高考文科数学真题汇编：立体几何高考题老师版

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学科教师辅导教案 学员姓名 年 级
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2h
第 次课
授课日期及时段 2018年 月 日 ： — ：
1．（2014辽宁）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ Ｂ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
2.(2014新标1文) 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ Ｂ ）
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
3.(2014浙江文) 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ Ｃ ） A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥m B.若β//m ，αβ⊥，则α⊥m
C.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m
D.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 4.(2013浙江文) 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( C ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β
5.（2015年广东文）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ Ａ ）
A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交
B ．l 与1l ，2l 都相交
C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交
D ．l 与1l ，2l 都不相交
历年高考试题集锦（文）——立体几何
6.（2015年新课标2文）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
1A.8 1B.7 1C.6 1D.5
1
11
2
【答案】D 【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的1
6
,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为
1
5 ,故选D.
7．（2015年福建文）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A ．822+ B ．1122+ C ．1422+ D ．15
【答案】B 【解析】试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为1
2332
⨯⨯=，侧面积为则其表面积为2+2+4+22=8+22，所以该几何体的表面积为1122+，故选B ． 8.（2014安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ A ）
A ．213+
B ．183+
C ．21
D ．18
9．（2012福建）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( D )
A ．球
B ．三棱锥
C ．正方体
D ．圆柱 10．（2014福建理）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ A ）
.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱
11．（2012广东理）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ C ）
A .12π
B .45π
C .57π
D .81π
12（2012广东文）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( C )
72π ()B ()A 48π ()C π30 ()D π24
13．（2013广东文）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ B ）
图 2
1俯视图
侧视图
正视图2
1
A ．
16 B ．13 C ．2
3
D ．1 14．（2013江西文）一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ A ）
A.200+9π
B. 200+18π
C. 140+9π
D. 140+18π
15.(2012新标) 如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为
A .6
B .9
C .12
D .18
【答案】B
16.(2013新标1) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A ）
A .168π+
B .88π+
C .1616π+
D .816π+
17．(2017·全国Ⅰ文)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )
【答案】A
18、（2016年天津）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如
图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ B ）
19、（2016年全国I 卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若
该几何体的体积是28π
3
，则它的表面积是（ A ）
（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π
20、（2016年全国I 卷）如平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α
=平面，
11ABB A n α
=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（ A ） （A ）
32（B ）22（C ）33（D ）1
3
21、（2016年全国II 卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ C ）
（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π
22、（2016年全国III 卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ B ）
（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81
23、（2016年浙江）已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ C ） A.m ∥l
B.m ∥n
C.n ⊥l
D.m ⊥n
24、(2017·全国Ⅱ文)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( B ) A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
25．（2014湖北文）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____12π________.
26. (2017·全国Ⅲ文)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( B )
A ．π
B ．3π4
C ．π2
D ．π4
27. (2014新标2文) 正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥
11A B DC -的体积为（ C ）
（A ）3 （B ）
32 （C ）1 （D ）3
2
28．(2017·北京文)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( D )
A ．60
B ．30
C ．20
D ．10
29．(2017·全国Ⅰ文)已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥SABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．
1．【答案】36π【解析】如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径知，OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC 知，OA ⊥平面SCB .
设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×(12SC ·OB )·OA ＝r 3
3，
即r 3
3
＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π. 30、(2017·山东文，13)由一个长方体和两个1
4
圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为______2
＋π
2
__．
31.(2012新标文) 如图，三棱柱111ABC A B C 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1
2AA 1，D 是棱AA 1
的中点。

(Ｉ) 证明：平面BDC ⊥平面1BDC 。

（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）1:1.
32.(2013新标2文) 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．
(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积．
【答案】(1)略；(2) 1.
33、(2017·全国Ⅰ文)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.
(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；
(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．
1．(1)证明 由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥P A ，CD ⊥PD .
由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD .又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . (2)解 如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .
由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，所以PE ⊥平面ABCD . 设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝
22
x ， 故四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝8
3，故x ＝2.
从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22， 可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋1
2BC 2sin 60°＝6＋2 3.
34．（2014山东文）如图，四棱锥P ABCD -中，1
,,,,2
AP PCD AD BC AB BC AD E F ⊥==平面∥分别为线段,AD PC 的中点.
（Ｉ）求证：AP BEF ∥平面；（II ）求证：BE PAC ⊥平面.【答案】略 35.(2014四川文) 在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形。

D E
B 1
C 1
A
C
B
A 1
O
M
E
D
A
B
C
C 1A 1
B 1
（Ⅰ）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；
（Ⅱ）设D ，E 分别是线段BC ，1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE 平面
1A MC ？请证明你的结论。

