一道错题引发的思考(周攀波)
一道错题引发的思考(周攀波)
一道错题引发的思考宜昌金东方小学周攀波在学习了一个多月后,我们进行了一次简单的独立作业。
检验的结果，让我十分意外。
原题如下：3、我能把与数字同样多的部分圈起来。
（12分）3 6 95 4 7按照对孩子的了解，在入学以后一个多月的时间里，每一个孩子都能正确的数数。
对同样多的理解也应该没有问题。
可是我粗略的统计了学生的答案，105班有16位孩子这题全错，106班有20位孩子答错。
看着试卷上的这些答案，我陷入了沉思。
心里十分困惑和沮丧.百思不得其解为什么出错率如此之高?为了找出错误的原因,我有意的把这道题念给身边的朋友听,让他们帮我分析问题出在哪里?其中一位朋友说;’我拿到这道题,会不明白这题的意思.’我愕然.继续追问她,题目的表达是不是有问题?她说:’是把哪个数字和图相对应?”原来题目的表达也存在问题.可是我认为这不是造成学生出现大面积错误的根本原因.如果题目改为,数学是几,就圈出几个,学生就不会出错了.我再次把学生做错的答卷拿出来认真观察.看着看着,我知道问题出在哪里了.原来,学生把5只小鸡和数字5圈在一起了.9个蘑菇与数字9圈在了一起.按照学生的这种答案,确实是把数字与图形同样多的圈在了一起.为了验证的我想法,我找来了出错的两位同学.问他们是怎么想的?他们告诉我,运用了一一对应的思想,把同样多的数字与图形圈在了一起.那么前段时间学习过的’一一对应”的思想在这道题中,对学生的理解造成了知识的困扰.通过以上分析,我认识到:错题,是学生知识和思维暴露问题的十分有价值的资源.在面对学生的错题时,教师要抱着平常心.不把把学生的意见完全丢弃不管,不去追求错误产生的原因.让它丢掉了真正的价值.对出错的孩子,不能抱怨和指责.要给学生充分的时间去分析错题的原因,并且要引导孩子正确对待错误,形成正面的差错观.让每一个孩子重视错题的价值,不要害怕自己出错,要在错误中反思,醒悟.提高.针对普遍性的错误，教师要寻找原因,找到相应的解决办法.有针对性的设计集中讲评.比如,这道题还存在学生对题意的理解不清.把与数字同样多的部分圈起来,造成学生答题错误的还有一个重要原因,就是学生对”部分”和”整体”感知没有完全建立.当一个完整的图形出现时,学生没有认真去分析’与数字同样多的部分’那么在讲评时,也应该重点让学生体会部分与整体的关系.学生的审题与对题意的思考也应成为教师点拨,引导的方面.艾宾浩斯的“遗忘曲线”告诉我们：在学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程不是均衡的，而是在记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐减慢了，到了相当长的时间后，几乎就不再遗忘了，这就是遗忘的发展规律。
溯“错因”之源,扬“纠错”之帆——一道除法测试题背后的故事(大朗镇新民小学陈肖娟)
溯“错因”之源，扬“纠错”之帆——一道“除法”测试题背后的故事 东莞市大朗镇新民小学 陈肖娟【内容摘要】错误像一把双刃剑，如果处理不当，往往会造成教育的失误，同时，错误也是正确的先导，是通向成功的阶梯。
新课程下，应如何对待学生学习的错误呢？本文试图借助一道除法问题的典型错例，深入分析，聚集成因，探寻对策，因势利导，变废为宝，扬起“纠错”之帆，通向成功彼岸。
【关键词】典型错题、引起关注、深入调查、聚焦成因、探寻对策出错是学生学习活动的必然现象，尤其在解决除法问题中尤其突出，可是错题千万别“错”过，应积极分析出错的原因，因势利导，合理的开发错题资源，将错例变为资源，迈入知识的殿堂。
【正文】一、发现错误——引起关注在期末复习时，一张测试卷里有一道题（如图1所示），此题的错误率极高，引起我强烈的关注。
对于此题，学生出现如下的错误：经统计，全班47人，有21个人因不同的错误在此丢分，错误率高达45﹪，而这些错误中，错解为3.5÷1.4的有18人，占错误率中的86﹪。
出错的学生不但是中下生，还有很多是老师心目中的优生，为何会出现这种尴尬的现象呢？二、深入调查——直击现状本以为这是自己班中的特殊的现象，不足为奇。
想不到在与同级科任的交流中发现，图1每个班都出现了类似的情况，根据其他老师的反馈这样的问题也不是这一届学生发生，每一届学生到了五、六年级学习小数、分数除法后，遇到类似的问题，学生都会像热锅上的蚂蚁到处乱撞，错误率极高。
这时我陷入深思中：一道“平均分的除法问题”，在二到四年级，学生能迎刃而解的题目，为何出现小数和分数之后，就成为学生束手无策的“丢分难题”呢？必然有深层的原因，我们必须引以为“借”，深入分析，探究问题的症结何在？于是笔者对五年级的142个学生做如下的剖析：（一）测试调查——洞真相1.解题测试——通过学生的解题测试，深入地了解学生的解题现状。
（如下表1），从测试的统计结果中，发现了学生在解题中有蒙混，随便乱撞的现象。
一道高考试题的错解引发的思考
一道高考试题的错解引发的思考导数是高中新课程的新增内容，它也是研究函数性态的有力工具。
近年来高考中，关于导数的题目是常见的。
然而，学生在解决这些问题的过程中常常由于个别环节的疏忽而导致失误丢分。
下面就2010年高考文科数学全国一卷中的第21题在解答中的典型错误谈谈自己所思考的问题，以提高解题的准确性。
题目（2010年全国ⅰ文21）已知函数（ⅰ）当时，求的值（ⅱ）若在上是增函数，求的取值范围其中第（ⅰ）问是容易作答，就不再阐述了。
第（ⅱ）问是关于求字母参数取值范围的问题，也是学生容易出错的问题。
笔者对学生的解答过程记录如下：解：第（ⅱ）问.由于在上是增函数，所以在上有成立，即，也就是，从而时，有 .令 ,（1）当时，显然成立;（2）当时，则 , 有 ;（3）当时，则 , 有 ;综上可知 .然而，正确答案是．整体看这个解答的思路是没有问题的，那么求解过程中是哪个环节出了问题?事实上，关于导数及其应用这一部分常会遇到两类题目：一类是已知函数求其单调区间；另一类是已知函数的单调区间，求函数解析式中字母参数得范围．2010年全国ⅰ文21题第二问就属于第二类问题．从这两类数学问题的本质来看，它们又是紧密联系的．为了对本文中的错解进行深入探讨，现从下面两个问题进行探讨：1 已知函数求其单调区间例1 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．解：函数的导数为．由 ,解得或 .因此，函数在和是增函数.由 ,解得0＜x＜2．因此，函数在是减函数．这道题的求解是容易的．但稍微留心的学生便会产生一个疑问：可不可以写成函数在和是增函数．函数在是减函数．答案是肯定的．只不过是解答中所列的不等式和中没有等号罢了，因此解出的不等式也没有等号．关于这部分内容，北师大版高中数学选修1—1，第四章导数应用中“导数与函数的单调性”这一节指出：导函数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是增加的；如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是减少的．由于学生对教材知识理解的不到位，因此很多学生在解此类问题时候，所列出的不等式都是和，很少去思考能否写成和．事实上，在数学分析中导数与函数的单调性这部分内容有下面两个定理一个推论是需要教师注意的：定理1 若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是，．