2=0，∴1+k 2 ⋅3m 2-31+3k 2-k m -1 ⋅6km 1+3k 2+m -1 2=0，整理得2m 2-m -1=0，解得m =-12，m =1(舍去)，代入Δ=36k 2+12-12m 2>0得：k ∈R ，∴PQ 为y =kx -12，得：x M =x 1+x 22=3k 21+3k 2 ,y M =-121+3k 2 ，则线段的PQ 中垂线l 2为y +121+3k 2 =-1k x -3k 21+3k 2，∴在x 轴上截距x 0=k 1+3k 2，而x 0=k 1+3k 2≤k 2×3k=36，∴-36≤x 0≤36且x 0≠0，综合①②:线段PQ 的中垂线l 2在x 轴上的截距的取值范围是-36,36.9.(2022届河北省高三上学期12月教学质量监测)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-1,0 ，F 21,0 ，点P 满足PF 1 +PF 2 =22，点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)不过F 1的直线l 与C 交于A ､B 两点，若直线l 的斜率是直线AF 1､BF 1斜率的等差中项，直线AB 和线段AB 的垂直平分线与y 轴分别交于P ､Q ，求PQ 的最小值.【解析】(1)由椭圆的定义知，点P 在以F 1，F 2为焦点且a =2的椭圆上，所以其方程为：x 22+y 2=1(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0.直线l 的方程为y =kx +b ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立得x 2+2y 2=2y =kx +b得1+2k 2 x 2+4kb x +2b 2-2=0，所以Δ=4kb 2-41+2k 2 2b 2-2 >0得k 2+1>b 2x 1+x 2=-4kb 1+2k 2，x 1x 2=2b 2-21+2k 2由题意得2k =y 1x 1+1+y 2x 2+1，即2k x 1+1 x 2+1 =kx 1+b x 2+1 +kx 2+b x 1+1整理得b -k x 1+x 2 =2k -b∵直线l 不过F 1，∴b ≠k ，x 1+x 2=-2∴-4kb 1+2k 2=-2，∴b =1+2k 22k ∵b 2<k 2+1，∴1+2k 22k 2<k 2+1，解得k >22或k <-22线段AB 的中点为-1,b -k ，线段AB 中垂线方程为y -b -k =-1kx +1 当x =0时，y Q =-1k-k +b ，直线AB 与y 轴交点的纵坐标y P =b PQ =y P -y Q =k +1k，k >22或k <-22当k =±1时，PQ 最小，最小值为2.10.已知两圆C 1:(x -2)2+y 2=54,C 2:(x +2)2+y 2=6，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1内切，和圆C 2外切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点A 3,0 的直线与曲线C 交于P ,Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ，求△ARQ 面积的最大值.【解析】(1)依题意，圆C 1的圆心C 12,0 ，半径r 1=36，圆C 2的圆心C 2-2,0 ，半径r 2=6，设圆M 的半径为r ，则有MC 1 =r 1-r ，MC 2 =r 2+r ，因此，MC 1 +MC 2 =r 1+r 2=46>4=C 1C 2 ，于是得点M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点，长轴长2a =46的椭圆，此时，焦距2c =4，短半轴长b 有：b 2=a 2-c 2=20，所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为：x 224+y 220=1.(2)显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为x =my +3(m ≠0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，由x =my +35x 2+6y 2=120消去x 得：(5m 2+6)x 2+30my -75=0，则y 1+y 2=-30m 5m 2+6，y 1y 2=-755m 2+6，点P 关于x 轴的对称点R (x 1,-y 1)，S △PQR =12⋅|2y 1|⋅|x 2-x 1|，S △APR =12⋅2y 1⋅ 3-x 1 ，如图，显然x 1与x 2在3的两侧，即x 2-x 1与3-x 1同号，于是得S △AQR =S △PQR -S △APR =y 1 x 2-x 1- 3-x 1 =y 1⋅ x 2-x 1 -3-x 1=|y 1|⋅|x 2-3|=|y 1|⋅|my 2|=|my 1y 2|=75|m |5m 2+6=755|m |+6|m |≤7525|m |⋅6|m |=5304，当且仅当5|m |=6|m |，即m =±305时取“=”，因此，当m =±305时，(S △AQR )max =5304，所以△ARQ 面积的最大值5304.11.已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >0)的离心率为22，分别过左、右焦点F 1，F 2作两条平行直线l 1和l 2.(1)求l 1和l 2之间距离的最大值；(2)设l 1与C 的一个交点为A ，l 2与C 的一个交点为B ，且A ，B 位于x 轴同侧，求四边形AF 1F 2B 面积的最大值.【解析】(1)∵椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >0)的离心率为22，且b =1，∴a =2,b =1,c =1，∴x 22+y 2=1，设直线l 1：x =ty -1；直线l 2：x =ty +1.∴l 1和l 2之间距离d =21+t 2≤2，当t =0时，d max =2；(2)根据题意，不妨设直线l 1与椭圆C 交于A 、D 两点，直线l 2与椭圆C 交于B 、N 两点，则AD ∥BN ，且AD =BN ，即四边形ABND 为平行四边形，∴四边形AF 1F 2B 面积为四边形ABND 面积的一半，由(1)知，d =21+t 2，联立方程x =ty -1x 2+2y 2=2 ,则2+t 2 y 2-2ty -1=0，∴Δ=8t 2+1 >0,y 1+y 2=2t 2+t 2,y 1y 2=-12+t 2，∴AD =1+t 2y 1-y 2 =22t 2+1 2+t 2，∴12S ▱ABND =12d ⋅AD =12×21+t 2×22t 2+1 2+t 2=221+t 22+t 22，令u =1+t 2≥1，12S ▱ABND =22u u +1 2=221u +1u+2，∵u ≥1，∴u +1u+2≥4，∴12S ▱ABND ≤2，当且仅当t =0时，取等号.故四边形AF 1F 2B 面积的最大值2.12.(2022届广西玉林市、贵港市高三12月模拟)设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过M 1,32 ，N 3,12 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA ⊥OB若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】(1)将M ，N 的坐标代入椭圆E 的方程得1a 2+34b 2=13a 2+14b 2=1 ，解得a 2=4，b 2=1．所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x 2+y 2=R 2，其中0<R <1，设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，当直线AB 的斜率存在时，令直线AB 的方程为y =kx +m ，①将其代入椭圆E 的方程并整理得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0，由韦达定理得x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1，②因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，③将①代入③并整理得1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=0，联立②得m 2=451+k 2 ，④因为直线AB 和圆相切，因此R =|m |1+k 2，由④得R =255，所以存在圆x 2+y 2=45满足题意．当切线AB 的斜率不存在时，易得x 12=x 22=45，由椭圆方程得y 12=y 22=45，显然OA ⊥OB ，综上所述，存在圆x 2+y 2=45满足题意．当切线AB 的斜率存在时，由①②④得AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2=1+k 2x 1-x 2 2=1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-8km 4k 2+1 2-4×4m 2-44k 2+1=1+k216+64k 2-16m 21+4k 22=4551+k 21+16k 21+4k 22=45516k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1=4551+9k 216k 4+8k 2+1=4551+916k 2+1k2+8，由16k 2+1k 2≥8，得1<1+916k 2+1k2+8≤54，即455≤AB ≤5．当切线AB 的斜率不存在时，易得AB =455，所以455≤AB ≤5．综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=45满足题意，且455≤AB ≤5．13.(2022届上海市青浦区高三一模)已知抛物线y 2=x .(1)过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求OA ∙OB 的值(其中O 为坐标原点)；(2)过抛物线上一点C x 0,y 0 ，分别作两条直线交抛物线于另外两点P x p ,y p ､Q x Q ,y Q ，交直线x =-1于A 1-1,1 ､B 1-1,-1 两点，求证：y p ⋅y Q 为常数(3)已知点D 1,1 ，在抛物线上是否存在异于点D 的两个不同点M ､N ，使得DM ⏊MN ?若存在，求N 点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点F 的直线为x =my +14，联立y 2=xx =my +14得y 2-my -14=0，y 1+y 2=my 1⋅y 2=-14，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则OA ∙OB =x 1x 2+y 1y 2=y 21⋅y 22+y 1y 2=-316；(2)由题可设过点C x 0,y 0 的一条直线交抛物线于P x p ,y p ，交直线x =-1于A 1-1,1 ，另一条直线交抛物线于Q x Q ,y Q ，交直线x =-1于B 1-1,-1 ，则k A 1C ≠0,k B 1C ≠0，k A 1C =y 0-1x 0+1,k B 1C =y 0+1x 0+1，直线A 1C 方程可表示为：y =y 0-1x 0+1x +1 +1，直线B 1C 方程可表示为：y =y 0+1x 0+1x +1 +1，联立直线A 1C 与抛物线方程y 2=xy =y 0-1x 0+1x +1+1可得y 2-x 0+1y 0-1y +x 0+1y 0-1+1 ，故y 0+y p =x 0+1y 0-1，即y p =x 0+1y 0-1-y 0，同理联立直线B 1C 和抛物线方程化简可得y 2-x 0+1y 0-1y +1-x 0+1y 0-1=0，故y 0+y Q =x 0+1y 0+1，y Q =x 0+1y 0+1-y 0，即y p ⋅y Q =x 0+1y 0-1-y 0 x 0+1y 0+1-y 0 =y 20+1y 0-1-y 0 y 20+1y 0+1-y 0=y 0+1y 0-1⋅1-y 0y 0+1=-1(3)假设存在点D 满足DM ⏊MN ，设M y 23,y 3 ,N y 24,y 4 ，DM =y 23-1,y 3-1 ,MN =y 24-y 23,y 4-y 3 ，则DM ⋅MN =y 23-1 ⋅y 24-y 23 +y 3-1 y 4-y 3 =0，易知y 3≠1,y 4≠y 3，化简得y 3+1 y 4+y 3 +1=0，即y 4=-1y 3+1+y 3 =-1y 3+1+y 3+1 -1，当y 3+1<0时，y 4=-1y 3+1-y 3+1 +1≥2-1y 3+1⋅-y 3+1 +1=3，当且仅当y 3=-2时取到等号，故y 4≥3；当y 3+1>0时，y 4=-1y 3+1+y 3+1 -1 ≤-21y 3+1⋅y 3+1 -1 =-1，当且仅当y 3=0时取到等号，因为y 3≠1，故y 3+1≠2，令t =y 3+1，则t +1t ≠52，但t =y 3+1=12能取到，此时t +1t =52，故y 4∈-∞,-1 ；故y 4∈-∞,-1 ⋃3,+∞ .。
微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)
专题30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。
圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1．已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞2． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为73．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是434．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 .5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，2x 2－），B （x 0，－20x 2－），OAO B ⋅ ＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--∙--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1， 又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2【典型示例】求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(0x ,-x20)，由点到直线的距离公式得P 到直线的距离d(0x )=5|834|200--x x =5320)32(320+-x 34≥， 当0x =32时，d(0x )取得最大值34,分析二：设抛物线上点P(0x ,-x20)到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P 且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y '( 0x )=-2 0x =-34,∴0x =32,∴P(32,-94), 此时d=5|8943324|--⨯+⨯）（=34，. 分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l 与抛物线相切时l 与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0342C y x y x 得4x-3x 2+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-34,此时d=345|348|=---）（【分类解析】例1:已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PA PB +的最小值；（2）求||||PA PB +的最小值和最大值 分析：（1）A 为椭圆的右焦点。
圆锥曲线求最值方法总结及典型例题
圆锥曲线最值问题—5大方面最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。
解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。
以下从五个方面予以阐述。
一．求距离的最值例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ， 解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1， 则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411, 当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
