阶线性微分方程组第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理

第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时）

一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的

等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理.

二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理.

三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质.

四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.

五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.

六、教学过程：

1 课题引入

在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.

例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v

123(,,,)(,,,)

(,,,)x y z

v f t x y z v f t x y z v f t x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩

且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是

求一阶微分方程组

123(,,,)(,,,)

(,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩

的满足初始条件

00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z =

的解(),(),()x t y t z t .

另外，在n 阶微分方程

（1.12）

()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令(1)121,,,n n y y y y y y --'''===就可以把它化成等价的一阶微分方程组

1

1221111(,,,,)

n n n n dy y dx dy y dx dy y dx dy f x y y y dx

----⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=

⎩ 注意，这是一个含n 个未知函数11,,

,n y y y - 的一阶微分方程组.

含有n 个未知函数12,,

,n y y y 的一阶微分方程组的一般形

式为： 11122112112(,,,,)

(,,,,)(,,,,)n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx

⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪

⎩ (3.1)

如果方程组(3.1)右端函数不显含x , 则相应的方程称为是

自治的.

方程组(3.1)在[,]a b 上的一个解，是这样的一组函数

12(),(),

,()n y x y x y x

使得在[,]a b 上有恒等式 12()(,(),(),,())i i n dy x f x y x y x y x dx = (1,2,

,)i n =

含有n 个任意常数12,,

,n C C C 的解

1112221212(,,,,)(,,,,)(,,,,)

n n n n n y x C C C y x C C C y x C C C ϕϕϕ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩

称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组

11212212121212(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0

n n n n n n n x y y y C C C x y y y C C C x y y y C C C Φ=⎧⎪Φ=⎪⎨⎪⎪Φ=⎩

则称后者为(3.1)的通积分.

如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件

1010202000(),(),

,()n n y x y y x y y x y ===

(3.2) 的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于12,,

,n C C C 的n 个方程式，如果从其中解得12,,,n C C C ，再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.

2 一阶微分方程组的向量和矩阵表示

为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1). 令n 维向量函数

12()()(),()n y x y x Y x y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

11221212(,,,,)(,,,,)(,)(,,,,)n n n n f x y y y f x y y y F x Y f x y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

并定义 111(),dy dx dy dY x dx dx dy dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

00001()()()()x x x x n x x x n x f x dx f x dx F x dx f x dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰

则(3.1)可记成向量形式

(,)dY F x Y dx

= (3.3)

初始条件(3.2)可记为

00(),Y x Y = 其中102000n y y Y y ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

(3.2)′

(3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为

00(,)

()dY F x Y dx Y x Y ⎧=⎪⎨⎪=⎩

(3.4)

这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了.

进一步，对n 维向量Y 和矩阵()ij A a =,