定理 2 若函数在内可导，则在内严格递增（递减）的充要条件是：①对一切，有 ;②在内的任何子区间上 .推论设函数在内可导．若，则在内严格递增（严格递减）．例2 函数的单调区间．解：由，可知函数在区间上是递增的．但还有这的错误解答：由，解得或 .所以函数在和上单调递增.产生这样错误的原因在于对教材中给出的导函数的符号与函数的单调性之间的关系理解不清楚，对教材中的结论生搬硬套．需要注意得是，上面的推论只是严格单调的充分条件．如，虽然，但它在整个数轴上是严格递增的．从函数的连续性和凹凸性看，点是拐点，虽然在点两侧的函数导数值符号相反，由于在上连续，因此在整个数轴上，其图像是递增的．例3 函数，求其单调区间．解：因为定义域是 , ，所以函数在上是递减的．其实这个题目中也可以写成，只是在这个分式中分子不为零，所以写成更好一些．从上面的问题中，可以看出用导数求解函数的单调区间时，所列的不等式应该是和更严密一些，至于是否，可以结合函数的定义域及式子本身的特征来进一步选取．这样以来，对于“已知函数的单调区间，求函数解析式中字母参数得范围”的问题就不会出现漏解、错解的现象．2 已知函数在某一区间单调，求函数解析式中字母范围例4 已知，函数在时是单调递增函数．求的取值范围．解法1：因为函数在时是单调递增函数,所以在成立，所以，而在上，因此 .解法2：由 ,解得或，所以函数的单调增区间是和 .由于在是单调递增函数,所以 ,得 ,因此 .对于解法1，如果不注意列出，则势必造成漏解现象．对于解法2，看到在时是单调递增函数，但并不是说是函数的单调增区间，只说明可能是这个函数的单调区间的一部分．3 对2010年高考文科数学全国一卷中的第21题第（ⅱ）问错误的思考3.1 正如例4的解法2，对题意有准确的理解．2010年高考文科数学全国一卷中的第21题第（ⅱ）问中：在上是增函数，并不是说是函数的单调增区间，可能是函数的单调增区间的一部分．3.2 从例1、例2中可看到，对于求函数的单调区间这样的问题，是用（），还是（），对于问题的求解是没有影响的．而例3需要考虑函数的定义域及其导函数的特征，所以写成比写成更好一些．3.3 由例4，可以看到对于已知函数在某一区间单调，求函数解析式中字母范围这类问题，就要认真分析、多加思考是用（），还是（）．再看2010年高考文科数学全国一卷中的第21题第（ⅱ）问，这道题目所给的函数是一个多项式函数，其定义域就不需再考虑了，在实数范围内它的图像也是连续的，其解答中最容易出现错误的就是列出（），导致所求字母的范围漏解，而列出的正确的式子应该是（）．。
一题激起千层浪——一道历史高考题引发的教学反思
中图分类号：G633．5一题激起千层浪——一道历史高考题引发的教学反思孟庆武(邳州市炮车中学江苏·邳州1221327)文献标识码：A文章编号：1672—7894(2012)08—0117—02摘要2011年江苏省高考历史试卷第22题突出了新课程的理念，对考生的理解能力、思维能力、语言表达能力等综合能力进行全面考查．注重思维结果和思维过程的并重．这势必将促进高中历史教学更关注培养学生的学习能力和人文素养。
作者希望通过对此题的分析．明确高考方向，发现学生答题存在的问题．反思我们的历史课堂．加强教学的针对性和实效性．提高历史复习效率和质量．促进学生全面健康发展。
关键词江苏高考试题试题评析课堂反思O ne Pr obl e m A r i s es L a ye r of W ave：R efl ect i ons o n a C o-H eg e E n t r an ce E xam i nat i onProbl em o n H i s t or y／／M eng Q i ngw uA bs t r act Q ues t i on22i n201l J i angs u col l ege e n t ra nce e x a m—i nat i on hi st or y st r esse s o n t he c on c e pt of new cur r i cul um r ef or m．I t t est s s t udent s’com prehens i ve abi l i t y of und er s t andi ng abi l i t y，t hi n ki ng abi l i t y，l a ngua ge ski l l s，and ot he r com pr eh ens i ve abi l i t y，w h i ch w i l l na t ur al l y a r ouse t he at t ent i on t he cuhi vat—i on of st udent s’l ea rni ng abi l i t y and hum ani s t i c qual i t y i n hi gh s chool hi st or y t eachi n g．T hr ou gh t he anal ysi s of t he pr obl em，t he w r i t er hop es t o m ake cl ea r t he di r ec t i on of col l ege e n t r a nce exam，f i nd out t he pr obl em s i n st udent s’answ e ri ng，and r ef l ect s ou r pre s ent hi st or y cl ass，SO t o sⅡ℃n昏hen t he or i ent at i o n and ef f e ct i venes s of t ea chi ng，i m prove t he ef f i ci enc y and qual i t y of hi st or y r e vi e w，and pr om ot e st ude nt s’al l—r ound de ve l opm ent．K ey w or ds J i a ngsu col l ege e n t r ance e xam i na t i on pa pe r；pa pe r as ses sm e nt；c l as s r ef l ect i onA ut hor’S addr es s Paoche M i d dl e School of Pi z hou C i t y，221327，P i zhoudi angs u，C hi na1试题简析2011年的江苏高考第22题，首先提供历史学家陈旭麓的一段话做题序，在此基础上，试题呈现了三段文字材料，最后提出三个问题，其中第(3)问运用上述材料，结合所学知识，论证陈旭麓先生提出的观点。
一道习题背后的反思
一道习题背后的反思作者：***来源：《小学教学参考(数学)》2020年第08期[摘要]随着科技的发展和网络的普及，学生获取知识的途径更多，不再局限于课本，很多高科技如全息投影、5G网络、云计算等开始应用于生活，对于一些数学模型，学生可能得出超前超纲的解答。
这时，教师不应回避，而应用有限的知识尽最大努力去探寻答案。
这样，即使学生没有摘取最终的标准结论，但在攀登的过程中就获得成长。