二．求角的最值例2．M ，N 分别是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠MPN 的最大值是 .解析：不妨设l 为椭圆的右准线，其方程是22=x ，点)0)(,22(00>y y P ，直线PM 和PN 倾斜角分别为βα和.∵)0,2(),0,2(N M -∴,232220tan 00y y k PM =+-==α22220tan 00y y k PN =--==β于是)tan(tan αβ-=∠MPN 2321232tan tan 1tan tan 0000y y y y ⋅+-=+-=αβαβ 33622262262200200=≤+=+=y y y y ∵)2,0[π∈∠MPN ∴6π≤∠MPN 即∠MPN 的最大值为6π. 评注：审题时要注意把握∠MPN 与PM 和PN 的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值例3.点M 和F 分别是椭圆192522=+y x 上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值. ⑵求45|MF|+|MB|的最小值. 解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F ′(-4,0)，离心率e=54，准线方程x=±425. ⑴|MF| + |MB| = 10―|MF ′ | + |MB| =10―（|MF ′|―|MB|）≥10―|F ′B|=10―210.故当M ，B ，F ′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210.⑵过动点M 作右准线x=425的垂线，垂足为H ， 则54||||==e MH MF ⇒||54|H |MF M =. 于是45|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=417. 可见，当且仅当点B 、M 、H 共线时，45|MF|+|MB|取最小值417. 评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)两种解法①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．[典例] (2018·武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED ―→＝6DF ―→，求k 的值； (2)求四边形AEBF 的面积的最大值． [思路演示]解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2＝4， 解得x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 由ED ―→＝6DF ―→，得x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， ∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由点D 在直线AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，∴x 0＝21＋2k. ∴21＋2k ＝1071＋4k2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E ，F 到AB 的距离分别为d 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，d 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)，又|AB |＝22＋12＝5， ∴四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k1＋4k 2＝21＋44k ＋1k≤21＋424k ·1k ＝22，当且仅当4k ＝1k (k >0)，即k ＝12时，等号成立．故四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. [解题师说]由于四边形AEBF 中的四个顶点中，A ，B 为已知定点，E ，F 为直线y ＝kx 与椭圆的交点，其坐标一定与k 有关，故四边形AEBF 的面积可用直线y ＝kx 的斜率k 表示，最后通过变形，利用基本不等式求最值．[应用体验]1．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t ＞0)，且经过F 1，F 2，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过点Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值． 解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意可知，2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2.又c ＝1，故a 2＝b 2＋c 2＝5， 故椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1.设Q (x 0，y 0)，因为PM ⊥QM ，所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1＝x 20＋(y 0－t )2－t 2－1＝－14(y 0＋4t )2＋4＋4t 2. 若－4t ≤－2, 即t ≥12，当y 0＝－2时，|QM |取得最大值， |QM |max ＝4t ＋3＝322，解得t ＝38＜12(舍去)．若－4t ＞－2，即0＜t ＜12， 当y 0＝－4t 时，|QM |取最大值，且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t ＝24.综上可知，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．[典例] (2018·合肥质检)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．[思路演示]解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ， 则椭圆E 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝⎛⎭⎫1，32， ∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54.当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 则x 1x 2＝43＋4k2，且Δ＝48(4k 2－1)>0， ∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ， ∴λ＝45⎝⎛⎭⎫1＋13＋4k 2，∵k 2>14，∴45<λ<1.综上可知，实数λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫45，1. [解题师说]在关系式λ|PM |2＝|PA |·|PB |中，P ，M 为已知定点，而A ，B 两点是动直线l 与椭圆的交点，故λ与直线l 的斜率有关，应考虑建立λ关于k 的函数关系式求解．[应用体验]2．已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1―→·PF 2―→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c .∵椭圆E 的离心率等于223，∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29. ∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2， ∴PF 2⊥F 1F 2. ∴|PF 2|＝b 2a.∵9PF 1―→·PF 2―→＝1，∴9|PF 2―→|2＝9b 4a2＝1.由⎩⎨⎧b 2＝a 29，9b4a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1.(2)∵直线x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，∴直线l 不可能与x 轴垂直，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，9x 2＋y 2＝9得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. ∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0， 即m 2－k 2－9<0. 则x 1＋x 2＝－2kmk 2＋9. ∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2km k 2＋9＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0，－2km k 2＋9＋1＝0得⎝⎛⎭⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0.∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k 2－1<0，∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，2π3.1．(2018·广东五校协作体诊断)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成了3∶1的两段．(1)求椭圆的离心率；(2)过点C (－1,0)的直线l 交椭圆于不同两点A ，B ，且AC ―→＝2CB ―→，当△AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．解：(1)由题意知，c ＋b2＝3⎝⎛⎭⎫c －b 2， 所以b ＝c ，a 2＝2b 2， 所以e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝22.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为x ＝ky －1(k ≠0)，因为AC ―→＝2CB ―→，所以(－1－x 1，－y 1)＝2(x 2＋1，y 2)， 即2y 2＋y 1＝0.①由(1)知，a 2＝2b 2，所以椭圆方程为x 2＋2y 2＝2b 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 2＋2y 2＝2b 2消去x ，得(k 2＋2)y 2－2ky ＋1－2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2k k 2＋2.②由①②知，y 2＝－2k k 2＋2，y 1＝4kk 2＋2.因为S △AOB ＝12|y 1|＋12|y 2|，所以S △AOB ＝3·|k |k 2＋2＝3·12|k |＋|k |≤3·122|k |·|k |＝324，当且仅当|k |2＝2，即k ＝±2时取等号，此时直线l 的方程为x ＝2y －1或x ＝－2y －1， 即x －2y ＋1＝0或x ＋2y ＋1＝0. 2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |＞|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b2a (a ＋c )a 2＝b 2＋c 2，＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △PAM S △PBN ＝12|PA |·|PM |·sin ∠APM12|PB |·|PN |·sin ∠BPN ＝2|PM ||PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ2(λ＞2)，所以PM ―→＝－λ2PN ―→.由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝⎛⎭⎫k ＞12， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1消去y ，化简得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3.(*)又PM ―→＝(x 1，y 1＋1)，PN ―→＝(x 2，y 2＋1)，则x 1＝－λ2x 2.将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k ＞12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1＜(2－λ)2λ＜4，且λ＞2，解得4＜λ＜4＋23， 所以实数λ的取值范围为(4,4＋23)．3．(2018·广西三市第一次联考)已知右焦点为F 2(c,0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点⎝⎛⎭⎫12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．解：(1)∵椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫1，32，∴1a 2＋94b2＝1，① ∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点，∴a ＝2c ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2，②由①②得a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 过点⎝⎛⎭⎫12，0且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12. 由⎩⎨⎧x ＝my ＋12，x 24＋y 23＝1消去x ，并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， ∴y 1＋y 2＝－3m3m 2＋4，∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m2(3m 2＋4)， ∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4，∴k ＝y 0x 0－2＝m 4m 2＋4.①当m ＝0时，k ＝0； ②当m ≠0时，k ＝14m ＋4m，∵4m ＋4m ＝4|m |＋4|m |≥8，∴0<|k |≤18，∴－18≤k ≤18且k ≠0.综合①②可知，直线MA 的斜率k 的取值范围是－18，18.4．已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B 两点．记λ＝OA ―→·OB ―→，且23≤λ≤34. (1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围；(3)求△OAB 的面积S 的取值范围． 解：(1)由题意知2c ＝2，所以c ＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b ＝1，故a ＝2，所以所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切， 所以原点O 到直线l 的距离为|m |12＋k 2＝1， 即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.λ＝OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k 2，由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，－22∪⎣⎡⎦⎤22，1. (3)|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2－2(2k 2＋1)2， 由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ， 则S ＝12|AB |d ＝12|AB |，所以64≤S ≤23， 即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎡⎦⎤64，23。
数学复习：圆锥曲线双变量型三角形面积最值问题
最值问题——数学复习：圆锥曲线双变量型三角形面积最值问题构造函数最值问题的基本解法有几何法和代数法：几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个或两个变量的函数，通过求解函数的最值普通方法、基本不等式方法、导数方法等解决的．【例题选讲】[例1] (2020·新全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2，3)，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12．(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．[规范解答] (1)由题意可知直线AM 的方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＝－4．当y ＝0时，解得x ＝－4，所以a ＝4．由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2，3)，可得416＋9b 2＝1，解得b 2＝12．所以C 的方程为x 216＋y 212＝1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为x －2y ＝m ．如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立{x －2y ＝m ，x 216＋y 212＝1，可得3(m ＋2y )2＋4y 2＝48，化简可得16y 2＋12my ＋3m 2－48＝0，所以Δ＝144m 2－4×16(3m 2－48)＝0，即m 2＝64，解得m ＝±8，与AM 距离比较远的直线方程为x －2y ＝8，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，即d＋由两点之间的距离公式可得|AM |所以△AMN 的面积的最大值为12×318．[例2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b>0)的离心率为12，点M在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求△OAB 面积的最大值．[规范解答] (1)由椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b >0)的离心率为12，点M在椭圆C 上，得{c ＝1，1，a 2＝b 2＋c 2，解得{a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)易得直线OM 的方程为y ＝12x ．当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线y ＝12x 上，故直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，与x 24＋y 23＝1联立消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m3＋4k 2，所以AB 的中点N (－4km3＋4k 2，3m 3＋4k 2)，因为N 在直线y ＝12x 上，所以－4km3＋4k 2＝2×3m 3＋4k 2，解得k ＝－32，所以Δ＝48(12－m 2)>0，得－mm ≠0，|AB |2－x 1|又原点O 到直线l 的距离d所以S △OAB ＝12×当且仅当12－m 2＝m 2，即m ＝m m ≠0，所以△OAB [例3] 已知平面上一动点P 到定点F0)的距离与它到直线x P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求△MON 的面积的最大值．[规范解答] (1)设P (x ，y )，化简，得x 24＋y 2＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立{y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，得Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简，得m 2<4k 2＋1， ①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)·4(m 2－1)4k 2＋1＋4km (－8km 4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简，得m 2＋k 2＝54， ②|MN |1－x 2|∵原点O 到直线l 的距离d ∴S △MON ＝12|MN|·d ＝12设4k 2＋1＝t ，由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54，∴65<t ≤6，16≤1t <56，S △MON ＝12＝12，∴当1t ＝12，即k ＝±12时，△MON 的面积取得最大值为1．[例4] 已知动圆过定点F (0，14)，且与定直线l ：y ＝－14相切．(1)求动圆圆心的轨迹曲线C 的方程；(2)若点A (x 0，y 0)是直线x －y －1＝0上的动点，过点A 作曲线C 的切线，切点记为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求△AMN 面积S 的最小值．[规范解答] (1)根据抛物线的定义，由题意可得，动圆圆心的轨迹C 是以点F (0，14)为焦点，以定直线l ：y ＝－14为准线的抛物线．设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，因为点F (0，14)到准线l ：y ＝－14的距离为12，所以p ＝12，所以圆心的轨迹曲线C 的方程为x 2＝y ．