高考函数习题及答案

高考函数习题

1．[2011·沈阳模拟] 集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1)

B ．(－∞，1]

C ．(1，＋∞) D．R

2．[2011·郑州模拟] 下列说法中，正确的是( )

①任取x ∈R 都有3x >2x ；②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③y ＝(3)－x 是增

函数；④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图像对称于y 轴．

A ．①②④

B ．④⑤

C ．②③④

D ．①⑤

3．[2011·郑州模拟] 函数y ＝

xa x

|x |

(0

图K8－4．[2011·聊城模拟] 若函数y ＝2|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是

( )

A ．m ≤－1

B ．－1≤m ＜0

C ．m ≥1 D．0＜m ≤1

5．[2010·湖北卷] 已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

log 3x ，x >0，

2x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－1

4

6．[2011·郑州模拟] 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知当x ∈(0,1)时，f (x )＝log 1

2

(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )

A ．是增函数，且f (x )<0

B ．是增函数，且f (x )>0

C ．是减函数，且f (x )<0

D ．是减函数，且f (x )>0

7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，

b ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

log 123，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．c

B ．c

C ．b

D ．a

8．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图像如图K8－2所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图像是( )

9．[2011·锦州一模] 设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取 值范围是( )

A ．(－∞，0)

B ．(0，＋∞)

C ．(－∞，log a 3)

D ．(log a 3，＋∞)

10．[2011·济宁模拟] 很难想象如果城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样．污水经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次，能过滤出有害物质的3

4.若过滤n 次后，流出的

水中有害物质在原来的1%以下，则n 的最小值为________(参考数据lg2≈0.3010) ．

11．若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数，则a 的取值范围为________．

12．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．

13．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，则f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最大值为________．

14．(10分)(1)已知f (x )＝2

3x －1

＋m 是奇函数，求常数m 的值；

(2)画出函数y ＝|3x －1|的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？

有一解？有两解？

15．(13分)设a>0，f(x)＝e x

a＋

a

e x

是R上的偶函数(其中e≈2.71828)．

(1)求a的值；

(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

16．(12分)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)＝log23，且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求证：f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

函数习题答案

1．B [解析] ∵y＝b x＋1>1，如果A∩B只有一个子集，则A∩B＝∅，∴a≤1.

2．B [解析] 利用指数函数的性质判断．

3．D [解析] x>0时，y＝a x；x<0时，y＝－a x.即把函数y＝a x(00时不变，在x<0时，沿x轴对称．

4．A [解析] ∵|1－x|≥0，∴2|1－x|≥1.∵y＝2|1－x|＋m≥1＋m，∴要使函数y＝2|1－x|＋m的

图像与x 轴有公共点，则1＋m ≤0，即m ≤－1.

5．B [解析] 根据分段函数可得f 19＝log 319＝－2，则ff 19＝f (－2)＝2－2＝1

4，所以B 正确．

6．D [解析] 由于x ∈(0,1)时，f (x )＝log 1

2

(1－x )，所以f (x )在区间(0,1)上单调递增且f (x )>0，

又因为f (x )为偶函数，所以f (x )在区间(－1,0)上单调递减且f (x )>0，又因为f (x )是周期为2的周期函数，所以f (x )在区间(1,2)上递减且f (x )>0，故选D.

7．B [解析] log 1

23＝－log 23＝－log 49，b ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

log 123＝f (－log 49)＝f (log 49)，

log 47

9,0.2－0.6＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝535

＝5125>5

32＝2>log 49. 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，

∴f (0.2－0.6)

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

log 123

9．C [解析] f (x )<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<0⇔log a (a 2x －2a x －2)1，即(a x )2－2a x ＋1>4⇔(a x －1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2，所以a x >3或a x <－1(舍去)，因此x

10．4 [解析] 设原有的有害物质为a ，则过滤n 次后有害物质还有⎝ ⎛⎭⎪⎫14n a ，令⎝ ⎛⎭

⎪⎫14n ＜1%，则n ＞1

lg2

，即n ≥4，所以n 的最小值为4.

11．a >1 [解析] 函数f (x )是由φ(x )＝ax 2－x 和y ＝log a φ(x )复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法．(1)当a >1时，若使f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数，则φ(x )＝ax 2

－x 在[2,4]上是增函数且大于零．故有⎩⎪⎨

⎪⎧

1

2a ≤2，

φ2＝4a －2>0，

解得a >1

2

，∴a >1.

(2)当a <1时，若使f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数，则φ(x )＝ax 2－x 在[2,4]上是减函数且大于零.⎩⎪⎨

⎪⎧

12a ≥4，

φ4＝16a －4>0，

不等式组无解．

综上所述，存在实数a >1使得函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数．