[关键词]容积;最大值;函数;精确度;求导[中图分类号]G623.5[文献标识码]A[文章编号]1007-9068（2020）23-0039-02偶然在期刊上看到一篇教学文章，谈的是对于一道习题的探究：用一块长10em、宽6cm 的铝膜可以做成一个敞口的长方体金属盒，这个金属盒的体积最大是多少？按照教师的引导，学生研究出三种方案，并意识到：“同一块铝膜，剪切的方式不同，得到的体积也不同。
”一、学生提出的超纲的解答谁知几天后有位学生利用3D作图技术和计算机程序，算出了这个金属盒的最大体积可达44cm'，并给出了施工图。
尽管铝膜被整整分割成8块碎片，但结果却合情合理。
笔者感慨之余不免泛起一丝疑惑：计算机是怎么推出答案的？如何验证44cm就是最大体积？计算机已经推出科学结果，再反推需要哪些条件才能促成这种结论的发生（画出施工图，凑出长、宽、高），这似乎有些因果颠倒。
难道以后所有问题，都从未知的结论倒逼得出充分条件？于是，笔者开始寻找合乎逻辑和先因后果的思考方法。
二、用有限的知识无限逼近真相设铸造成的金属盒的长、宽、高分别为x，y，z，体积为V。
依照题意可知：依据题中现有的条件，仅能列出2个方程，推演到方程（4）就断路了。
所幸问题的目的是算出V的极大值，是一个动态的过程，笔者想到用试验法查验一下条件的特性。
很快，笔者有了重大收获——V的取值可以超出44。
比如当x=5，y=4时，V=（60-5x4）x_0≈44.4444。
因为可以随意剪拼，所以长10em、宽6cm并没有限制什么，起不到决定性作用，先决条件是5个面的面积之和不得大于60em2。
一道错误习题的错因探究及命题思考
一
幕． 二 、 习题 再 探
所以
＝ ．
下 面 笔 者 就 所 给 的 三 角 形 面 积 数值 这 一 条 件 在 题 目其 他 条 件 不 变 的 前提 下 ，做 进 一 步 的 探 究 （ 究过 程 中 ，前 述 结 果 直 探
接运 用） ．
所 以 ５ ＝ Ｓ △ △
叶
面 ， 某些 教 辅 资料 的 出版 只 求 经 济 效 益 ，不 讲 习 题 编 制 质 量 ，
因为 Ｂ ＝ Ｄ ， Ｄ ２ Ｃ
所以Ｂ Ｃ＝３ Ｃ Ｄ ．
只是把 一些 习题凑在一起 了事 ，因而 出错 就不足为奇．另一 方 面， 出错题有 两种情 况 ：一是改造陈题 ，如果编题 者改造 陈题 时不加推敲 ，只 图省事 ，势必出错 ；二是 创新 出题 ，如果编题
道几何计算题 的解答错在哪 儿？ 是 某 课 外 练 习 册 上 的 一 道 ”这
习题 ．
Ａ
显然 ≠０ ＃Ｏ ，ｙ ，其他条件不变． 同前 ，易得 Ｓ ＝３ △ ＝３ ，Ｓ ＝２ △ ＝２ ． Ａ Ｓ ｘ △ ｃ Ｓ ｙ
所 以 ５ ＝ Ａ ＋ｓ 伽 ＝３ ＋ ，５ ＾ ｓ ＋Ｓ Ｇ ： ＋ ． Ｓ △ ｘ Ｙ △国＝Ｊ 蚴 △‘ ｃ
特 有 的 严谨 性 ， 编题 者 乃 至 教 师 的 育 人 形 象在 学 生 的 心 目 中大 答方法没有错 ，结果没有错 ，参考答案也是对的． ”此时 ，笔者
扣．
对 此 题 的 结 果 感 到 很 纳 闷儿 ，心 想 ，这 道 题 不 应 该 有 两 个 结 果
关 键词 ： 习题 编制 ；错 因分析 ；命题 思考
题 目 如 图 １ 在 ＡＡ Ｃ ， Ｂ
中 ，点 Ｄ、Ｅ 、Ｆ分 别在三边上 ， Ｅ是 Ａ ｃ的 中点 ，Ａ Ｄ、Ｂ Ｅ、Ｃ Ｆ
从解错题中引发学生的思考
以“错”为平台，创设优质课堂资源【内容提要】听过不如看过，看过不如做过，做过不如错过。
错误能启迪思维，开启心智。
错误是人生的一笔财富，同时也是课堂中的一笔重要教学资源，教师教学时如果能把握机会，以“错”为平台，充分挖掘错误背后的附加值，将能更加有效地帮助学生实现知识的构建、思维的创新和方法的领悟及思维的顿悟，使课堂呈现出不一样的精彩，成为有效的开发学生学习的课堂资源。
【关键词】错误教学课堂资源问题背景学习过程是一个由简到繁、不断深化、螺旋式上升的过程。
处于成长阶段的学生由于其认知水平、知识结构、思维能力、思维方法的局限性，经常会在课堂学习中犯各种各样的错误，这些错误的出现成为原本预设好的教学的“绊脚石”。
面队这一状况，有的教师会措手不及而视而不见、充耳不闻，有的教师则会因时间关系而轻描淡写、一笔带过，更有甚会挖苦讽刺学生的奇思异想。
教师这些对待错误的处理方式并不明智，它扼杀了学生自主思维的火花，使学生难以触及问题的实质，最终将抑制学生学习的主动性和创造性，使其学习由主动变为被动，大大浪费了由错误引发的课堂资源。
课堂可以因“错”而精彩，不重视学生的错误是一种教学资源的浪费。
叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中指出：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、积极性、注意力、学习方式和思维方式、合作能力与质量、发表的意见、建议、观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等，无论是以言语，还是以行为、情感方式的表达，都是教学过程中的生成性资源”。
学生的学习错误是其思维的真实写照，作为教师，应善于观察、倾听和利用学生的错误，甚至可以有意设下“陷阱”诱导学生犯错；也可以教师本人故意犯错，让学生在纠错、改错、质疑的过程中实现知识的更新、思维的创新和对方法的领悟、思维的顿悟，在促进学生全面发展的同时，展现教师的慧，生成精彩课堂，提供丰富的课堂资源。
实践指导原则课堂上无论是预设的课程资源还是生成的课程资源，难免会出现一些错误，怎样充分利用这些课程资源，对于师生来讲，都是难得的宝贵资源，笔者认为，只要教师用得当，就能创设好优质的课程资源。
由一道练习题所引发的思考
由一道练习题所引发的思考江西省九江市湖口县第二小学周悦我是一位青年教师，今年是我第一次带毕业班——六年级的数学，虽然我是从一年级数学跟班带上来的，但是六年级的很多内容，还是让我这个新手感到有些棘手。
在我们学校六年级有6个班，大家的教学进度都一样，便于交流研讨。
今天我刚教完第三单元第二课时《比例的基本性质》，回到办公室还没坐稳，就听见六（6）班的数学老师在问：“大家看看这道题怎么解？这是我今天布置的一道家庭作业。
”顺着她手指的方向一看，心想：我今天不是也布置了这道题吗？既然这位老师提出来了，肯定是有点难度，我得先想出答案，要不明天会误人子弟的。
题目是这样的：甲数的3/4等于乙数的1/3,求甲数与乙数的比是多少？只听这位老师又问：“学生学过了方程吧，应该可以用方程解，就要设两个未知数，设甲数为X, 乙数为Y,则列方程为3/4 X=1/3 Y”。
我和另一位数学老师就反对说：“现在学生只学解1个未知数的方程，出现2个未知数他们不会解，太深奥了。
”其实我在旁边稿纸上，也是和这位老师列同样的方程：解：设甲数为X, 乙数为Y,则3/4 X=1/3 YX=1/3÷3/4×Y （根据一个因数等于积除以另一个因数）X=4/9 YX÷Y=4/9 （根据因数各部分间的关系）即X ：Y=4 ：9其实我自己虽然解出来了，我都看得有点绕，更何况是小学生呢，怎样做才能让学生听明白呢。
旁边的刘主任一语惊醒我这个梦中人（他也是六年级数学教师，对六年级数学教学有着丰富的经验）：“根据求一个数的几分之几用乘法计算，这是上学期的内容，可以列出关系式——甲数×3/4=乙数×1/3”。
