不等式与不等式组教材分析

第九章不等式与不等式组教材分析

一、教材基本情况

1、本章教材的地位

不等式的知识是初中阶段在一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，进一步探究现实世界数量关系的重要内容．数量之间除了有相等关系外，还有大小不等的关系．正如方程与方程组是讨论等量关系的有力数学工具一样，不等式与不等式组是讨论不等关系的有力数学工具．掌握不等式的基本性质是基础知识，解一元一次不等式是一项基本技能，也是学生以后学习一元二次方程、函数以及进一步学习不等式知识的基础.

2、教材的主要内容

本章的主要内容包括：一元一次不等式（组）及相关概念，不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法及其解集的几何表示，利用一元一次不等式分析、解决实际问题.其中，以不等式（组）为工具分析问题、解决问题是重点；一元一次不等式（组）及其相关概念、不等式的性质是基础知识；掌握一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示是基本技能.本章重视数学与实际的关系，注意体现列不等式（组）中蕴藏的建模思想和解不等式（组）中蕴藏的化归思想.

本章第9.1节中，首先经实际问题为例，结合问题中的不等式关系，引出不等式及其解集的概念；然后类比一元一次方程，引出一元一次不等式的概念.为进一步讨论不等式的解法，教科书接着对不等式的性质进行了讨论，得出不等式的三个性质，并运用它们解简单的不等式.不等式的性质是解不等式基本功的重要依据，教科书正是从讨论解不等式的需要出发引导学生认识它们的.解不等式就是求出对其未知数的大小的限制，有了这样明确的目标，再加上对不等式性质的认识，解不等式的方法就能很自然地产生.这一节的框架与一元一次方程的相应部分相似，教学中可以类比方程、等式的性质等来讨论不等式、不等式的性质等.

涉及求未知数取值范围的问题是普遍存在的，而不等式是解决这些问题的有力工具.本章第9.2节从一个选择购物商店问题（章前图）入手，再对列、解一元一次不等式作进一步的讨论.通过引入的问题以及它后面的例题，教科书归纳出一元一次不等式与一元一次方程在解法上的异同及应注意之处.上述讨论与归纳的过程，是结合分析和解决实际问题进行的，建立不等式模型始终是本章的核心内容.

本章第9.3节中，结合三角形三条边的大小关系，引进了一元一次不等式组及其解集的概念.在第8章刚学习了二元一次方程组的基础上，讨论不等式组是比较自然的安排.这里公共解集中的“公共”，是指各不等式解集的公共部分（交集）.二元一次方程组的解可以是通过消元直接产生，而一元一次不等式组的解集要借助画出数轴（或在头脑中想象出数轴）才能得到.在这个问题上借助直观利用数形结合具有重要作用.本节中的实际问题中，数量间的大小关系理为复杂（有两个以上），通过列不等式组可以进一步培养建立不等式（组）模型的能力.

本章知识结构

①．利用不等式（组）

解决实际问题的基本过程

教材注重了一元一次不等式（组）的解法与一元一次不等式（组）在实际问题中的应用的有机结合，让学生经历和体会“从实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中解释和检验”的过程．

②．本章知识安排的前后顺序

3、教学目标：

①．了解一元一次不等式及其相关概念，经历“把实际问题抽象为不等式”的过程，能够“列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系”，体会不等式（组）是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型．

②．通过观察、对比和归纳，探索不等式的性质，能利用它们探究一元一次不等式的解法．

③．了解解一元一次不等式的基本目标（使不等式逐步转化为的形式），熟

悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集，体会解法中蕴涵的化归思想．

④．了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．

4、课时安排：

本章教学时间约为11课时，大体分配如下（仅供参考）：

9.1 不等式…………………………………………3课时

9.1.1不等式及其解集 1课时

9.1.2不等式的性质 2课时

不等式的性质 1课时

解不等式 1课时

9.2 实际问题与一元一次不等式………………… 3课时

9.3一元一次不等式组…………………………… 2课时

解一元一次不等式组 1课时

一元一次不等式组的运用 1课时

数学活动………………………………………… 1课时

小结………………………………………………2课时

7、教材特点

⑴突出建摸思想，实际问题作为大背景贯穿全章

同前面的第三章“一元一次方程”、第八章“二元一次方程组”一样，在本章中，安排了一些有代表性的实际问题作为知识的发生、发展的背景材料，实际问题始终贯穿于全章，对不等式（组）等概念的引入和对它们的解法的讨论，都是在建立和运用不等式（组）这种数学模型的过程之中进行的.例：9.1节中，通过一个具体行程问题引入不等式及不等式的解.9.2节从生活中常见的购物问题说起．由于市场上存在不同的促销方式，所以购物时可以货比三家，进行选择购物．这个问题与学生距离较近．9.3节从制作三角形木框谈起，引入不等式组的概念，并进一步结合实际问题讨论如何列、解一元一次不等式组.总之，实际问题在本章教材中既是线索、素材，又是检验教学效果的尺度.