(2)证明：因为x 2＝y ，所以y ′＝2x ，设切点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 21＝y 1，x 22＝y 2，则过点M (x 1，y 1)的切线方程为y －y 1＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21，即y ＝2x 1x －y 1．同理得过点N (x 2，y 2)的切线方程为y ＝2x 2x －y 2．因为过点M ，N 的切线都过点A (x 0，y 0)，所以y 0＝2x 1x 0－y 1，y 0＝2x 2x 0－y 2，所以点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)都在直线y 0＝2xx 0－y 上，所以直线MN 的方程为y 0＝2xx 0－y ，即2x 0x －y －y 0＝0．又因为点A (x 0，y 0)是直线x －y －1＝0上的动点，所以x 0－y 0－1＝0，所以直线MN 的方程为2x 0x －y －(x 0－1)＝0，即x 0(2x －1)＋(1－y )＝0，所以直线MN 恒过定点(12，1)．联立{2x 0x －y －y 0＝0，y ＝x 2，得x 2－2x 0x ＋y 0＝0，又x 0－y 0－1＝0，所以x 2－2x 0x ＋x 0－1＝0，则Δ＝4x 20－4(x 0－1)＞0，x 1＋x 2＝2x 0，x 1·x 2＝x 0－1，所以MN又因为点A (x 0，y 0)到直线2x 0x －y －y 0＝0的距离为d|2x 0·x 0－y 0－y 0||2x 20－2x 0－1|2|x 20－x 0＋1|所以S ＝12MN·d20－0＋x 20－x 0＋1|．令tS ＝2t 3所以当点A 的坐标为(12，－12)时，△AMN 的面积S[例5] 已知抛物线Γ：x 2＝2py (p ＞0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A ，B (点B 在点A 的左侧)两点，且|AB |＝(1)求抛物线Γ在A ，B 两点处的切线方程；(2)若直线l 与抛物线Γ交于M ，N 两点，且M ，N 的中点在线段AB 上，MN 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求△QMN 面积的最大值．[规范解答] (1)由x 2＝2py，令y ＝2，得x ＝p ＝3，即x 2＝6y ．由y ＝x 26，得y ′＝x3，故y ′|x ＝所以在A 点的切线方程为y －2x －，即2x－0；同理可得在B 点的切线方程为2x ＋0．(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x 2＝6y 与y ＝kx ＋m 联立，得x 2－6kx －6m ＝0，又Δ＝36k 2＋24m ＞0，故x 1＋x2＝6k ，x 1x 2＝－6m ，故|MN |又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6k 2＋2m ＝4，所以m ＝2－3k 2，所以|MN |＝由Δ＝36k 2＋24m ＞0k k ≠0．因为M ，N 的中点为(3k ，2)，所以M ，N 的垂直平分线方程为y －2＝－1k (x －3k )，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0，5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离d2所以S △QMN ＝12·2令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1＜u ＜73，故S △QMN ＝设f (u )＝u 2(7－3u )，则f ′(u )＝14u －9u 2，结合1＜u ＜73，令f ′(u )＞0，得1＜u ＜149；令f ′(u )＜0，得149＜u ＜73，所以当u ＝149，即k ＝(S △QMN )max ＝【对点训练】1．如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．1．解析 (1)由{y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4．因为OA → ＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以{－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得{p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y ．(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，又y ′＝－x ，所以－x 0＝2，故x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d－－－－由{y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，故x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4，所以|AB |所以△ABP 面积的最大值为52＝2．椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率存在的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l△AOB 面积的最大值．2．解析 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意知{ca ＝a∴c b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ．|m |m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0．Δ＝36k 2m 2－4(3k 2＋1)(3m 2－3)＝36k 2－12m 2＋12>0．∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1．∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)[36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1]＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6(k ≠0)≤3＋122×3＋6＝4．当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝3k ＝0时，|AB||AB |max ＝2．∴当|AB |最大时，△AOB 的面积取得最大值S ＝12×|AB |max223．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1．(1)求椭圆E 的方程；(2)若不过原点O 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值．3．解析 (1)由题意知{bc ＝a －c ＝1，又a2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，代入椭圆方程，整理，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．由Δ＞0，得4k 2－m 2＋3＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3．于是|AB |3又坐标原点O到直线l 的距离d |m |所以△OAB 的面积S ＝12·|AB |·d ＝m因为|m33≤m 2＋(4k 2－m 2＋3)24k 2＋3＝12，所以S ＝12·|AB |·d当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝t ，同理可求得S ＝12·|AB |·d ＝12|t综上，△OAB 4．已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM → ．(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标；(2)求△ABP 面积的最大值．4．解析 (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1．设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得y 0＝2，所以P 2)或P (－2)，由PF → ＝3FM →，得M (，23)或M ，23)．(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由{y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0，于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 中点M 的坐标为(2k ，2k 2＋m )．由PF → ＝3FM →，得(－x 0，1－y 0)＝3(2k ，2k 2＋m －1)，所以{x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415，由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43．又因为|AB |点F (0，1)到直线AB 的距离为d |m －1|所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1(－13<m ≤43)，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1，可得f (m )在(－13，19)上是增函数，在(19，1)上是减函数，在(1，43)上是增函数，又f(19)＝256243>f (43)＝59．所以当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝所以△ABP。
数学：圆锥曲线中的最值问题》课件
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线最值问题的方法 • 经典例题解析 • 圆锥曲线最值问题的应用 • 总结与展望
01
引言
圆锥曲线简介
01
圆锥曲线是平面几何中一个重要 内容，包括椭圆、双曲线和抛物 线等。
02
圆锥曲线在日常生活和科学研究 中有着广泛的应用，如行星轨道 、光学、工程学等。
详细描述
解决这类问题需要利用导数和切线的性质，通过求导和转化，将斜率表示为易于 处理的形式，再利用基本不等式或求导方法求解。
03
解决圆锥曲线最值问题的方法
利用基本不等式求解
总结词
利用基本不等式求解圆锥曲线中的最值问题是一种常见的方法，通过将问题转化为不等式形式，可以简化计算过 程。
详细描述
基本不等式是数学中常用的工具，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。这些不等式能够提供一些关 于变量之间关系的约束条件，从而帮助我们找到最值。在圆锥曲线问题中，我们通常将曲线的方程与基本不等式 结合，通过代数运算和变换，找到满足条件的解。
通过参数方程求解
总结词
参数方程是解决圆锥曲线最值问题的另一种有效方法，通过引入参数来表示曲线上点的坐标，可以将 问题转化为参数的取值范围和变化规律。
详细描述
参数方程通常用于表示曲线上点的坐标，通过引入参数来表示这些坐标。这种方法可以将复杂的几何 问题转化为参数的代数问题，从而简化计算过程。在求解最值问题时，我们可以通过分析参数的变化 规律和取值范围，找到满足条件的解。
解决圆锥曲线最值问题需要综合运用多种数学方法和技巧，如配方法、判别式法、 参数法等。
最值问题的发展趋势和未来研究展望
随着数学理论和方法的不断发展，圆 锥曲线最值问题将不断涌现出新的问 题和挑战。
圆锥曲线之面积问题
圆锥曲线之面积问题一般来说，题目会经常考直线与圆锥曲线相交后所围三角形或者四边形的面积。
采用的方法有两种，分割法或者二分之一底乘高。
分割法：所围图形内部有一条线段躺在x 轴或y 轴上，且长度固定。
此时用这条线段分割所围图形即可。
二分之一底乘高：则是用三角形的面积进行计算做题时，优先考虑分割法。
下面用一个引例进行说明。
而该例子中在求最值时，有一个高考常用的处理技巧，必须掌握。
引例 如下图，已知椭圆2212x y +=，左焦点为()11,0F -。
过1F 的任意直线交该椭圆于A 、B 两点，求三角形OAB 面积的最大值解析：法一分割法：三角形OAB 内部有一条线段1OF 躺在x 轴上，而且该线段的长度已知为1，因此用该线段分割非常合适。
设()()1122,,,A x y B x y ，则111112112111||||()221||()21||2OAB OAF OBF SS S OF y OF y OF y y OF =+=+-=-=接下来就是设出直线方程，运用根与系数的关系了。
设该直线为x=ty-1 由()22221223012x ty t y ty x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 则12122223,22t y y y y t t +==-++ 则11|2OAB S OF === 接下来求上式的最大值，有一个很重要的技巧，就是换元，把整个根式换掉。
必须掌握，处理如下：通法：令m =2m ≥且2221122m S m m m ==++又对勾函数的单调性知12m m +≥因此S ≤=法二，二分之一底乘以=高：如果我们把点O 到直线的距离设为d ，则显然1||2OAB SAB d = 直线l 仍旧设为x=ty-1|AB|又d =依旧按照联立方程，用根与系数的关系，写出OAB S 的面积公式，接下来的处理就与分割法一样。
先换元，再利用对勾函数的性质即可求出最大值。
在此略去例1 （2014全国1卷）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221x y a b+=（a>b>0），其离心率2e =，F 是椭圆的右焦点，3AF k = （1）求E 得方程（2）求过点A 的直线l 与E 交于两点P 、Q ，求OPQ S 最大值时直线l 的方程 解析：（1）由202203AF c e k a c c --=====-得到1c b ==因此E ：2214x y += （2）如下图因为OA 这条线段躺在y 轴上，且长度已知，因此运用分割法做最好。
高考数学一轮复习专题03 圆锥曲线面积问题(解析版)
F 2F 1OyxBA解析几何专题三：圆锥曲线面积问题一、知识储备 1、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+00002211122'2'1ABP kx y m kx y mS AB d k A A k ∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+2、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 2222222222222224()11||S =||d 22AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B∆+-=+++2222222222()C ab a A b B C a A b B+-=+注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+1212221''1ABCDm m m m SAB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数CDHOyxBA均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点()3,1．（1）求椭圆G 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92.【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB ：y x b =+，其线段AB 中垂线为1y x =--，联立椭圆方程并应用韦达定理求12x x +、12x x ，进而可得12y y +，由AB 中点在中垂线上代入求参数b ，进而求||AB 、P 到AB 的距离，即可求△PAB 的面积． 【详解】（1）由题意，22222911a b a b c c e a ⎧==⎪⎪⎪+⎨==+⎪⎪⎪⎩，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆G 的方程221124x y+=.（2）令AB 为y x b =+，则AB 中垂线方程为(3)21y x x =-++=--， 联立AB 与椭圆方程得：223()12x x b ++=，整理得22463120x bx b ++-=， 若1122(,),(,)A x y B x y ，则1232b x x +=-，2123124b x x -=， △121222by y x x b +=++=，又1212(,)22x x y y ++在AB 中垂线上，△3144b b-=，可得2b =，即123x x +=-，120x x =，△||AB == 又()3,2P -到AB的距离d △19||PABSAB d =⋅=. 2．（2022·全国高三模拟预测）已知双曲线C ：22221x ya b -=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞.【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =.因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =.①又双曲线过点，所以22231a b -=.② 由①②解得1a =，b = 所以双曲线1C 的标准方程为2213y x -=. （2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=. 因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN =2d <，故2103m ≤<. 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-=-，则1212S S PQ MN +=⋅=， 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞. 即12S S +的取值范围为[)12,+∞. 【点睛】关键点点睛：设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键.3．（2022·浙江高三开学考试）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（1（2）16.【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-， 进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444A M M N A M M N AM MN A M M N A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+，()332331122216AMN t S t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．1．（2022·江苏南京·高三月考）已知抛物线1G ：24y x =与椭圆2G ：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，2G 的左、右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为12． （1）求椭圆2G 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆2G 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ ∠与1PF R ∠互补，求1F QR ∆面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=．