我一拍后脑勺，是呀，列出了关系式，不就可以根据今天学习的“比例的基本性质”解这道题嘛。
比例的基本性质是：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
根据今天学到的知识，要求甲数与乙数的比，可以这样解：甲数×3/4=乙数×1/3甲数：乙数=1/3 : 3/4(把甲数与3/4看成是比例的外项，它俩的乘积正好等于两内项的乘积，即：乙数与1/3是比例的内项) 甲数：乙数=1/3×4/3甲数：乙数=4 : 9 (化成最简比)这样一来，通俗易懂，学生很容易就听明白了。
由一道“错题”引发的思考
４ｐ
．
＋
．
的值为（
Ｄ１ ．＿
Ｐ Ｐ
） 。
Ｉ Ｉ ｔＱ‘ ＭＰ‘ Ｍ Ｉ 。
Ｂ＿ ｃ １
２ｐ
在① 中令ｙ ０ 则２（ ） ２ （ ） ＝ ， ｆ０ ＝ ｆ Ｏ
‘ ． ’
ｆ０ ≠ ０ （）
分 析 ： 题 设条 件 中 可 知过 点 Ｍ（ ， ） 从 ｐ ０ 的直 线 具 有 任 意 性 ， 直 接 解 题 非 常 繁琐 ，而 从 选 择 支 中知 道 结 论 具 有 唯一 确定 性 ． 因此 可 用 特 殊 代一 般 赋 予 条 件 以 特殊 值 来 求 解 ， 会 很 简 单 。 就 解 ： 过 点 Ｍ（ ， ） 轴 垂 直 的 直 线 ｘ ｐ 则 Ｐ ｐ ｘ ） 取 ｐ ０ 与ｘ ＝ ， （ ， ／２ ｐ ，
ｆｏ ＝ （）１ ｆｙ ＋ （ ｙ ＝ ｆｙ） （ ） ｆ－ ） ２ （ ｆ一 ＝ （ ） （ ｙ） ｆｙ ｆｘ） （ 为偶 函数 ． 三 、 值 法在 判 定 、 明 函数 单 调 性 中 的应 用 赋 证 例 ３ 已知 函数 ｆｘ 的 定 义 域 为 （ ， 。） 当ｘ ｌ ，（ ） ０ ： （） ０ ＋。 ， ＞ 时 ｆｘ ＞ ， 且 ｆｘ ） ｆｘ ＋ （ ） （ ｙ ＝ （ ） ｆｙ 。 （ ） ｆ１ ； １ 求 （ ） （ 证 明ｆｘ） ２） （ 在定 义 域 上是 增 函数 。 分 析 ： ｆ １ 的值 需 要 在 等 式ｆｘ ） ｆｘ ＋ （ ） 求 （） （ｙ ＝ （ ） ｆ 中构 造 出 含 ｙ 有 ｆ １ 的 等 式 ， 需 令ｘ ｙ ｌ 可 ； 断 抽 象 函 数 的单 调 性 的 （） 只 ＝＝ 即 判 基 本 方 法是 定 义法 ， 关 键是 根 据 所 给 条 件 判 断ｆ ｘ） ｆｘ） 其 （ ．一 （ ， 的
一道高考压轴小题的多解探究与反思
一道高考压轴小题的多解探究与反思
本文将探究一道高考压轴小题的多解解法，并就其答题思路和考点进行反思和总结。
这道题为“有两个正整数，它们的和等于15，积等于26，求这
两个数”，是一道较为基础的代数题目，但其不同解法和思路却引起
了广泛讨论。
一种解法是通过列方程求解，设两个数分别为x和y，则有x+y=15，xy=26，进而解得x=2，y=13。
另一种解法是通过观察题目中给出的两个条件，可以发现15和26均为质数，因此只有1和15以及2和13两组数字相加等于15，
而只有2和13的积等于26，因此这组数字即为答案。
再一种解法是通过勾股定理，将26分解为2*13，设两个数分别为a和b，则有a+b=15，a^2+b^2=169，即a^2+(15-a)^2=169，解得a=4，b=11，进而得到另一组答案。
这三种解法均可得到正确答案，但考生在考场上应根据自己的能力和经验选择最适合自己的解法。
同时，这道题目也考察了考生的代数、数学推理和勾股定理等多个知识点，因此考生在备考过程中应加强对这些知识点的掌握和理解。
总之，这道高考压轴小题的多解探究和反思说明了数学题目的多样性和复杂性，考生需要在备考过程中不断提高自己的解题能力和思维水平，才能在考场上取得优异的成绩。
- 1 -。
一道中考错题的分析与启示
一道中考错题的分析与启示作者：赵仑来源：《知识文库》2018年第24期笔者在做广安市2017年数学中考题的时候，发现自己的做法以及答案与提供的标准答案均不同。
用不同的方法得出不同的结论，这就出现了矛盾。
笔者进一步对该试题进行深入研究，得出针对该题的分析、思考以及对教学的启示。
经过这样的修正，不仅消除了条件中的矛盾，同时此题需要考查的三个知识点：①解（直角）三角形；②相似三角形的判定；③相似三角形的性质均的得到保留。
5 三点启示5.1 提升作图教学在几何教学中的地位对于几何的解题方法，笔者印象最为深刻的是在单樽教授开设的《解题方法研究》课上，单樽教授的一句话：当遇到一题不会做的几何题时，按照题意重新画出图形，很多时候解法就自然想到了。
看似很简单、很普通的一句话，但是却蕴含着教授一辈子对于几何解题方法的心得和体会。
作为教师，我们深谙作图的妙处，如：能直观的看到整个图形详细的构建（思维的分析与综合）；能全面的了解条件（思维的抽象与概括）；能在作图的过程中，找到奠基三角形（搭建解题支架）......如果上述中考题在作图中，能够考虑到奠基三角形，那么就一定可以避免出现条件与条件之间相斥的现象（思维的比较与分类。
）在实际教学中，我们也同时切身的感受到，学生的作图能力非常欠缺，这样的欠缺在很大程度上就阻碍了学生在几何解题能力上的提升和发展。
因此，在几何教学中重视作图教学就显得尤为重要。
笔者曾经在一段时期的几何课堂教学中，尝试着由学生自己根据条件画出图形。
初始阶段虽有各种困难，但随着时间的推移，效果逐步显现，学生自己作图对寻找正确解题思路的提供了很大的帮助。
5.2 重视学生错误的教学意义就宏观的数学学习的过程而言，一般来说都是先提出假设，继而证实（或证伪）假设，最后修正假设。
从这个角度看，错误可能是学生在学习过程中对一个假设进行的某种尝试。
作为教师，很准确的抓住这个错误，协助学生对这些假设进行修正，学生的学习能力和自我发现问题、解决问题的能力自然可以得到提升。
对一道习题的几点思考
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Ｇ
力 。如果 物块沿 着 斜劈 加速 下滑 ， 统 中的一 部 系 分就有 了水 平方 向的分 加速 度 ，对 系统来 说 。 系
统必定 受 到 向左 的外力 ． 此种情 形 下 只有地 面 在 对它 向左 的静摩 擦力 了 。 例 ６ 如 图 １ 所 示 ．细 线 的一 端 系住 小球 ． １ 另一端 系 在斜劈 的顶部 ， 小球从 水 平方 向摆 到 在
ｍａ ｉ ｇｓｎ０
仍 可用 整体 法解 决 。 系统
在 竖 直 方 向 上 重 力 等 于 支持 力 ． 平方 向上 不受 水
＼
中没 有 摩擦 力 ， 面对 地 斜 劈 的 支 持 力 大 小 等 于物 块 与斜 劈 的重力 ，
在 Ｄ选 项 中我 们 定 性 的知 道 因为 Ⅳ 与 厂均 ，
思 考 ２ 关 于整体 法 与隔 离法 的应用 我们 在 解决 上 述 问题 时用 的是 隔离法 ， 物 对
＼ Ｎ
．
向下 。 物 块 Ａ受 力 分 对
析 如 图 ６ ： 若 物 块 力 平 衡 ，
／ ＼
。
体 对斜 劈 隔离 分析 ，解 题过 程 非常 清晰 明 了 ， 但
成 ０的恒 力 Ｆ的作 用 。 块 静 止 在地 面 上 ， 地 物 求 面对 物块 的摩擦 力 ？ 分析 对物体 受力 分析 ， 图 ２所示 。 如
Ｖ
项 的情形 ） ：若 在 物块 沿着 斜 面匀 速下 滑过 程 中
