圆锥曲线中的面积最值问题

弦长和面积的最值问题

1.已知菱形ABCD 的顶点A C ,在椭圆22

34x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．

(1)当直线BD 过点(01)，时,求直线AC 的方程； (2)当60ABC ∠=时,求菱形ABCD 面积的最大值．

2.设椭圆的中心在坐标原点,且(20)(01)A B ，,，是它的两个顶点,若直线(0)y kx k = >与线段AB 相交于点D ,与椭圆相交于,E F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值．

3.已知PAB ∆内接于椭圆2236x y +=,点P 的坐标为,且APB ∠的平分线为1x =. (1)求证:直线AB 的斜率为定值； (2)求PAB ∆的面积的最大值.

4.已知PAB ∆内接于焦点在y 轴上的椭圆22mx ny mn +=,且点P 的坐标为,椭圆的焦距为4.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线PA 与直线PB 的倾斜角互补,求PAB ∆面积的最大值.

5.已知椭圆的两顶点为A ,(0,1)B ,其左右焦点分别是12,F F .

(1)在线段AB 上是否存在点C ,使得12CF CF ⊥？若存在,请求出点C 的坐标；若不存在,请说明理由.

(2)设过1F 的直线交椭圆于,P Q 两点,求2PQF ∆面积的最大值.

6.已知抛物线2:E y x =与圆222

:(4)(0)M x y r r -+=>相交于,,,A B C D 四个点. (1)求r 得取值范围；

(2)设四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点P ,求ABCD 的面积最大时点P 的坐标.

7.设椭圆的左右焦点分别为12,F F ,离心率e =,右准线为l ,且l 上两动点,M N 使得120FM F N ⋅=. (1)若1

2||||25FM F N ==,求,a b 的值； (2)证明:当||MN 取最小值时,12FM F N +与12F F 共线.

8.设椭圆E :22

221x y a b

+=(,0)a b >过M ,N 两点,O 为坐标原点. (1)求椭圆E 的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ,且OA OB ⊥？若存在,写出该圆的方程,并求||AB 的取值范围；若不存在,说明理由.

9.若,A B 是抛物线2

4y x =上的不同两点,不平行于y 轴的弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P ,则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当2x >时,点(,0)P x 存在无穷多条“相关弦”.现给定02x >.

(1)证明:点0(,0)P x 的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

(2)点0(,0)P x 的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在,求最大值(用0x 表示),若不存在,说明理由.