（2【分析】（1）由已知条件推导出1c =，结合12e =和隐含条件222a b c =+，即可求出椭圆标准方程； （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，可得110QF RF k k +=，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，∴椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率为12，∴12c e a ==，即2a =， 222a b c =+，222413b a c ∴=-=-=，即b =∴椭圆2C 的方程为22143x y +=． （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，∴110QF RF k k +=， ∴1212011y yx x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①， 设直线PQ 为(0)x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，∆222224364(34)(312)0b ac m n m n =-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④， 再将③代入④，可得2226(4)6(1)3434m n mn n m m -+=++，解得4n =-，PQ ∴的方程为4x my =-，由点(1,0)F -到直线PQ的距离d =，11||2F QRSQR d =⋅= 由②可得，23416m +>，即24m >，设()f m =24m t -=，0t >，()f t ∴= 由均值不等式可知，25625692996t t t t+⋅=， 当且仅当2569t t =时，即163t =，等号成立，当2569t t+取最小值时，()f t 取最大值，即1FQR 面积S 最大，∴()18max f t =， ∴△1FQR 面积S2．（2022·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为点与右焦点的连线构成正三角形． （△）求椭圆C 的标准方程；（△）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】（△）2214x y +=；（△）2y -或2y =-． 【分析】（△）由题意知，c =c a =222b a c =-，即可求得椭圆的方程； （△）设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=，利用韦达定理，弦长公式结合OMN的面积公式得到OMNS =，利用换元结合基本不等式求解. 【详解】（△）由题意知，c =cos 6c a π==， 2a ∴=，2221b a c =-=所以椭圆的方程为2214x y +=．（△）当l x ⊥轴时不合题意，由题意设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=． 当()216430k ∆=->，即234k >，且1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+．从而12||MN x-=．又点O 到直线MN的距离d =所以OMN 的面积1||2OMNSd MN =⋅=t ，则0t >，24444OMNt St t t==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆>． 所以，当OMN 的面积最大时，直线l的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2022·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别是()1F和)2F ，点Р在椭圆E 上，且12PF F △的周长是4+ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知、、A B C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到12124PF PF F F ++=+124PF PF +=，得到2a =，进而求得21b =，即可求得椭圆的方程；()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，联立方程组求得1212,x x x x +，根据0OA OB OC ++=，求得2282(,)1414km m C k k -++，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，得到直线AB 方程为1x =±，求得332ABCABOS S==. 【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xy E a b+=的焦点()1F 和)2F ，可得12F F =因为12PF F △的周长是4+12124PF PF F F ++=+所以124PF PF +=，即24a =，可得2a =，又由222431b a c =-=-=， 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2221484()40k x kmx m +++-=，则22212122284416(41)0,,1414km m k m x x x x k k -∆=-+>+=-=++ 由0OA OB OC ++=，可得12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，又由122814kmx x k +=-+，可得()12121222214m y y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 所以332282,1414km m x y k k ==-++， 将()33,x y 代入椭圆方程可得222282441414km m k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得22414m k =+， 又O 到直线AB的距离为d =则()2112OABSk =⋅+= 又由0OA OB OC ++=，可得点O 为ABC 的重心，所以3332ABCOABS S=⋅=； 当直线AB 斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB 方程为1x =±，可得AB112ABOS ==所以13312ABC ABOSS==⨯综上可得：ABC S △. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．4．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左，右焦点，126F F =，当P 在E 上且1PF 垂直x 轴时，217PF PF =.（1）求E 的标准方程；（2）A 为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，M 是E 上第四象限内一点，AM 与y 轴交于点C ，BM 与x 轴交于点D .（i ）证明：四边形ABDC 的面积是定值. （ii ）求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）())max 31CDM S =△.【分析】（1）由通径长公式得21b PF a=，结合椭圆定义可得,a b 关系，再由3c =求得,a b ，得椭圆方程；（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，由三点共线把,s t 用,m n 表示，然后计算四边形面积可得结论；（ii ）由（i ）只要ABM 面积最大即可，求出椭圆的与AB 平行的切线方程，切点即为M （注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值． 【详解】解：（1）由题意知21b PF a=，212PF PF a +=，217PF PF =，则182PF a =，得2a b =，又3c =，222a b c =+，解得2a b == 所以E 的标准方程是221123x y +=.（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，因为A ，C ，M 三点共线，则AC AM λ=，解得t =B ，D ，M 三点共线，则BD BM μ=，解得s =，AD s =+BC t =，221123m n +=，66AD BC st ⋅--+==6612m n +==. 162ABDC S AD BC =⋅=. （ii ）因为CDM ABM ABDC S S S =-四边形△△， 所以当ABM S △最大时，CDMS 最大.1:2AB l y x =AB 平行的直线()1:02l y x p p =+<， 与221123x y +=联立，消y 得222260x px p ++-=，()2244260pp ∆=--=，解得p =p =（舍去），两平行线AB l ，l间的距离25d =，())max1312ABM S AB d =⋅=△，则())max 31CDM S =△.5．（2022·山西祁县中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)F ，动点P 到直线6x =的距离等于2||2PF +.动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知(2,0)A ，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的最大值．【答案】（1）221123x y +=；（2）3.【分析】（1）设点P (x ，y )，再根据动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2列出方程化简即可；（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与（1）中所得的椭圆方程，得出韦达定理，再得出S 1＋S 2＝12|OA ||y 1－y 2|关于m 的表达式，换元求解最值即可 【详解】(1)设点P (x ，y )，当6x ≥时，P 到直线x ＝6的距离显然小于PF ，故不满足题意； 故()62,6x x -=<，即4x -=整理得3x 2＋4y 2＝12，即24x ＋23y ＝1.故曲线C 的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ>0显然成立， 所以y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 所以|y 1－y 2|故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y2|.设t t ≥1，则m 2＝t 2－1，则S 1＋S 2＝21231tt +＝1213t t+. 因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．故S 1＋S 2＝1213t t+≤3， 即S 1＋S 2的最大值为3.6．（2022·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点(1,0)A ，且与定圆22:(1)16C x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹E 的方程．（2）直线l 经过点A 且不与x 轴重合，l 与轨迹E 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．由与定圆22:(1)16C x y ++=相切，且点A 的圆C 内，由||44||MC R MA =-=-，即||||4MC MA +=，利用椭圆的定义求解；（2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，由121||2CPQSCA y y =⋅-，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．定圆C 的圆心(1,0)C -，半径为4. 点A 的圆C 内．||44||||||4MC R MA MC MA ∴=-=-∴+=，且4AC > ，∴轨迹E 是以C 、A 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：22143x y +=. （2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=， 得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,P x y Q x y ⋅， 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，121||2CPQSCA y y =⋅-，=令21(1)t m t =+，则1212CPQS=1()9f t t t=+在[1,)+∞为增函数1t ∴=，即0m =时，CPQ S △取最大值3.7．（2022·山东高三模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ． （1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS>【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k Sk +=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果 【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QABQPB QPASSSPQ x x =-=-122k x x =- 所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2()()222248131k k k+=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>-- 所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题 8．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB ∆的面积为求直线l 的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+． 【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案. 【详解】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a -=-， 解得250a =(舍去)或22a =， 故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+． 【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题.9．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ． （1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．【答案】（1）221832y x -=；（2）8-【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k 值，即可得答案； （2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠， 又该双曲线过点()2,3， 所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为：221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c == 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为：2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为：22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.10．（2022·浙江高三开学考试）已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值． 【答案】（1）4p =；（2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F 恰是椭圆C 的焦点，即可得出答案；（2）设直线l ：2p x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求得AB 的中点坐标，根据因为MN 恰好被AB 平分，则直线MN 的斜率等于m -，再根据点差法求得直线MN 的斜率，求得2m ，根据由AB 的中点在椭圆内，求得p 的最大值，从而可求得OAB 面积的最大值． 【详解】解：（1）在椭圆中，2224c a b =-=，所以2c =， 因为F 恰是椭圆C 的焦点， 所以22p=，所以4p =； （2）设直线l ：2px my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ， 联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=， 则212122,y y mp y y p +=⋅=-，则2122x x m p p +=+，故AB 的中点坐标为2,2p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又因为MN 恰好被AB 平分，则2342x x m p p +=+，342y y mp +=，直线MN 的斜率等于m -，将M 、N 的坐标代入椭圆方程得：223315x y +=，224415x y +=， 两式相减得：()()()()3434343405x x x x y y y y +-++-=， 故234342110y y m x x m-+=--， 即直线MN 的斜率等于22110m m+-， 所以22110m m m+-=-，解得218m =， 由AB 的中点在椭圆内，得2222()15p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得26413p <， 因为p Z ∈，所以p 的最大值是2，12y y -== 则OAB面积212122p S y y p =⨯-==≤， 所以，当2p =时，OAB ． 11．（2022·普宁市第二中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4．【分析】（1）由焦点在y 轴正半轴上，且2p =，即可得准线方程；（2）设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得b 的值，即可得所过的定点；（3）设1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求M 、N 两点坐标，由两点间距离公式求FM 、FN 的长，再计算12FMN SFM FN ，由基本不等式求最值即可求解.【详解】 （1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-，（2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-， 即2440b b -+=，解得：2b =所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-，所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k + 用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMN S FM FN ====224≥=⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