给物 块 施 加一 个 平行 于斜 面 向上 的力 拉 力 Ｆ使 物块减 速下 滑 （ Ｄ选 项 的情形 ） 若在 物块 上施 如 ： 加 一个 平 行 于斜 面 向上 的 拉力 使 物 块 沿 着斜 面 加速 上滑 （ 选项 的情 形 ） 在这 四种情 形 中斜劈 如 ，
关于一道教材例题的思考-----“活”用教材例题，提升学生思维品质
关于一道教材例题的思考-----“活”用教材例题，提升学生思维品质发布时间：2021-05-06T16:38:49.497Z 来源：《中国教工》2021年3期作者：杨立玺[导读] 在近几年的数学中考试题中，几乎每年都能看到一些试题源于教材例题，或又高于教材例题杨立玺四川省攀枝花市第二十五中小阳光外国学校摘要：在近几年的数学中考试题中，几乎每年都能看到一些试题源于教材例题，或又高于教材例题。
这是对我们广大数学教师教学的一种导向：在于引导大家用好教材中的例题和习题，以切实减轻学生的学业负担。
教师需回归课本立足教材，深入研究教材例题，挖掘隐含在教材例题中的数学思想和潜在价值，进而培养学生的数学思维品质。
初中数学教材上的例题都是经过专家们精心构思，反复斟酌的。
如何恰当运用、不断挖掘教材中例题的多种功能，深化例题教学，发挥其内在潜能，以培养高素质的学生是摆在我们教师面前的重要课程。
关键词：初中数学、教材例题、典型例题、数学方法、数学思想在近几年的数学中考试题中，几乎每年都能看到一些试题源于教材例题，或又高于教材例题。
这是对我们广大数学教师教学的一种导向：在于引导大家用好教材中的例题和习题，以切实减轻学生的学业负担。
教师需回归课本立足教材，深入研究教材例题，挖掘隐含在教材例题中的数学思想和潜在价值，进而培养学生的数学思维品质。
初中数学教材上的例题都是经过专家们精心构思，反复斟酌的。
如何恰当运用、不断挖掘教材中例题的多种功能，深化例题教学，发挥其内在潜能，以培养高素质的学生是摆在我们教师面前的重要课程。
一、开展典型例题研究，总结数学方法，提高学生的解题能力现在新的课程理念倡导“从教教材，到用教材”。
纵观近年中考试题，绝大部分题目源于教材的例题，即使是综合题也大多是教材例习题的组合、加工与拓展，充分体现例习题的基础作用和示范作用。
在平时的数学教学中，要立足于教材，重视教材中例题的使用，将教材例题充分挖掘，巧妙加工、变换、延伸，学生利用这些习题进行自主或合作探究。
一道易错题引发的的思考
一道易错题引发的的思考作者：孙成高稳来源：《中学物理·高中》2014年第10期解题时经常会遇到这样一类题目，题目本身阅读起来并不深奥，很容易下手，但是却非常容易受题目的思路束缚，而一不小心做错.这样的题目称为易错题，易错题对解题者来说是极具挑战性的，解题者必须具备完善的知识储备和严谨解题的素养.笔者亲身遇到的一道易错题，谈谈应对的策略.原题两个共点力的夹角θ固定不变，其合力为F，当其中一个力增大时，下述正确的是A.F一定增大B.F矢量可以不变C.F可能增大，也可能减小D.当0原题易错点分析本题考查的知识点是“力的合成”中合力与分力的关系.1.语言上的隐秘性.题目条件清晰，言简意赅，但就从题目本身语言而言就有一定的隐秘性.“θ固定不变”，应该说是话中有话的，不变中有变.也就是说θ可以保持锐角不变，也可以保持钝角不变，当然还可以是直角或平角.2.不止是语言存在隐秘性，本题的解题的方法上也有一定的隐秘性.根据平行四边形定则作图时，如图1、图2所示，保持夹角不变，增大F1.很容易得出的结论是：无论是钝角还是锐角，让一个分力增大时，F始终是增大的.错选A也就理所当然啦.[TP9GW899.TIF，BP#]正确解法1我们可以用特殊情形去推翻.如图3，若两个分力方向相反，则增大其中的F1时合力减小，增大力F2时合力增大，产生的结果就符合C选项的内容.这样其实就可以确定答案C.特殊值当然是好的方法，但是这道题目就是在一般情况下可否也能得出这个结论呢？解题者的思维往往被定格在一定要让其中一个力增大，所以得出的结论总是合力跟着增大，如果反其道而行，让其中一个力减小，合力又怎么变呢？正确解法2从图1中会发现随着F1的减小，合力一直在减小，极限就是当F1=0时，合力就是F2.得出的结论仍然是，F1增大，合力增大.从图2中会发现随着F1的减小，合力先减小，后增大，合力存在一个极小值.这样从图2中发现了解题的奥妙之所在.就是锁定这个合力的极小值.如果F1在未达到合力极小值时开始增大，合力是先减小后增大，如果F1在已达到合力的极小值[LL][HJ1.33mm]时开始增大，则合力一直在增大.综上所述，本题正确答案是C.从求解正确答案来说，本题可能并不算难题，但是从分析题目的过程和运用的解题方法和知识储备来说，本题又不能不算是难题.从众多诸如此题的求解过程中，引发了笔者对解决此类易错题的应对策略的思考.（1）审题要清，熟读深思书读百遍其义自见，古人的教训确实是非常的受用.一道再简单的题目，解题者也必须熟读三遍下笔才能确保准确无误.熟读的要点：通读了解本题大致的考查内容，给大脑一个缓冲的时间，准备应对；细读：舍弃无关紧要的语句，抓住解题的关键词，挖掘题目的所有已知条件，特别是隐含条件.深思的要点是：整合所有的条件，结合储备的知识点和方法，寻找解决问题的突破口.有时甚至还需要反其道而行的思考问题.（2）方法要巧，考虑要全解题的方法可以多种多样，只要能选出正确答案的合理方法都是好方法.例题中的特殊情值法，令θ=180°，迅速的选出正确答案，非常的巧妙和实用.当然不是所有的题目都具有特殊的解题方法的，这时就需要我们综合考虑各种情况，全面分析.例题中从锐角、钝角、平角三种情况进行对比分析，不仅求解了正确答案，还找到了解决问题的关键就是确定合力的最小值.（3）归纳方法和技巧，总结经验和教训.有的题目总是要错的，其实做错了，解题者的收获会比做对时更大.做错了，及时整理订正到错题集中.归纳总结做错的原因，找到自己的症结所在，对照自己的问题，找出解决的方法.同时，还能及时总结解题的经验.例如例题中挖掘语言中的隐含条件，合力的极小值的应用，恰当的使用特殊值法，反其道而行的逆向思维等等都是宝贵的解题经验.整理错题后还可以反复的查阅和记忆.（4）心态决定状态，态度决定高度解题时心态非常重要.平和的心态有时可以突破很多自身解题的障碍.再简单的题目也要多看几眼，再难得题目也要厚待几分.尊重每道题目，挖掘题目的考查要点.不骄不躁、不卑不亢.做错了，正好有机会纠正自己的错误；不会做，正好有机会查漏补缺，积累经验.好的心态可以避免很多不必要的错误，还能从容应对复杂多变的题型.扎实的基本功，全面的知识储备，丰富的解题经验和严谨的解题态度是解题高手的必备素养.以上即为解决此类易错题的几点浅薄体会，以期望得到批评指正.代替方程式.演算过程要求比较简洁，不要求把大量的运算化简写到卷面上，计算的具体过程可以在草稿纸上进行.3.4注意总结归纳物理的题目千变万化，但物理的规律是相对稳定的.掌握了物理规律，就可以以不变应万变.要有意识地对物理试题或练习题进行分类归纳，总结出该类试题（或问题）的二级或三级规律或解题方法.比如：匀减速直线运动，要求出若干时间后物体的位移，很多同学在解这类题时总是出错，因为所给出的时间可能超过了物体从初始状态到停止运动（速度减为零）的时间.这类题就可以总结出一个便捷的通用的解题方法出来，今后凡是遇到此类题目，根本不需要深入考虑，直接运用总结出来的这类题的通用解法，一气呵成.。
抽丝剥茧 层层递进——由一道高考题引发的思考
抽丝剥茧层层递进——由一道高考题引发的思考