⑵注重知识的前后联系，强调通过比较来认识新事物

本章在全套教科书中，位居一次方程（组）之后．方程（组）是讨论等量关系的数学工具，不等式（组）是讨论不等关系的数学工具．两者既有联系又有差异．在认识一次方程（组）的基础上，通过比较的方式接受新知识一元一次不等式（组），充分发挥心理学所说的正向迁移的作用，可以起到很好的温故而知新的效果.

本章9.1节的结构与一元一次方程的相应部分类似，教科书在各概念的引入、展开时注意了类比方程、等式的性质等来讨论不等式、不等式的性质等，反映了知识间的横向联系，突出了不等式的特点.

方程组与不等式组在形式上类似，而且它们的解（集）都是指组成方程组或不等式组的各方程或不等式的公共解（集），教科书在引入不等式组及其解集时注意了渗透这种联系.

解方程与解不等式都是通过适当的式子变形，使未知数转化为已知，但两者的目标有所不同，前者要转化为的形式，后者则要转化为的形式.为实现这样的

目标，都需要运用化归思想，根据等式或不等式的性质，对方程或不等式进行由繁至简的变形．教科书中注意了这样的联系，同时又强调了解不等式与解方程的不同之处，突出了应注意的问题，例如解不等式中要将未知数的系数化为1时，应根据原来系数的正负确定不等号的选择.

⑶淡化概念教学,删减运算的数量和难度;强化学生的主动探索,增加培养学生能力的练习

教材在解不等式时，并没有专门的一节内容来介绍如何解含括号和分母的不等式，而是放在了实际问题中解决，删减了运算的数量和难度，强化了学生探索解决实际问题的主动性.而每一节课后的习题都有6道以上的与学生实际生活密切相关的习题，增强了学生解决问题的能力，而非培养一个只懂不等式概念和如何解不等式的学生.

⑷教材在归纳知识点时，留有较大的空白,引导学生思考

教材在提问和总结知识点时，会留较多的空白，给学生起到一个引导和归纳的作用，而教师可以利用来提高学生的自学能力和归纳能力.

⑸课后附有大量的阅读材料，拓宽学生的视野和提高能力

新教材与华东版不同之处在于，每小节后面都设有一个阅读材料，如9.1节的用求差法比较大小；9.2节的水位升高还是降低了；9.3节的利用不等关系分析比赛.从不同的方面探究了不等式在实际生活中的用途，增强了学生学习的热情和探求新知的欲望．

二、教学建议

1、注重类比，做好从方程到不等式的迁移

从课程标准看，方程与不等式是同属“数与代数”领域内同一标题下的两部分内容，它们之间有密切的联系，存在许多可以进行类比的内容．比如，不等式的性质与等式性质，不等式和方程的解法，不等式组和方程组的解法，利用不等式（组）和方程（组）分析解决实际问题，都有其明显的对应关系．通过了解它们的联系与区别（例如通过类比等式性质学习不等式性质），有助于使学生在已有基础上以效率较高的方式得到新的提高．

2、设立专门解不等式的小节，完善不等式解法

不等式的解法有一部分（简单的加减乘除不等式）安排在不等式的性质后面学习，一部分（含有括号和分母的不等式）安排在解决实际问题的过程中学习的，这样的安排，不利于不等式解法的系统学习．原本利用不等式解决实际问题对于学生就是一个难点，期间还要学习解法，不利于难点的集中攻破．因此，建议设立专门解不等式的小节，完善不等式解法，集中攻破重难点．

3、突出数学建模思想，反映不等式（组）与实际问题的联系

在本章教科书中，实际问题情境贯穿于始终，反映出不等式（组）来自实际又服务于实际，加强对不等式（组）是解决现实问题的一种重要数学模型的认识．教学中可以适当出现“数学模型”一词，但是应注意结合具体例子来体现数学模型的意义和作用，反复强调数学模型在解决实际问题中的作用，继续突出建立数学模型（数学化）解决问题的思想．设未知数、列不等式（组）是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的不等关系是设未知数、列不等式（组）的基础．在本章的教学和学习中，可以从多种角度启发学生思考数量之间的大小关系，借助数轴等直观图形以及表格、式子等进行分析，寻找不等关系的数学化表达方式，检验不等式本身以及它的解的合理性．教师还可以结合实际情况，选择其他贴近学生生活且适合学生认知水平的问题，引导学生探索用不等式（组）为工具来分析解决它们．