【简解】（Ⅰ）略（2）取线段AB 的中点M ，连接111,,,A M MC AC AC ，设O 为11,A C AC 的交点.由已知，O 为1AC 的中点.连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为1,ABC ACC ∆∆的中位线. 所以，11
,,22
MD
AC OE AC MD OE ∴， 连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE
MO .
因为直线DE ⊄平面1A MC ，MO ⊂平面1A MC ，所以直线DE 平面1A MC .
即线段AB 上存在一点M （线段AB 的中点），使得直线DE
平面1A MC .
36．（2013北京文）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：
（1）PA ⊥底面ABCD （2）//BE 平面PAD （3）平面BEF ⊥平面PCD
37．（2012江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1B 1=A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：
（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； （2）直线A 1F ∥平面ADE ．
38．（2013江苏）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥， AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥.
【答案】略
39．（2014江苏）如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．
（1）求证：直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．
40．（2014北京文）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，BC=1，
E 、
F 分别为11A C 、BC 的中点.
（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积.
C 1
B 1
A 1
F
E C
B
A
【简解】(1)AB ⊥平面B 1BCC 1即可；（2）取AB 中点G ，C 1F ∥EG 即可；(3)
3
3
41.（2015北京文）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，
V ∆AB 为等边三角形，C C A ⊥B 且C C 2A =B =
，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．
（Ⅰ）求证：V //B 平面C MO ；（Ⅱ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ；（Ⅲ）求三棱锥V C -AB 的体积．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）
3
3
. 42.（2015年新课标1卷）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为
6
3
，求该三棱锥的侧面积. （I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD. 因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.
又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o
120 ，可得AG=GC=
32x ，GB=GD=2
x . 因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的EG=
3
2
x . 由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=
22
x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=
13×1
2
AC ·GD ·BE=366243x =. 故x =2 ……9分
从而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25. ……12分
43.(2017·全国Ⅱ文)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝1
2AD ，
∠BAD ＝∠ABC ＝90°.
(1)证明：直线BC ∥平面P AD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD 的体积． 2．(1)证明 在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD . 又BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，故BC ∥平面P AD .
(2)解 如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝1
2AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM
为正方形，则CM ⊥AD .
因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .
设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ，所以PN ＝
14
2
x .因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3.
所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×2(2＋4)2
×23＝4 3.
44、（2016年江苏省高考）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱
B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111A
C A B ⊥.
求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .
（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C 又因为1111111111111
11,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A
因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥
又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面
因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面
45、（2016年全国I 卷）如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明：G 是AB 的中点；
（II ）在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．
P
A
B
D C
G
E
（II ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.
理由如下：由已知可得PB PA ⊥，⊥PB PC ，又//EF PB ,所以EF PA EF PC ，⊥⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.
连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心. 由（I ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2
.3
=
CD CG 由题设可得⊥PC 平面PAB ，⊥DE 平面PAB ，所以//DE PC ，因此21
,.33
=
=PE PG DE PC
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323
=
⨯⨯⨯⨯=V 46、（2016年全国II 卷高考） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，
CD 上，AE CF =，EF
交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆的位置. （Ⅰ）证明：'AC HD ⊥； （Ⅱ）若5
5,6,,'224
AB AC AE OD ===
=,求五棱锥D ABCEF '-体积.
试题解析：（I ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD 又由=AE CF 得=
AE CF
AD CD
，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD . （II ）由//EF AC 得
1
.4
==OH AE DO AD 由5,6==AB AC 得22 4.==-=DO BO AB AO 所以1, 3.'===OH D H DH 于是2
2
2
2
2
(22)19,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH
由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=AC BD BD HD H ，所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD
又由,'⊥=OD OH AC
OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC 又由
=
EF DH AC DO 得9
.2
=EF 五边形ABCFE 的面积11969
683.2224
=
⨯⨯-⨯⨯=S 所以五棱锥'ABCEF D -体积169232
22.342
=
⨯⨯=V 47、（2016年全国III 卷高考）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ，
3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（I ）证明MN
平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.
（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为PA 2
1
. ....9分 取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .
由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故52542
1
=⨯⨯=∆BCM S . 所以四面体BCM N -的体积3
5423
1
=⨯⨯=
∆-PA S V BCM BCM N . .....12分 48．(2017·北京文)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
(1)求证：P A ⊥BD ； (2)求证：平面BDE ⊥平面P AC ； (3)当P A ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积．
(1)证明 因为P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，所以P A ⊥平面ABC .又因为BD ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BD .
(2)证明 因为AB ＝BC ，D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC .由(1)知，P A ⊥BD ， 又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .所以平面BDE ⊥平面P AC . (3)解 因为P A ∥平面BDE ，平面P AC ∩平面BDE ＝DE ，所以P A ∥DE . 因为D 为AC 的中点，所以DE ＝1
2
P A ＝1，BD ＝DC ＝ 2.
由(1)知，P A ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以三棱锥E －BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝1
3.
49．(2017·江苏，15)如图，在三棱锥ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .
求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .
证明 (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，则AB ∥EF .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .
(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ，
所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC .
50、（2013年全国I 卷）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=。

（Ⅰ）证明：1AB A C ⊥；（Ⅱ）若2AB CB ==，16AC =，求三棱柱111ABC A B C -的体积。

C 1
B 1
A
A 1
B C
51、（2011年全国I 卷）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形。

60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD 。

（I ）证明：PA BD ⊥ （II ）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高。

(18)解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得3BD AD =
从而BD 2
+AD 2
= AB 2
，故BD ⊥AD
又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ,所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD
（Ⅱ）过D 作D E ⊥PB 于E ，
由（I ）知BC ⊥BD,又PD ⊥底面ABCD ，
所以BC ⊥平面PBD ，而DE ⊂平面PBD ，故DE ⊥BC,所以DE ⊥平面PBC 由题设知PD=1，则BD=3,PB=2，由DE ﹒PB=PD ﹒BD 得DE=
23,即棱锥D PBC -的高为2
3
52、（2014年全国I 卷）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥
平面BB 1C 1C ．
（1）证明：B 1C ⊥AB ； （2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，BC=1，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高．
（1）证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点，∵侧面BB 1C 1C 为菱形，∴BC 1⊥B 1C ，
∵AO ⊥平面BB 1C 1C ，∴AO ⊥B 1C ，∵AO ∩BC 1=O ，∴B 1C ⊥平面ABO ，∵AB ⊂平面ABO ，∴B 1C ⊥AB ；
A
B
C
D
P
（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD=D，∴OH⊥平面ABC，
∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为等边三角形，∵BC=1，∴OD=，
∵AC⊥AB1，∴OA=B1C=，由OH•AD=OD•OA，可得AD==，∴OH=，
∵O为B1C的中点，∴B1到平面ABC的距离为，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．。