杨文举
【期刊名称】《新高考（高一数学）》
【年(卷),期】2016(000)004
【总页数】3页(P27-29)
【作者】杨文举
【作者单位】江苏省淮安中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.由一道高考题引发的对证明数列不等式的思考 [J], 刘海涛
2.由一道运用近似处理方法的高考题引发的思考 [J], 周攀;陈继红;蔡钳;曹卫东
3.由一道高考题引发的思考 [J], 李海燕
4.由一道运用近似处理方法的高考题引发的思考 [J], 周攀;陈继红;蔡钳;曹卫东
5.由一道解析几何高考题引发的几点思考 [J], 谢承斌;徐正
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一道数学题的一题多变——深化价值引领,凸显数学思考
一道数学题的一题多变——深化价值引领,凸显数学思考白金强【摘要】一题多解强调多角度审视问题;一题多变则强调对原题的题干和结论的不断变化进行的深层次探索,两者的有机结合对培养学生的创造性思维和发散性思维有重要的作用.从一道题目的多种解法出发,通过不断改变习题的条件,进一步挖掘习题的思维价值,达到深化价值引领,凸显数学思考.【期刊名称】《中国数学教育（初中版）》【年(卷),期】2017(000)009【总页数】3页(P47-48,52)【关键词】价值引领;一题多解;一题多变【作者】白金强【作者单位】河北省高碑店市教师发展中心【正文语种】中文一题多解强调从多角度审视和分析问题，对开发解题潜能，提高解决综合问题的能力有很重要的作用.而一题多变则可以使学生克服思维定势的影响，不局限于某一方面的思考，多角度、多方位地创设问题、解决问题，它有利于培养学生的数学思维和创新意识.一题多变强调不能仅仅停留在对原习题的解法探索上，而应适当地、有机地对原习题的题干和结论进行深层次的探索，把解题方法迁移到新的情境中. 数学家波利亚认为，一个有责任心的教师与其穷于应付烦琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生挖掘题目的各个方面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力.前苏联数学教育家奥加涅相在《中学数学教学法》中也指出，必须重视很多习题潜存着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性……下面笔者以一道习题为例，探索如何从一题多解到一题多变，培养学生学会从多层次、广视角、全方位地认识、研究问题，以及创新意识和创新能力.原题：如图1，点O将线段DA平分，分别以OD，OA为边在线段DA的同侧作等边三角形OCD和等边三角形AOB，连接AC，DB，这两条线段交于点E，连接CB，求∠AEB.针对这道题笔者总结出了三种解题思路，即分别是应用三角形全等知识、四边形相关知识、圆相关知识，其中运用圆相关知识解答最简捷.一道数学题，由于思考的角度不同可以得到多种不同的解法，寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展观察、想象、探索及思维能力.而通过变化则可以进一步深化试题的价值引领，凸显数学思考，一题多变则是课堂教学应当予以关注的重要一点.首先从题目中的条件变化开始，思考特殊的条件，能不能不取特殊点呢？且看下面几种变化情形.如图2，点O为DA上任意一点（O不再是DA的中点），以OD，OA为边在DA同侧分别作等边三角形OCD和等边三角形AOB，连接AC，DB，这两条线段交于点E，连接CB，求∠AEB.解：因为△OCD和△OAB均为等边三角形，所以可证明△DOB≌△COA.所以∠DBO=∠CAO.所以∠AEB=∠BOA=∠COD=60°.如图3，O为DA中点，分别以OD，OA为腰在线段DA的同侧作等腰三角形OCD和等腰三角形AOB，∠DOC=∠AOB，连接AC，DB，这两条线段交于点E，连接CB，求∠AEB，∠COD和∠AOB之间的关系.解：（方法1）由OD=OC，OB=OA，∠DOC=∠AOB，可证△BOD≌△AOC.所以∠DBO=∠CAO.所以∠AEB=∠AOB=∠COD.（方法2）以点O为圆心作圆，运用圆内角和圆心角有关知识也能简捷求解.这时所求∠AEB为两个等腰三角形顶角度数和的一半.如图4，点O将线段DA平分，分别以OD，OA为腰在线段DA的同侧作等腰三角形OCD和等腰三角形AOB，连接AC，DB，这两条线段交于点E连接CB，求∠AEB，∠COD 和∠AOB之间的关系.解：以点O为圆心，OD为半径作圆，则利用圆内角和圆心角的定义可求出∠AEB=∠ACB+∠CBD=.这时所求∠AEB依然为两个等腰三角形顶角度数和的一半.如图5，点O为DA上任意一点，分别以OD，OA为腰在线段DA的同侧作等腰三角形OCD和等腰三角形AOB，∠DOC=∠AOB，连接AC，DB，这两条线段交于点E，连接CB，求∠AEB，∠COD和∠AOB之间的关系.解：由OD=OC，OB=OA，∠DOC=∠AOB，可证△BOD≌△AOC.所以∠DBO=∠CAO.所以∠AEB=∠AOB=∠COD.所求∠AEB依然为两个等腰三角形顶角度数和的一半.如图6，点O为DA上任意一点，满足△DOC∽△BOA，连接AC，DB，这两条线段交于点E，连接CB，求∠AEB，∠COD和∠AOB之间的关系.解：（方法1）由△DOC∽△BOA，可得，又因为∠COD=∠AOB，所以∠DOB=∠COA.所以△DOB∽△COA.所以∠ACO=∠ADE.而∠AEB= ∠ADE+ ∠DAC，∠COD= ∠DAC+∠ACO，所以∠AEB=∠COD=∠AOB.（方法2）由△DOC∽△BOA，可证点A，B，C，D共圆，继而很容易求解.这时所求∠AEB为两个相似三角形有公共顶点的角的度数和的一半.以上研究都是围绕线段DA和分点展开，如果将三角形落在线段DA边上的两条边，顶点不变分别向上旋转，结论是否还成立呢？1.等边三角形不变，OA，OB不再共线如图7，△AOD和△OBC为等边三角形，OA=OB，且OA，OB不在同一线段上，求∠BEC，∠DOA和∠BOC之间的关系.解：以点O为圆心，OA为半径作圆，运用圆的有关知识不难求出∠BEC.2.等腰三角形，OA，OB不再共线如图8，△AOD和△OBC为等腰三角形，OA=OD=OC=OB，且OA，OB不在同一线段上，求∠BEC.解：以点O为圆心，OA为半径作圆，同样运用圆的有关知识不难求出∠BEC.借助几何画板软件这个工具可以把“两个三角形在DA的同侧”这个条件通过旋转改变为不在同侧，符合前面条件的结论依然成立（有兴趣的读者可自行研究，限于篇幅，本文不再赘述）.笔者以为，一道好的数学题的价值不只是体现在有多少种方法能求解，哪种方法简捷上，如果只是单纯的、孤立的去解答它，那么再好的解法充其量只不过是解决了一个问题.数学解题的价值在于培养学生从特殊中寻找一般规律的能力，因为一般性往往蕴含在特殊性中，既要重视一题多解，更要关注一题多变，在变中发现问题、引发思考，在思考中深化价值引领.【相关文献】［1］杨振德.关注价值引领凸显数学思考［J］.基础教育课程，2015（24）：17.［2］任勇.任勇的中学数学教学主张［M］.北京：中国轻工业出版社，2012.［3］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.。