利用不等式（组）解决实际问题的基本过程（见前面的图），在本章中的小结中出现，它与前面方程（组）在这方面的框图的基本结构一致，这有助于从整体上进一步加强对数学模型与实际问题关系的认识，在教学、学习和复习时应注意不断强化对它的认识．

4、关注基础知识和基本技能

本章内容包括一元一次不等式（组）的概念、解法和应用．一元一次不等式是最基本的代数不等式，对它的理解和掌握对于后续学习（其他的不等式以及函数等）具有重要的基础作用．因此，教学和学习中应注意打好基础，对本章中的基础知识和基本技能、能力等进行及时的归纳整理，安排必要的、适量的练习，使得学生对基础知识留下较深刻的印象，对基本技能达到一定的掌握程度，发展基本能力．

5、把握学生具体情况开展学习

本章书很多小节都是从实际问题开始引入，但难度较大．例如，9.1.1节，由行程问题引入不等式及不等式的解, 但难度已属《课本》第129页的拓广探索题目；9.2节从生活中常见的优惠购物问题说起，展开解决实际问题的探究，与学生生活密切相关，但也具备了相当的难度，情况又多样，学生刚接触，没法很好的理解．这对于刚接触用不等式解决实际问题的学生来说，将可能极大打击他们学习的积极性和热情．因此，对于这两小节的引入建议改用较为简单的应用题．

数学思想：（1）列不等式（组）中的建模思想；

(2)解不等式（组）中的化归思想；

(3)解不等式（组）中的类比思想；

(4)不等式（组）解集的几何表示中数形结合思想；

内容分析：(1)一元一次不等式（组）及其相关概念、不等式的性质是基础知识；

(2)掌握一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示是基本技能；

(3)以不等式（组）为工具分析问题、解决问题是重难点；

(4)建立不等式模型提高分析问题、解决问题的能力是本章的核心内容.

值得注意的几个问题：

(1)关注课后阅读材料中的知识点．例如:比差法、球赛分析中的二元一次方程和

二元一次不等式．

(2)关注数学活动中的知识点，加强探究性学习．三角形面积的最大值、不等式

组、恩格尔系数等．

(3)解不等式运算的数量和难度以课本为标高．

(4) 不等式的性质拓展．

（5）不等式的解集的关系．

9.1.1不等式及其解集

教学过程：了解不等式和一元一次不等式的概念，掌握不等式的解及解集

教学重点：不等式的解集

教学难点：不等式的解集

引入：

问题 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A 地50千米，要在12:00之前驶过A 地，车速应满足什么条件？

设车速是x 千米/时，得50x ＜23 ① 或 23x ＞50② 一、不等式

不等式定义：用符号“＞”或“＜”或“≠”或“≥”或“≤”表示大小关系的式子，叫做不等式(inequality)

一元一次不等式定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality of one unknown ），例如②．

练习1：下式中哪些是不等式？哪些是一元一次不等式？

① 2x=2008;②3＞12;③x ≠4-3;④5a+6b;⑤

31x ＞2y ；⑥1≤3x+5m ； ⑦2

3mn ab ⑧x+2＜6⑨xy-2=0

练习2、用不等式表示下列语句.

(1)a 的2

1与b 的3倍的和是非负数； (2)x 与5的75％不大于-6；

(3)a 与b 两数和的平方不能小于8；

(4)一个数x 与3的差的2倍小于它与4的和.

二、不等式的解集

不等式的解定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 思考：判断下列数种哪些是不等式23

x ＞50的解 76,73,79,80,74.9,75.1,90,60

你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？

1、不等式的解集定义：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。

注意：①不等式的解只有一个或几个数，解的个数有限，而不等式的解集是一些数，解的个数无限

②不等式的解集包含了不等式的全体的解，解集中每一个数都是不等式的一个解

2、解不等式的定义：求不等式解集的过程叫做解不等式

3、不等式解集的在数轴上表示

注意：一、定边界：“＞”或“＜”用空心圈，“≥”或“≤”用实心圈

二、定方向：大于向右，小于向左

练习：教材P123 练习1,2,3, P128 1,2,3,

三、课堂补充练习

1、下列哪些数是不等式2x-1＜5的解集?你能根据上述结果直接写出2x-1＜5的解集吗?[来源:学科网]

4，3，2，-1，-2

2、用符号__________连接的式子叫做不等式.