第九节 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题突破点(一) 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”利用几何性质求最值[例1] 设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.[答案] C[方法技巧]利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法．建立目标函数求最值本节主要包括3个知识点： 1.圆锥曲线中的最值问题； 2.圆锥曲线中的范围问题； 3.圆锥曲线中的几何证明问题.[例2] 已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF ＝3FM .(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．[解] (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1. 设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得y 0＝2， 所以P (22，2)或P (－22，2)，由PF ＝3FM ，得M ⎝⎛⎭⎫－223，23或M ⎝⎛⎭⎫223，23. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0. 于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF ＝3FM ，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415， 由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.又因为|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41＋k 2·k 2＋m ， 点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2，所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1. 记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝⎛⎭⎫－13<m ≤43， 令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0， 解得m 1＝19，m 2＝1，可得f (m )在⎝⎛⎭⎫－13，19上是增函数，在⎝⎛⎭⎫19，1上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1，43上是增函数， 又f ⎝⎛⎭⎫19＝256243>f ⎝⎛⎭⎫43＝59.所以当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以△ABP 面积的最大值为2565135. [方法技巧](1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解．(2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等．利用基本不等式求最值[例3] 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． [解] (1)由题意，c ＝1，b 2＝3， 所以a 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1，易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，Δ＝288，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝ 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝247.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x ＋1)，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k 2，因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3. [方法技巧](1)求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．(2)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ＋OB ＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 因为OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，又y ′＝－x ，所以－x 0＝2，故x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，故x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， 所以|AB |＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22×(－4)2－4×(－4)＝410. 所以△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.2.[考点二]平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值． 解析：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1， 又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.②设A (x 1，y 1)，B (x 2, y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.(*)则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.设m 21＋4k 2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0<t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3. 当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.3.[考点三]定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解析：(1)∵F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内， ∴圆N 内切于圆M . ∵|NM |＋|NF |＝4>|FM |，∴点N 的轨迹E 为椭圆，且2a ＝4，c ＝3，∴b ＝1， ∴轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12|OC |·|AB |＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，由题意，C 在线段AB 的中垂线上，则OC 的方程为y ＝－1kx .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx得，x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，∴|OA |2＝x 2A ＋y 2A ＝4(1＋k 2)1＋4k 2.将上式中的k 替换为－1k ，可得|OC |2＝4(1＋k 2)k 2＋4.∴S △ABC ＝2S △AOC ＝|OA |·|OC |＝4(1＋k 2)1＋4k 2·4(1＋k 2)k 2＋4＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4). ∵(1＋4k 2)(k 2＋4)≤(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝5(1＋k 2)2，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .突破点(二) 圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”利用判别式构造不等关系求范围[例1] 已知A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(23，0)，BC 过椭圆的中心，且AC ·BC ＝0，|BC |＝2|AC |. (1)求椭圆M 的方程；(2)过点(0，t )的直线l (斜率存在时)与椭圆M 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆M 与y 轴负半轴的交点，且|DP |＝|DQ |，求实数t 的取值范围．[解] (1)因为|BC |＝2|AC |且BC 过(0,0)，则|OC |＝|AC |.因为AC ·BC ＝0，所以∠OCA ＝90°， 即C (3，3)．又因为a ＝23，设椭圆的方程为x 212＋y 212－c 2＝1，将C 点坐标代入得312＋312－c 2＝1，解得c 2＝8，b 2＝4.所以椭圆的方程为x 212＋y 24＝1.(2)由条件D (0，－2)，当k ＝0时，显然－2<t <2； 当k ≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ，⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0 由Δ>0可得t 2<4＋12k 2，①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点H (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt1＋3k 2，y 0＝kx 0＋t ＝t1＋3k 2，所以H ⎝⎛⎭⎫－3kt 1＋3k 2，t1＋3k 2，由|DP |＝|DQ |，所以DH ⊥PQ ，即k DH ＝－1k ，所以t1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k 2－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，②所以t >1，将②代入①得，1<t <4. 所以t 的范围是(1,4)． 综上可得t ∈(1,2)．[方法技巧]圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．利用函数性质求范围[例2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若λ∈⎣⎡⎦⎤12，2，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)由已知e ＝22，得c a ＝22， 又当直线垂直于x 轴时，|AB |＝2， 所以椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，22， 代入椭圆方程得1a 2＋12b2＝1，∵a 2＝b 2＋c 2，联立方程可得a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当过点M 的直线斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点， λ＝|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1＝3－22<12，不符合题意． ∴直线的斜率不能为0.设直线方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，由根与系数的关系可得，⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2①，y 1y 2＝－1m 2＋2②，将①式平方除以②式可得：y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m 2m 2＋2，由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1y 2＝－λ，∴－λ－1λ＋2＝－4m 2m 2＋2，又知λ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴－λ－1λ＋2∈⎣⎡⎦⎤－12，0， ∴－12≤－4m 2m 2＋2≤0，解得m 2∈⎣⎡⎦⎤0，27. |AB |2＝(1＋m 2)|y 1－y 2|2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋22＝8⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋22， ∵m 2∈⎣⎡⎦⎤0，27， ∴1m 2＋2∈⎣⎡⎦⎤716，12，∴|AB |∈⎣⎡⎦⎤2，928. [方法技巧]利用函数性质解决圆锥曲线中求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的函数，通过求这个函数的值域确定目标的取值范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算方便，在建立函数的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多个变量化为单个变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．1.[考点一]设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，且1PF ·2PF 的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝ky －1与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．解析：(1)易知a ＝2，c ＝4－b 2，b 2<4， 所以F 1(－4－b 2，0)，F 2(4－b 2，0)，设P (x ，y )，则1PF ·2PF ＝(－4－b 2－x ，－y )·(4－b 2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4＋b 2＝x 2＋b 2－b 2x 24－4＋b 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 24x 2＋2b 2－4.因为x ∈[－2,2]，故当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，1PF ·2PF 有最大值1， 即1＝⎝⎛⎭⎫1－b24×4＋2b 2－4，解得b 2＝1. 故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0，Δ＝(－2k )2＋12(4＋k 2)＝16k 2＋48>0，故y 1＋y 2＝2kk 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4.又∠AOB 为锐角，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2>0，又x 1x 2＝(ky 1－1)(ky 2－1)＝k 2y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1＝(1＋k 2)·－34＋k 2－2k 24＋k 2＋1＝－3－3k 2－2k 2＋4＋k 24＋k 2＝1－4k 24＋k 2>0，所以k 2<14，解得－12<k <12，故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，12. 2.[考点二]已知圆心为H 的圆x 2＋y 2＋2x －15＝0和定点A (1,0)，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C .(1)求C 的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE ·QF 的取值范围．解析：(1)由x 2＋y 2＋2x －15＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝16， 所以圆心为H (－1,0)，半径为4.连接MA ，由l 是线段AB 的中垂线，得|MA |＝|MB |， 所以|MA |＋|MH |＝|MB |＋|MH |＝|BH |＝4， 又|AH |＝2<4.根据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，所以a 2＝4，c 2＝1，b 2＝3，所求曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线EF 与直线PQ 垂直，可得AP ·AE ＝AQ ·AF ＝0，于是PE ·QF ＝(AE －AP )·(AF －AQ )＝AE ·AF ＋AP ·AQ .①当直线PQ 的斜率不存在时，直线EF 的斜率为零，此时可不妨取P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎫1，－32，E (2,0)，F (－2,0)，所以PE ·QF ＝⎝⎛⎭⎫1，－32·⎝⎛⎭⎫－3，32＝－3－94＝－214. ②当直线PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE ·QF ＝－214. ③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，直线EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，AP ＝(x P －1，y P )，AQ ＝(x Q －1，y Q )，则直线EF 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线PQ 的方程代入曲线C 的方程，并整理得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x P ＋x Q ＝8k 23＋4k 2，x P ·x Q ＝4k 2－123＋4k 2.于是AP ·AQ ＝(x P －1)(x Q －1)＋y P ·y Q ＝(1＋k 2)[x P x Q －(x P ＋x Q )＋1] ＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－9(1＋k 2)3＋4k 2.