关于一习题错误的几点思考
关于一习题错误的几点思考
刘长茂;马桂梅;王玉文
【期刊名称】《齐鲁师范学院学报》
【年(卷),期】1995(000)006
【摘要】下例是普通物理教材中一典型习题,分析数届学生的作业,发现多数学生不能正确解题,某些错误具有相当的普遍性,有的学生将错误概念从中学带进大学,真可谓根深蒂固、习性难改,为此笔者曾与学生多次研讨,反映出的问题令人深思。
【总页数】4页(P29-32)
【作者】刘长茂;马桂梅;王玉文
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G634.7
【相关文献】
1.揭示错误本质提升资源价值——物理习题教学中错误资源的利用策略 [J], 周金中
2.习题课——学会解题的智能场——新课程理念下对数学习题课教学的几点思考[J], 邢成云
3.“错误”演绎精彩“生成”激活思维--一堂利用“错误资源”教学的习题课 [J], 王渭宁
4.小学数学习题编制研究——习题编制错误分析 [J], 吴盈盈
5.利用习题错误培养学生高阶思维 [J], 蒋震霞
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浅析学生解题错误提高课堂练习效率
浅析学生解题错误提高课堂练习效率作者：周剑波来源：《中学物理·初中》2015年第09期在解决物理习题过程中，学生由于受认知能力、理解能力等因素的影响，经常会产生一些错误.所谓“知己知彼，百战不殆”，如果教师想要减少错误的发生，那么对错误的分析是非常重要的.首先，教师可以通过分析错误发现自己教学上的不足，有针对性地改进自己的教学思路，寻求更有效的教学设计；其次，教师也可以通过分析错误来发现学生学习上的漏洞，及时弥补，逐步达到知错、改错、防错的教学效果.为此，笔者在对初中学生物理教学过程中，有意识地对学生的解题错误进行了分析，提出了些许解决方法.1初中学生解决物理习题错误的原因分析1.1概念理解不透物理基本概念是分析、推理、运算的依据，是正确解题的出发点.基本概念理解不透通常是解题发生错误的根本原因.例1现有完全相同的两个力，则这两个力A.一定是平衡力B.一定是相互作用力C.既不是平衡力也不是相互作用力D.无法确定学生在解题时往往不假思索地直接选择了A或B.其根本原因是对“两个力相同即表明力的三要素相同”和“平衡力及相互作用力的条件”两个基本概念不够理解.在教学过程中，教师应当及时利用判断题帮助学生对比分析，理清它们之间的关系.1.2公式选用不当部分学生对于物理定理往往只是机械地背诵，缺乏真正的理解和记忆，因而在具体运算或应用时常出现“张冠李戴”或“眉毛胡子一把抓”等各种错误现象.例2如图1所示，用100 N的力把重为10 N的边长为10 cm的正方体压在竖直墙壁上，则物体对墙壁的压强为Pa.学生有时会给出1000 Pa的错误答案，究其原因主要是认为压力大小等于重力大小，其实本题中压力应为100 N，而不等于重力大小10 N.在解题时学生没有真正明白压力大小等于重力大小的条件.因此，在教学中教师要关注学生得到公式的探究思考过程，重视对定理的理解，认识公式的适用条件和特征，对有关公式应进行对比分析；对于物理的定理也要注意多角度的分析，并尽可能对所学内容进行延伸、拓展.1.3思维定势影响学生在解题的过程中，通常是根据已有的经验进行分析推理，这种推理有时是值得肯定的，但有时却由于受到“思维定势”的影响，妨碍学生灵活应用相关知识解决实际问题.学生经常出现审题不清，在一定程度上也是受到了“定向思维”的影响.例3如图2所示的一辆小车从斜面上滑到水平面上，继续向前滑行.请做出小车的受力示意图.学生在作图时常出现两种情况：第一，只画出重力和支持力；第二，画出了重力和支持力的同时还画了牵引力和摩擦力.形成错误的原因主要是平时作图大都是物体处于平衡状态，学生在这里也习惯性地把小车当成了平衡状态.事实上本题中的小车处于非平衡态，小车除受到重力和支持力的同时，还受到一向后的摩擦力.可见学生解题时受到以前解决类似题目的影响，在脑子里形成了思维上的“惯性”，从而做出了错误的回答.对于这种情况，在教学过程，教师应注意及时设计一些变式练习，从而培养学生全面思考问题的能力和习惯.1.4逻辑推理错误逻辑推理错误是指由于违反逻辑规律而产生的计算、推理或论证上的错误.如循环论证、虚假条件等.例4有一体积为500 cm3的铁球，当全部浸没于水中时测得弹簧测力计的拉力为5 N，试求：（1）铁球所受重力；（2）铁球受到的浮力.（ρ铁=7.9×103 kg/m3，g=10 N/kg）部分学生在解题中给出了这样的答案：m=ρV=7.9×103×500×10-6 kg=3.95 kg，G= mg=3.95×10 N=39.5 N，F浮=G-F拉=39.5 N-5 N=34.5 N.答：（1）铁球所受重力为39.5 N；（2）铁球受到的浮力为34.5 N.对于这样的解答，如果教师利用正确解法的思路进行解释，学生一般还是无法发现自己的错误.因为逻辑性错误通常是学生无意识造成的，在教学中教师可以用一些简单的有相似逻辑思维的例子或者反问的方式帮助学生意识到自己的错误所在，并帮助学生养成正确的逻辑推理习惯.就如本题，教师可以尝试着询问学生“球的密度一定等于材料的密度吗？”、“什么时候相等？”、“本题中是否告诉你这个条件了吗？”等一系列问题帮学生理清自己的思路.1.5数学基础薄弱学生在物理解题过程中，很多时候要用到一些数学知识.如科学计数法、体积或面积的计算、方程的建立和解答以及公式的变形等.由于部分学生的数学基础薄弱，这些知识就成了他们解题的绊脚石.例如，当学完阿基米德原理公式后，学生无法自行通过公式变形得到ρ液或V排的计算方法.教师在教学中要认真对待这一现象，如有必要可以进行个别学生数学知识的辅导.1.6解题不认真除了以上种种原因外，学生解题马虎大意、不细心也常常会带来错误.例如，学生在解题时经常丢掉单位或看错数据等等.因此，教师在日常的教学中应注意培养学生细心、认真答题的习惯.2减少解题错误的对策教师在教学中必须认真对待学生的错误，找出错误的根本，应用科学的方法处理错误.教师应让学生养成及时整理错题、研究错题的习惯.笔者在教学过程中主要采用以下几种措施来减少学生解题错误.2.1总结经验，充分预设2.1.1留意学生常犯错误备课中，首先教师要分析学生学习该知识点时的心理过程以及以往学生解题时产生的错误，以便在讲解新课的过程中有意强调，做到防患于未然.例如，学生对于声音中音调和响度之间的区别较难把握，习题中错误率较高.教师可以在备课中有意识地准备一些词语帮助学生理解，如通常用“尖”、“刺耳”、“脆”等来形容音调.2.1.2准备一些“改错”习题教师在教学中如果一味平铺直叙，很可能导致学生对于某些定律和公式理解不到位.此时不妨设置一些“改错”习题.例5某导体两端的电压为6 V时，电流为0.6 A，当电流减为0.3 A时，其电阻为多大？以下是小明同学的解答过程：解：R=UI=6 V0.6 A=10 Ω，R′=0.3 A0.6 A×10 Ω=5 Ω.小明同学的解答的错误原因是.本题是学生在解题中常犯的思维错误，当以改错题的形式呈现后，可以有效提高学生对定律和公式的全面了解.所谓“旁观者清，当局者迷”，学生在知错改错的同时更有效地达到了防错的目的.2.1.3注重应用变式练习教师在编写学案的时候，应有目的布置一些变式练习.