3、在数学表达式①-5＜0；②3a ＜2b-1；③a ≠b ；

④x 2-1＞x ；⑤x=5；⑥m 3-2mn+n 2中是不等式的是__________(填序号)

4、如果a ＜-1，则a 与-a 的关系是__________.

5、“a 不是负数”这句话可用数学式子表示为__________.

6、用不等式表示下列各式:

(1)x 与y 的差的平方大于x ，y 两数的平方差.

(2)x 的3

2与3的差比x 的一半小. (3)y 除以2的商加上9，至多为3.

(4)三件上衣与四条长裤的总价钱低于500元.

7、在下列各数-2，-2.5，0，1，3

4,35中，是不等式32x ＞1的解有__________，是32 x ＞1的解有_____________.

8、用不等式表示:

(1)x 与3的差小于或等于5:__________.

(2)x 的3倍的相反数大于x 的相反数:__________.

9、不等式x ＜6的正整数解的个数是__________.

10、请你写出一个当x=6时能成立的不等式__________

11、a 与b 两数和的平方不小于8用式α表示为__________.

提高：

1、若0＜a ＜1，则下列四个不等式中正确的是( )

A.a ＜1＜

a 1 B.a ＜a 1＜1 C.a 1＜a ＜1 D.1＜a

1＜a 2、.若3)5(2x --的值是非正数，则x=__________ 3、已知三个数a 、b 、c 在数轴上的对应点，如图所示，则下列式子正确的是（ ）

A ．cb ＞ab

B ．ac ＞ab

C ．cb ＜ab

D ．c+b ＞a+b

4、你能比较20072008和20082007的大小吗?为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较n n+1和(n+1)n 的大小(n ≥1的整数).然后，从分析n=1，n=2，n=3，…，这些简单情形着手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.

(1)通过计算，比较①—③各组两个数的大小(在横线上填“＞”、“=”、“＜”号)

①12__________21；②23__________32；③34__________43.

(2)从第(1)小题的结果经过归纳，可以猜想出n n+1与(n+1)n 的大小关系是__________

(3)根据上面归纳猜想到的一般结论，可以得到20072008___________20082007(填“＞”、“=”、“＜”号)

作业《启东》

9.1.2不等式的性质（1）

教学目的：1、理解不等式的性质．

2、会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集

教学重点：不等式的性质

教学难点：不等式性质3的探索及运用

教学过程

活动1 回顾等式的性质

性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式．

性质2：等式两边同时乘一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式． 关注：（1）学生对已学过的等式性质内容的记忆，及叙述语言的准确性；