将上面的k 换成－1k ，可得AE ·AF ＝－9(1＋k 2)4＋3k 2，所以PE ·QF ＝AE ·AF ＋AP ·AQ ＝－9(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫13＋4k 2＋14＋3k 2. 令1＋k 2＝t ，则t >1，于是上式化简整理可得，PE ·QF ＝－9t ⎝⎛⎭⎫14t －1＋13t ＋1＝－63t 212t 2＋t －1＝－63494－⎝⎛⎭⎫1t －122. 由t >1，得0<1t <1，所以－214<PE ·QF ≤－367.综合①②③可知，PE ·QF 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－214，－367.突破点(三) 圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”圆锥曲线中的几何证明问题[典例] 如图，圆C 与x 轴相切于点T (2,0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .[解] (1)设圆C 的半径为r (r >0)，依题意，圆心C 的坐标为(2，r )． ∵|MN |＝3，∴r 2＝⎝⎛⎭⎫322＋22，解得r 2＝254. ∴r ＝52，圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254. (2)证明：把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0,1)，N (0,4)． ①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2. ∴k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)x 1x 2.若k AN ＋k BN ＝0，则∠ANM ＝∠BNM . ∵2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)＝－12k 1＋2k 2＋12k1＋2k 2＝0， ∴∠ANM ＝∠BNM .1．设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若点C 满足AB ⊥BC ，AD ∥OC ，连接AC 交DE 于点P ，求证：PD ＝PE .解析：(1)由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a ， 因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，所以a ＝2，c ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)， 设D (x 0，y 0)，所以E (x 0,0)， 因为AB ⊥BC ，所以可设C (2，y 1)，所以AD ＝(x 0＋2，y 0)，OC ＝(2，y 1)， 由AD ∥OC 可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2.所以直线AC 的方程为：y 2y 0x 0＋2＝x ＋24. 整理得：y ＝y 02(x 0＋2)(x ＋2)．又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，y 02，所以P 为DE 的中点，所以PD ＝PE .2．已知点A (－4,0)，直线l ：x ＝－1与x 轴交于点B ，动点M 到A ，B 两点的距离之比为2.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设C 与x 轴交于E ，F 两点，P 是直线l 上一点，且点P 不在C 上，直线PE ，PF 分别与C 交于另一点S ，T ，证明：A ，S ，T 三点共线．解析：(1)设点M (x ，y )，依题意，|MA ||MB |＝(x ＋4)2＋y 2(x ＋1)2＋y 2＝2，化简得x 2＋y 2＝4，即轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)证明：由(1)知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，令y ＝0得x ＝±2，不妨设E (－2，0)，F (2,0)，如图所示．设P (－1，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则直线PE 的方程为y ＝y 0(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0(x ＋2)，x 2＋y 2＝4得(y 20＋1)x 2＋4y 20x ＋4y 20－4＝0， 所以－2x 1＝4y 20－4y 20＋1，即x 1＝2－2y 20y 20＋1，y 1＝4y 0y 20＋1.直线PF 的方程为y ＝－y 03(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－y 03(x －2)，x 2＋y 2＝4得(y 20＋9)x 2－4y 20x ＋4y 20－36＝0， 所以2x 2＝4y 20－36y 20＋9，即x 2＝2y 20－18y 20＋9，y 2＝12y 0y 20＋9.所以k AS ＝y 1x 1＋4＝4y 0y 20＋12－2y 20y 20＋1＋4＝2y 0y 20＋3， k AT ＝y 2x 2＋4＝12y 0y 20＋92y 20－18y 20＋9＋4＝2y 0y 20＋3，所以k AS ＝k AT ，所以A ，S ，T 三点共线．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533＜n ＜3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.[课时达标检测] 难点增分课时——设计3级训练，考生据自身能力而选 一、全员必做题1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定点M ⎝⎛⎭⎫1，22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且2F A ＝λ2F B ，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值．解析：(1)由题易知c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝2，故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0， Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2，y 1y 2＝－1k 2＋2.QC ＝QA ＋QB ＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4(k 2＋1)k 2＋2，－2k k 2＋2，∴|QC |2＝|QA ＋QB |2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2，由此可知，|QC |2的大小与k 2的取值有关．由2F A ＝λ2F B 可得y 1＝λy 2，λ＝y 1y 2，1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2，由λ∈[－2，－1]得⎝⎛⎭⎫λ＋1λ∈⎣⎡⎦⎤－52，－2，从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2，解得0≤k 2≤27. 令t ＝1k 2＋2，则t ∈⎣⎡⎦⎤716，12，∴|QC |2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝⎛⎭⎫t －742－172， ∴当t ＝12时，|QC |min ＝2.2.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解析：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E ：y2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)． 由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为 y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y2＝4x ，得2x2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G(－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0， 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4 217 .又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0， 所以点F 到直线GB 的距离 d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r.这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围． 解析：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4，设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4<0，知S ＝12×1×|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2，令k 2＋3＝t ，知t ≥3， ∴S ＝21t ＋1t＋2. 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0，∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t＋2≤316，∴0<S ≤32. 故△OAB 面积的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，32. 二、重点选做题1．过离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (1,0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，设|F A |＝λ|FB |，T (2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若1≤λ≤2，求△ABT 中AB 边上中线长的取值范围． 解析：(1)∵e ＝22，c ＝1，∴a ＝2，b ＝1， 即椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1.(2)①当直线的斜率为0时，显然不成立． ②设直线l ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，x ＝my ＋1得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，由|F A |＝λ|FB |，得y 1＝－λy 2， ∵－λ＋1－λ＝y 1y 2＋y 2y 1，∴－λ＋1－λ＋2＝(y 1＋y 2)2y 1y 2＝－4m 2m 2＋2，∴m 2≤27，又∵AB 边上的中线长为12 |TA ＋TB |＝12(x 1＋x 2－4)2＋(y 1＋y 2)2＝4m 4＋9m 2＋4(m 2＋2)2＝ 2(m 2＋2)2－7m 2＋2＋4∈⎣⎡⎦⎤1，13216.2．如图所示，已知直线l 过点M (4,0)且与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A ，B 两点，以弦AB 为直径的圆恒过坐标原点O .(1)求抛物线的标准方程；(2)设Q 是直线x ＝－4上任意一点，求证：直线QA ，QM ，QB 的斜率依次成等差数列． 解析：(1)设直线l 的方程为x ＝ky ＋4， 代入y 2＝2px 得y 2－2kpy －8p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝2kp ，y 1y 2＝－8p ，而AB 为直径，O 为圆上一点，所以OA ·OB ＝0， 故0＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋4)(ky 2＋4)－8p ＝k 2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)＋16－8p ， 即0＝－8k 2p ＋8k 2p ＋16－8p ，得p ＝2， 所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)设Q (－4，t )由(1)知y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，所以y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32.因为k QA ＝y 1－t x 1＋4＝y 1－t y 214＋4＝4(y 1－t )y 21＋16，k QB ＝y 2－t x 2＋4＝y 2－t y 224＋4＝4(y 2－t )y 22＋16，k QM ＝t －8，所以k QA ＋k QB ＝4(y 1－t )y 21＋16＋4(y 2－t )y 22＋16＝4×(y 1－t )(y 22＋16)＋(y 2－t )(y 21＋16)(y 21＋16)(y 22＋16)＝4×y 1y 22＋16y 1－ty 22－16t ＋y 2y 21＋16y 2－ty 21－16t y 21y 22＋16(y 21＋y 22)＋16×16＝－t (y 21＋y 22)－32t 8×16＋4(y 21＋y 22)＝－t (16k 2＋32)－32t 8×16＋4(16k 2＋32) ＝－t 4＝2k QM . 所以直线QA ，QM ，QB 的斜率依次成等差数列．三、冲刺满分题1.已知椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率为32，与坐标轴不垂直且不过原点的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B (如图所示)，过AB 的中点M 作垂直于l 1的直线l 2，设l 2与椭圆C 相交于不同的两点C ，D ，且CN ＝12CD . (1)求椭圆C 的方程；(2)设原点O 到直线l 1的距离为d ，求d |MN |的最大值． 解析：(1)依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l 1：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.故M ⎝⎛⎭⎫－4mk 1＋4k 2，m 1＋4k 2. l 2：y －m 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋4mk 1＋4k 2，即y ＝－1k x －3m 1＋4k 2.由⎩⎨⎧ y ＝－1k x －3m 1＋4k 2，x 24＋y 2＝1， 得⎝⎛⎭⎫1＋4k 2x 2＋24m k (1＋4k 2)x ＋36m 2(1＋4k 2)2－4＝0， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝－24mk (1＋4k 2)(k 2＋4)， 故N ⎝⎛⎭⎫－12mk (1＋4k 2)(k 2＋4)，－3mk 2(1＋4k 2)(k 2＋4). 故|MN |＝|x M －x N | 1＋1k 2＝4|m |(k 2＋1)k 2＋1(1＋4k 2)(k 2＋4). 又d ＝|m |1＋k 2，所以d |MN |＝(1＋4k 2)(k 2＋4)4(k 2＋1)2. 令t ＝k 2＋1(t >1)，则d |MN |＝4t 2＋9t －94t 2＝－94t 2＋94t ＋1＝－94⎝⎛⎭⎫1t －122＋2516≤2516(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以d |MN |的最大值为2516. 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值； (3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线P A 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．解析：(1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5. 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16.所以椭圆的方程为x 225＋y 216＝1. (2)法一：由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋18a 2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2，因为2F A ＝(x 1－3，y 1)，2F B ＝(x 2－3，y 2)， 所以2F A ·2F B ＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫1＋18x 1x 2＋9＝0. 即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a 2＝－8， 结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12(a 2＝6舍去)， 所以离心率e ＝32.(若设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)相应给分) 法二：设A (x 1，y 1)，又AB ，F 1F 2互相平分且共圆，所以AB ，F 1F 2是圆的直径，所以x 21＋y 21＝9，又由椭圆及直线方程综合可得：⎩⎨⎧ x 21＋y 21＝9，y 1＝24x 1，x 21a 2＋y 21b 2＝1.由前两个方程解得x 21＝8，y 21＝1， 将其代入第三个方程并结合b 2＝a 2－c 2＝a 2－9， 解得a 2＝12，故e ＝32. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1， 由题可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21， 又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝⎛⎭⎫1－x 2012－3⎝⎛⎭⎫1－x 2112x 20－x 21＝－14， 即k 2＝－14k 1，由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜14. 即直线PB 的斜率k 2的取值范围是⎝⎛⎭⎫18，14.。
圆锥曲线的最值问题常见类型及解法
例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它
的两个顶点，直线 y kx (k 0)与椭圆交于E、F两点， 求四边形AEBF面积的最大值. y 思维导图：
用k表示四边形的面积 E 根据基本不等式求最值
B
F
x
A
例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它
6 1)当b 3时, 代入(1)得d min ; 2 3 6 2)当b 3时, 代入(1)得d max . 2
3x 2 4bx 2b 2 2 0
变式训练：
动点P在抛物线 y 2 x 上，则点P
到直线 y x 4 的距离最小时，P点的坐
标为_________.