例6把体积相同的木块和铁块置于水中，木块浮在水面，铁块沉入水底，这时它们受到的浮力A.F木>F铁B.F木=F铁C.F木该题的突破点在体积相同，学生在练习之后极易形成定势思维.教师可及时附加一些变式练习.变式练习把质量相同的木块和铁块置于水中，木块浮在水面，铁块沉入水底，这时它们受到的浮力A.F木>F铁B.F木=F铁C.F木学生通过此题的巩固不仅可以进一步加深学生对概念的理解，同时也可有效防止思维定势的产生.2.2关注学生，有效生成（1）研究发现，小学生基本以形象思维为主，初中阶段是学生过渡到抽象思维的转变时期.教师在讲解物理知识时要充分意识到这一特征，帮助学生做好形象思维到抽象思维的良性过渡.在教学中教师可从以下两方面入手：①创设有效情境，加深学生理解.例如，在讲解“力的作用是相互”时可以让同桌学生在“一个推另一个”的具体情景中进行体会；②注重前后知识的衔接性.例如，酒精灯的操作学生在小学自然课时已有接触，可让学生操作后简单地指出不足.（2）教学中，教师对容易混淆的概念，应引导学生应用对比的方法，理清它们的区别和联系；对于容易出错的公式要做到“精讲精练”.教师应力争做到以下三点：①教师在课堂上特别关注学生的反应.教师可在得出一些重要知识点之后利用典型练习检测学生掌握情况，并根据情况及时调整教学活动；②教师教学应面向全体学生.教师在教学中应对不同层次的学生提问，从而发现各种错误，切忌为了保证预设的达成而只对优等生提问；③教师不能轻易放过学生产生的错误.在课堂上，学生的回答往往会出人意料，老师不要对学生的回答急于否定.即使是错误的回答，也是他们思维的结果.教师应不失时机地“寻根究底”、“追根溯源”，通过学生自我努力，把产生错误直接“扼杀在摇篮里”.2.3激活课堂，有效评析老师在讲评练习的过程中应以学生为本，不仅要注重方式的多样性，更应做到讲评的有效化.在教学中，教师应注重做到以下几点：（1）练习讲评活动应改变以往以老师讲解为中心的教学模式，在教学中应以学生评析为主.教师可以采取学生个人改错、小组讨论相结合的纠错模式.这样的纠错模式充分体现了以学生为本的新课程理念，不仅能解决学生个性差异的问题，而且学生在互相交流过程中可以使思维得到更深层次的发展.教师只需要在全班进行巡视，着重辅导个别困难较大的学生即可.（2）由于练习评析课对学生的思维量要求高，所以在评析的过程中应注意及时让学生得到放松.教师可以在学生讨论一段时间后适当留一些时间让学生进行放松活动.“浪费”的几分钟却可以极大地提高学生的课堂效率，真可谓评析课上的小法宝.2.4二次批改，重视反馈在评析课后，学生订正作业的错误也是一个知识的“再认识”过程，能提高学生的改错能力，巩固学生所学知识.学生订正的作业可以很好地反映出学生的纠错情况，此时再进行二次批改也显得尤为重要.教师在二次批改后可以有针对性地编制巩固练习，有效地加深了学生的记忆和理解.。
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一道错题引发的思考
宜昌金东方小学周攀波
在学习了一个多月后,我们进行了一次简单的独立作业。
检验的结果，
让我十分意外。
原题如下：
3、我能把与数字同样多的部分圈起来。
（12分）
3 6 9
5 4 7
按照对孩子的了解，在入学以后一个多月的时间里，每一个孩子都能正确的
数数。
对同样多的理解也应该没有问题。
可是我粗略的统计了学生的答案，105
班有16位孩子这题全错，106班有20位孩子答错。
看着试卷上的这些答案，我
陷入了沉思。
心里十分困惑和沮丧.百思不得其解为什么出错率如此之高?
为了找出错误的原因,我有意的把这道题念给身边的朋友听,让他们帮我分
析问题出在哪里?其中一位朋友说;’我拿到这道题,会不明白这题的意思.’我
愕然.继续追问她,题目的表达是不是有问题?她说:’是把哪个数字和图相对
应?”原来题目的表达也存在问题.可是我认为这不是造成学生出现大面积错误
的根本原因.如果题目改为,数学是几,就圈出几个,学生就不会出错了.
我再次把学生做错的答卷拿出来认真观察.看着看着,我知道问题出在哪里
了.原来,学生把5只小鸡和数字5圈在一起了.9个蘑菇与数字9圈在了一起.按
照学生的这种答案,确实是把数字与图形同样多的圈在了一起.为了验证的我想
法,我找来了出错的两位同学.问他们是怎么想的?他们告诉我,运用了一一对应
的思想,把同样多的数字与图形圈在了一起.
那么前段时间学习过的’一一对应”的思想在这道题中,对学生的理解造成
了知识的困扰.通过以上分析,我认识到:
错题,是学生知识和思维暴露问题的十分有价值的资源.在面对学生的错题时,教师要抱着平常心.不把把学生的意见完全丢弃不管,不去追求错误产生的原因.让它丢掉了真正的价值.对出错的孩子,不能抱怨和指责.要给学生充分的时间去分析错题的原因,并且要引导孩子正确对待错误,形成正面的差错观.让每一个孩子重视错题的价值,不要害怕自己出错,要在错误中反思,醒悟.提高.
针对普遍性的错误，教师要寻找原因,找到相应的解决办法.有针对性的设计集中讲评.比如,这道题还存在学生对题意的理解不清.把与数字同样多的部分圈起来,造成学生答题错误的还有一个重要原因,就是学生对”部分”和”整体”感知没有完全建立.当一个完整的图形出现时,学生没有认真去分析’与数字同样多的部分’那么在讲评时,也应该重点让学生体会部分与整体的关系.学生的审题与对题意的思考也应成为教师点拨,引导的方面.
艾宾浩斯的“遗忘曲线”告诉我们：在学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程不是均衡的，而是在记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐减慢了，到了相当长的时间后，几乎就不再遗忘了，这就是遗忘的发展规律。
根据这条遗忘曲线“先快后慢”的原则，学生学得的知识在一天后，如不抓紧复习，就只剩下原来的25%（艾宾浩斯的单词记忆实验的结论）。
可见，如果反馈评价不及时，随着学生对练习题内容和解题思路记忆的消减，寻求正确答案及分析错误原因的积极性也会大大下降，“遗忘规律”就起作用了，这显然不利于对错误的纠正和缺失知识的弥补。
因此，教师必须根据小学生的心理认知规律，排除负面心理因数的影响，及时调控自己的教学，指导学生的学习，这样就可以在一定的范围内减少错题的产生。
针对学生这道错题,我设计了有针对性的反馈练习.
３.看数字是几，就圈出同样多的图形．
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在上题的反馈练习中, 同样的题型,借用了同样的图形,给出了不同的数字.学生的第二次练习,没有一人出错.这次错题的处理比较成功.有效的纠正了学生的知识错误和提高了学生的反思能力.学生每遭遇一次错误，就增添一次打破和超越已有经验的机会。
经历错误并克服一次错误，学生的已有智慧结构就会呈现一种螺旋上升的状态，能促使学生对已完成的思维过程进行周密的反思。
经过系统的训练就可以形成习惯。
富兰克林有一句名言：垃圾是放错了地方的宝贝。
学生的每个错误都是宝贵的教学资源。
所以，我们教师要有珍视这些宝贝,追根求源,利用这些错误资源,着力学生的思维生长点,使学生在知识能力.数学思考,问题解决.情感态度等方面得到不断的进步与发展,让错题资源成为开启学生智慧的宝贝.。