（2）学生对等式性质得出过程的回顾．

活动2 探究不等式的性质

问题1、用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律：

问题2、用自己的语言概括不等式有哪些性质？

0 a b c （1）5＞3 ， 5+2 ___ 3+2 5－2 ___ 3－2； （2）－1 ＜3 ，

－1+2___ 3+2，

－1－3 ___3－3；

（3）6＞2，

6×5 ___2×5， 6×（－5）___ 2 ×（－5）

； （4）－2＜3 ， （－2）×6___ 3×6， （－2）×（－6）___ 3 ×（－6）

学生分组讨论，得出不等式的性质：

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

注意：教师深入小组倾听学生的讨论，并注意规范学生的数学语言，并注意学生对不等式性质2、3是否能分开说明．

问题3、用式子的形式表示不等式的3条性质．

活动3 巩固练习不等式的性质

问题

设a ＞b ，用“＜”或“＞”填空：

(1) 3a ___ 3b ；

(2) a –8 ___ b – 8；

(3) –2a _____–2b ；

(4) 2a － 5____2b –5；

(5) –3.5b +1______–3.5a +1．

活动4 应用不等式的性质解简单的一元一次不等式

问题

利用不等式的性质解下面的不等式：

（1）267>-x ；

（2）123+

（3）

503

2>x ； （4）34>-x ． 注意：将解集在数轴上表示出来

补充例题：

例1、用作差法比较大小

设x ＞y ，试比较式子(810)x --与(810)y --的大小，如果较大的式子为正数，则使这个式子为正数的最小正整数是多少？

例2、解含有字母系数的不等式

关于x 的不等式(2)a b x -＞2a b -的解集是x ＜52

，求关于x 的不等式ax b +＜0的解集．

活动5 课堂小结，布置作业《启东》

选练：

1、 已知三角形三边分别为3，5，x-2，求x 的取值范围。

2、 已知三角形三边分别为3，5，|x-2|，求x 的取值范围。

3、 已知324x y z +=+，226x z y +=+，问是否存在x 、y 、z 的正整数值，使得x+y+z

＜7？

4、 解下列不等式

（1）

314x +＜1526463x x -+- x ＜233

- （2）1223

x --≤1 x ≥0.5 （3）527x +-＞1114x -- x ＜53

（4）3113x +-＜732(2)515x x --+ x ＞38

9.1.2不等式的性质（2）

教学目的：进一步熟悉不等式的性质，并对不等式性质进行运用

教学重点：不等式的性质的运用

教学难点：不等式性质3的运用

教学过程：

一、复习

用式子表示等式性质与不等式性质

二、“≥与≤”名词解释

符号：“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”

“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”

问：a ≥b ，a ≤b ，这样的式子具有不等式的性质吗？

三、例题选讲

例1、某长方形形状的容器长5㎝，宽3㎝，高10㎝.容器内原有水的高度为3㎝，现准备向它继续注水。用V （单位：3

cm ）表示新注水的体积，写出V 的取值范围。

注：新注水的体积V 不能为负数（天然范围），加上原有水的体积，不超过容器的容积（题目限制）

练习：有一位两位数，如果把它的个位数字a 和十位数字b 对调，那么什么情况下得到的两位数比原来的两位数大？

问：本题的a 、b 有何限制？

例2、证明：三角形两边的差小于第三边

四、拓展提高

例3、m 为何值时，关于x 、y 的方程组412328

mx y x y -=??

-=?的解x 和y 都是负数？ 注：用字母m 表示方程组的解

练习： 1、 已知关于x 、y 的方程组31331x y m x y m +=+??+=-?

的解满足x +y ＞0，求m 的取值范围。

2、 若关于x 、y 的方程组43235x y k x y -=??

+=?的解中x ＞y ，求k 的取值范围。

例4、若关于x 的不等式

114x --＞46x a -的解都是不等式14x -＜22

x -的解，求a 的取值范围。

对比练习：如果关于x 的不等式(1)a x -＜5a +和2x ＜4的解集相同，求a 的值。 课后练习：

作业《启东》

9.2一元一次不等式1

教学目标 1、一元一次不等式概念；

2、解不等式的方法，并将解集在数轴上表示出来；

3、引导学生体会数形结合思想

教学重点1．掌握一元一次不等式的解法。

2．掌握解一元一次不等式的阶梯步骤，并能准确求出解集。

教学难点能将文字叙述转化为数学语言，从而完成对应用问题的解决

一、复习引入

1、不等式的3个性质

2、解不等式的关键是什么？

二、新课讲解

1、一元一次不等式概念

思考，观察下面的不等式

x-7＞26，3x ＜2x+1，，-4x ＞3

概念：含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

（类比于一元一次方程概念）

2、一元一次不等式的解法

通过上节课的学习，我们已经掌握了解简单不等式的方法。这节课我们来共同探讨解一元一

次不等式的方法。

关注：一元一次不等式的解法与不等式解法的联系和区别。

例1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：

（1）2（1+x）＜3；（2）.

（1）解：去括号，得移项，得

合并同类项，得系数化为1，得

这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示

（2）略，

归纳：解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x＜a或x＞a的形式。

注意：乘除负数，不等号的方向改变。

练习：

1、解下列不等式，并在数轴上表示解集：

（1）5x+15＞4x-1；（2）2（x+5）≤3（x-5）；

（3）；（4）。

2、当x或y满足什么条件时，下列关系成立？

（1）2(x+1)大于或等于1；

（2）4x与7的和不小于6；

（3）y与1的差不大于2y与3的差；

（4）3y与7的和的四分之一小于-2.

课堂小结：

关注：1、一元一次不等式的概念2、解一元一次不等式步骤；3、等式性质3的准确使用；

4、解一元一次方程和解一元一次不等式的联系和区别。

作业《启东》

补充练习：

1、下列各式中是一元一次不等式的是________。

①2x－y＞5；②x＋2＞18；③；④＜2。

2、下列不等式中解集不同的是________。

A：5x＞10与13x＞26；B：2x－14＜x＋16与x＜15；

C：x＜－2与－4x＞8；D：x－7＜2x＋8与x＞15。

3、在解不等式：(2x－7)／3≤(2＋11x)／6的过程中，（1）去分母得2x－7≤4＋22x，（2）