∴m2=52，
m=±2 13
∴圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离
d min
16 2 13 13
16 13 2 13
例2、求椭圆
x 2 y 1 上的点到直线 y x 2 3 的距 2
y
2
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
思维导图：
求与 y x 2 3平行的椭圆 的切线
方法四:
函 数 法
把所求最值的目标表示为关于某个变量的
函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最
值最为普遍的方法. 关键：建立函数关系式
例5、点A、B分别是椭圆 x y 1 的长轴的左右端
2
2
36
20
点，F为右焦点，P在椭圆上，位于x轴的上方，且PA⊥PF 若M为椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于|MB|.求 椭圆上点到点M的距离的最小值. 思维导图： 把所求距离表示为椭圆 上点的横坐标的函数 A M F B y P x
2025高考数学圆锥曲线中的最值、范围问题课件练习题
训练1
例2
训练2
返回目录
突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
方法技巧
圆锥曲线中最值(范围)问题的求解方法
几何法
若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来
解决.
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再
代数法 求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不
第八章
平面解析几何
突破2 圆锥曲线中的最值、范围问题
目录
Contents
01
练习 练透好题 精准分层
突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
命题点1 最值问题
例1 [2023全国卷甲]已知直线 x －2 y ＋1＝0与抛物线 C ： y 2＝2 px ( p ＞0)交于 A ， B
两点，｜ AB ｜＝4 15 .
.
例1
训练1
例2
训练2
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突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
又 · ＝( x 3 －1， y 3 )·( x 4 －1， y 4 )＝ x 3 x 4 －( x 3 ＋ x 4 )＋1＋ y 3 y 4 ＝0，
所以
2
2
－
4−2
2
＋1＋
4
＝0，化简得 m 2 ＋ k 2 ＋6 km ＝4.
(2)若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F 1， F 2的距离之和为定值(大于｜ F 1 F 2｜)，且
cos
1
∠ F 1 PF 2的最小值为－ ，求动点 P 的轨迹方程.
9
[解析]
2
2
由椭圆定义得 P 点轨迹为椭圆，可设其轨迹方程为 2 ＋ 2 ＝1( a ＞ b ＞0)，
高考数学 圆锥曲线中的最值与定值问题例题分析(老师用)
圆锥曲线中的最值与定值问题圆锥曲线中的最值问题【考点透视】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值. 利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。
【题型分析】1.已知P 是椭圆2214x y +=在第一象限内的点，A （2，0），B （0，1），O 为原点，求四边形OAPB 的面积的最大值分析：设P （2cos θ,sin θ），(0)2πθ <<,点P 到直线AB ：x+2y=2的距离|)2|d πθ+-==≤（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）2.已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 0，B （x 0），OA OB ⋅＝2 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--•--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1， 又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为23.给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53AB BF +取得最小值时，试求B 点的坐标。
圆锥曲线中一类三角形面积的最值问题
圆锥曲线中一类三角形面积的最值问题圆锥曲线中一类三角形面积的最值问题是一个关于几何学的主题，它是关于在特定几何结构和条件下确定三角形面积最大值和最小值的问题。
问题的描述：
求解一类圆锥曲线上定义三角形的面积的最值。
问题的分析：
1.首先该问题的结构存在一个圆锥曲线，其上定义三角形，该三角形的面积是需要求解的最值。
2.其次，在求解最值的过程中，需要确定三角形的形状及尺寸，包括三边的长度及锥角的内切圆和外接圆的半径。
3.此外，在确定三角形面积的最值时，需要考虑到所在圆锥曲线的几何结构及其内接圆的大小，以确定最合适的三角形及其面积最优值。
求解方法：
1.采用穷举和搜索的方法，在一类圆锥曲线上逐步去确定目标三角形的形状及尺寸，其面积最小或最大符合条件；
2.在该类圆锥曲线上，启发式搜索也可以用于最值问题，进行穷举时可以根据当前搜索状态而进行学习及调整；
3.此外，还可以采用以下几种数学方法去求解：（1）利用微积分中极大值极小值的概念，结合拉格朗日乘子法；（2）利用数学规划方法，比如模拟退避法；（3）用贪婪算法去寻找最优解；（4）还可以用神经网络技术去求解。
结论：
以上求解最值问题的方法都可以有效地求出圆锥曲线上三角形面积的
最值，通过不同的搜索方法可以解决规模越大问题所对应的最值问题。
圆锥曲线面积最值问题
面积最值问题1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析例1已知椭圆（）的一个顶点为，离心率为，直线（）与椭圆交于，两点，若存在关于过点的直线，使得点与点关于该直线对称． （I ）求椭圆的方程； （II ）求实数的取值范围；（III ）用表示的面积，并判断是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．，可得：C:22221x y a b+=0a b >>()0,1M-3:l y kx m =+0k ≠C A B M AB C m m ∆MAB SS ()()()()()()2121212121212020x x x x y y y y x x k y y +-+++-=⇔++++=，则有：（），故（III ）法一（面积转化为弦长）：，到的距离，2262203131km m k k k ⎛⎫-++= ⎪++⎝⎭22311m k =+>0k ≠()1122022m m m ∆=->⇔<<()()()22212122122131m m x x y y kk -AB =-+-=++A :l y kx m =+d =1122S d ∆MAB=AB =，设，，则，所以在上是减函数，所以面积无最大值．法二（面积坐标化公式）：易得向量，，则有，因，在上均为减函数，则在上均为减函数，所以面积无最大值．可得的面积的取值范围为．点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线斜率与截距之间的关系；②据位置关系构建直线斜率与截距之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标纵坐标；法二则点差法处理弦中点问题．均可得到直线的斜率与截距之间的关系．构建不等式的方式：法一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构建参数的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；（2）第三小问分成两个操作程序：①构建面积的函数关系；②求函数的值域．法一利用底与高表示三角形面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离．法二利用三角形面积的坐标公式，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题223234S m m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()223f m m m =+-122m <<()2220f m m m '=--<()f m 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭S ()11,1x y MA =+()22,1x y MB =+()()()12121212122112111222m x x S x y x x y x x kx m x kx m x x ∆MAB +-=+--=+-++-=223234S m m ⎛⎫=⇒=+- ⎪⎝⎭122m <<2m 2m -1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭223234S m m ⎛⎫⇒=+- ⎪⎝⎭1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭S ∆MAB S 810,16⎛⎫⎪⎝⎭AB k m AB k m AB ←−−→交点在直线上AB k m m m 122112S x y x y =-全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合．关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见．特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程． 变式与引申：若过点的直线交椭圆于，求四边形的面积的取值范围．例2、已知椭圆的左、右两个焦点分别为，离心率，短轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点， 的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值. 【思路引导】M D D MAB ()222210x y a b a b+=>>12,F F 22e =A 2AF B AO C ABC ∆（1） 由题意得，再由， 标准方程为；（2）①当的斜率不存在时，不妨取 ； ②当的斜率存在时，设的方程为，联立方程组，又直线的距离点到直线的距离为.解析：（1） 由题意得，解得，1b =2222c e a b c a a ===+=1c =⇒2212x y +=AB ,1,,1,A B C ⎛⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭122ABC S ∆=⨯=AB AB ()1y k x =-()221{ 12y k x x y =-+=⇒()222222121222422214220,2121k k k x k x k x x x x k k -+-+-=+=⋅=++⇒AB =0kx y k --=d ==⇒C AB2d =⇒2211122221ABCk S AB d ABCk ∆⎛⎫+=⋅=⋅=≤ ⎪+⎝⎭22b =1b =化简得，设点到直线的距离因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，∴()2222214220k x k x k +-+-=()()221122121222422,,,,,2121k k A x y Bx y x x x x k k-+=⋅=++AB ===O 0kx y k --=d ==O AC C AB 2d =2211122221ABCk S AB d k ∆⎛⎫+=⋅=⋅ ⎪+⎝⎭综上，.【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）利用分类与整合思想分当的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得 ，再求得点到直线的距离为.例3、已知点A （﹣4，4）、B （4，4），直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值． 【思路引导】（Ⅰ）设，由题意得，化简可得曲线的方程为 ； （Ⅱ）设，切线方程为，与抛物线方程联立互为，由于直线与抛物线相切可得，解得，可切点==ABC ∆22x y 12+=AB 2121224k x x ,x x 2k 1+=⋅=⇒+22k 1AB 222k 1+=+C AB 22k 2d k 1=+⇒()2ΔABC22222k 11k 111S AB 2d 22222ΔABC222k 14k 142k 1⎛⎫+=⋅=⋅=- ⎪++⎝⎭+2(),M x y 44244y y x x ---=-+-C 24x y =()4x ≠±().1Q m -()1y k x m +=-()24410x kx km -++=0∆=2x k =，由，利用韦达定理，得到，得到为直角三角形，得出三角形面积的表达式，即可求解三角形的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程的求解．【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．例4、已知椭圆的焦距为2,离心率为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;()22,k k QD QE ⊥QDE∆2222:1(0)x y C a b a b+=>>e 12C(Ⅱ)过点作圆的切线,切点分别为,直线与轴交于点,过点作直线交椭圆于两点,点关于轴的对称点为,求面积的最大值. 【思路引导】(Ⅰ)由椭圆的焦点为，离心率为，求出，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ) 由题意，得、 、、 四点共圆，该圆的方程为，得的方程为，直线的方程为，设，则，从而最大， 就最大，可设直线的方程为，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出的面积的最大值. 试题解析：(Ⅰ)由题意, ,解得,由,解得; 所以椭圆的标准方程为. 1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭2212x y +=M N 、MN x E E l C A B 、E y G ΔGAB 2e 12,a b O M P n 221154216x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭O2212x y +=MN 210x y +-=()()1122,,,A x y B x y 121212GAB S GE y y y y ∆=-=-GAB S ∆12y y -l 1x my =+221{ 143x my x y =++=()2234690m y my ++-=GAB ∆22c =1c =12c e a ==2a =22143x y +=又直线与椭圆交于不同的两点,则,即,,令,则,令,则函数在上单调递增, 即当时, 在上单调递增,因此有； 所以,当时取等号. 故面积的最大值为3.【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函l C 0∆>()()22636340,m m m ++>∈R 121212GABS GF y y y y ∆=⋅-=-==t =221241,134313GABt t S m t t t∆≥===+++()13f t t t =+()f t 3,3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭1t ≥()f t [)1,+∞()()413f t f ≥=3GAB S ∆≤0m =GAB ∆数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调法面积的最大值的.已知椭圆()22211x y a a+=>，(),P m n 为圆2216x y +=上任意一点，过P作椭圆的切线,PA PB ，设切点分别为()()1122,,,A x y B x y ． （1）证明：切线PA 的方程为1114x xy y +=； （2）设O 为坐标原点，求OAB ∆面积的最大值．解：（1）由题，c e a ===，解得2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ①当10y =时，12x =± ，直线2x =±，∴24x =，代入椭圆方程得到0y =， ∴切线PA 的方程是2x =±．②当10y ≠时，联立2211440440x y x x y y ⎧+-=⎨+-=⎩，消y ，得到2211114404xx x y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即2211222111241404x x x x y y y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 所以222221111142242421111111441444144x x x x x y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-+-=--+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2211222211114444161616160y x y y y y -=-++=-++= ∴切线PA 的方程为1114x xy y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （2）根据（1）可得切线PA 的方程为1114x x y y +=，切线PB 的方程为2114x xy y +=，∴11221414x my n x m y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以直线AB 方程为14mx ny +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 GAB ∆∴2214440mxny x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，消y 得到22222241404m m x x n n n ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，∴22222221641611414m m n n AB ka n m n -++∆⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭+．．．．．．．．．．．．．．11分又∵原点O 到直线AB 的距离22214d mn =+，∴222222222164161111224144OABm m n nS AB d n m m n n∆-++⎛⎫==+- ⎪⎝⎭++22224444n m n m +-=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分又∵(),P m n 为圆2216x y +=上任意一点，∴2216m n +=．∴224312316OABn S n ∆+=+，令231223t n =+≥，则24444OAB t S t t t∆==++在)23,⎡+∞⎣上单调递减，所以32OAB S ∆≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分已知抛物线24y x =，焦点为F ，过点(2,0)且斜率为正数的直线交抛物线于,A B 两点，且11FA FB =-．( I ) 求直线AB 的方程；（II ）设点C 是抛物线上()AB A B 不含、两点上的动点， 求ABC △面积的最大值．解：( I )设直线AB 为2(0)x my m =+>，221212(,), B(,)44y y A y y ,(1,0)F [来224x my y x =+⎧⎨=⎩ ，消x ，得2480y my --=，则212121632048m y y m y y ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩则2222222212121212121212(1,)(1,)(1)(1)14444164y y y y y y y y FA FB y y y y y y +=--=--+=-++ 21616418114m +=-+-=- 得21m =，又因为0m >，故1m =，即直线AB 的方程2xy =+，即20x y --=（II ）设20(,)4y C y ，224x y y x=+⎧⎨=⎩，解得1,22y =±，故022y -<<+设点C 到直线AB的距离为022001|2||(2)3|y yy d ----== 当02y =，max d =，而||AB ==故max 1||ABC S AB d ==△ OA OB 的最大值．4OA OB =；．)()2kx m +=)22222642121m km km m k k --+=++2OA OB =)()222228221221k k k +-++，32OA OB ≤OA OB 的最大值为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为13，左焦点F 到直线l ：9x =的距离为10，圆G ：22(1)1x y -+=，（1）求椭圆的方程；（2）若P 是椭圆上任意一点，EF 为圆N ：22(1)4x y -+=的任一直径，求PE PF ⋅的取值范围；（3）是否存在以椭圆上点M 为圆心的圆M ，使得圆M 上任意一点N 作圆G 的切线，切点为T ，都满足||||NF NT =若存在，求出圆M 的方程；若不存在，请说明理由。
广东专用2024版高考数学总复习：圆锥曲线中的最值或范围问题课件
【点拨】求与直线或与圆锥曲线有关的某个量的取值范围问题,依据已知条件建立关于该量的函数表达式,转化为求函数值域问题，要正确确定定义域.应注意到的是本例第（1）问使用了判别式法求参数范围.
变式1 如图，在平面直角坐标系 中，已知等轴双曲线 的左顶点为 ，过右焦点 且垂直于 轴的直线与 交于 ， 两点，若 的面积为 ．
由 得 .因为点 为 与 的一个交点，所以 ，解得 .所以 .直线 的方程变形为 ，设原点到直线 的距离为 ，则 .所以 .
（方法一） .设 ，则 .所以
.因为 （当且仅当 时，等号成立）.所以 面积的最大值为 ．（方法二） .设 ，则 .所以 .
第八章 平面解析几何
综合突破五 圆锥曲线的综合问题第1课时 圆锥曲线中的最值或范围问题
核心考点 精准突破
课时作业 知能提升
规范答题——解析几何解答题
考点一 构造函数求最值或范围问题
例1 已知椭圆 上两个不同的点 ， 关于直线 对称.
（1） 求实数 的取值范围；
解：如图，由题意知 ，可设直线 的方程为 ， ， .由
（2） 当点 在 轴上方时，过点 作 轴的垂线与 轴相交于点 ，设直线 与双曲线 相交于不同的两点 ， ，若 ，求实数 的取值范围.
， ，又 ，所以 ，所以 （由题意取负），所以直线 的斜率为 .代入 式，得 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 的取值范围为 .
【点拨】若题设中给出直线（曲线）与曲线有公共点或无公共点的条件时，可以通过联立消元，得到一元二次方程，进而用判别式法得到不等关系代入求范围.
[答案] （方法一）设切点 ，因为 ，所以 ，则在点 处的切线方程为 ，化简得 ，令 ，得 .
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弦长和面积的最值问题
1.已知菱形ABCD 的顶点A C ,在椭圆22
34x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．
(1)当直线BD 过点(01)，时,求直线AC 的方程； (2)当60ABC ∠=时,求菱形ABCD 面积的最大值．
2.设椭圆的中心在坐标原点,且(20)(01)A B ，,，是它的两个顶点,若直线(0)y kx k = >与线段AB 相交于点D ,与椭圆相交于,E F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值．
3.已知PAB ∆内接于椭圆2236x y +=,点P 的坐标为,且APB ∠的平分线为1x =. (1)求证:直线AB 的斜率为定值； (2)求PAB ∆的面积的最大值.
4.已知PAB ∆内接于焦点在y 轴上的椭圆22mx ny mn +=,且点P 的坐标为,椭圆的焦距为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线PA 与直线PB 的倾斜角互补,求PAB ∆面积的最大值.
5.已知椭圆的两顶点为A ,(0,1)B ,其左右焦点分别是12,F F .
(1)在线段AB 上是否存在点C ,使得12CF CF ⊥？若存在,请求出点C 的坐标；若不存在,请说明理由.
(2)设过1F 的直线交椭圆于,P Q 两点,求2PQF ∆面积的最大值.
6.已知抛物线2:E y x =与圆222
:(4)(0)M x y r r -+=>相交于,,,A B C D 四个点. (1)求r 得取值范围；
(2)设四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点P ,求ABCD 的面积最大时点P 的坐标.
7.设椭圆的左右焦点分别为12,F F ,离心率e =,右准线为l ,且l 上两动点,M N 使得120FM F N ⋅=. (1)若1
2||||25FM F N ==,求,a b 的值； (2)证明:当||MN 取最小值时,12FM F N +与12F F 共线.
8.设椭圆E :22
221x y a b
+=(,0)a b >过M ,N 两点,O 为坐标原点. (1)求椭圆E 的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ,且OA OB ⊥？若存在,写出该圆的方程,并求||AB 的取值范围；若不存在,说明理由.
9.若,A B 是抛物线2
4y x =上的不同两点,不平行于y 轴的弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P ,则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当2x >时,点(,0)P x 存在无穷多条“相关弦”.现给定02x >.
(1)证明:点0(,0)P x 的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(2)点0(,0)P x 的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在,求最大值(用0x 表示),若不存在,说明理由.。