数学物理方法期末考试答案

天津工业大学（2009—2010学年第一学期）

《数学物理方法》(A)试卷解答理学院)

特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。

一

填空题(每题3分,共10小题)

1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ；

三角形式为：)1sin 1(cos i e + .

2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 .

3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？).

4. 给出矢量场旋度的散度值，即=⨯∇⋅∇f ϖ

0 .

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5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属

于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 .

6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 .

7. δ函数的挑选性为 ⎰∞

∞-=-)()()(00t f d t f ττδτ.

8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和

初始条件 .

9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、

输运方程 和 稳定场方程 .

10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222

=Θ++Θ

-Θ-l l dx d x dx

d x .

二

计算题(每小题7分，共6小题)

1. 已知解析函数)(z f 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数(0)0(=f ).

解： y x u x +=2，x y u y +-=2，2=xx u ，2-=yy u . 0xx yy u u +=, (,)u x y 是调和函数. 2分 利用柯西-黎曼条件

x y u v =,x y v u =-, 即，x y v x -=2,y x v y +=2， 2分 于是，

⎰+++-=

)

,()2()2(y x C

dy y x dx x y v

⎰

⎰+++-+

++-=

)

0,()

0,0()

,()

0,()2()2()2()2(x y x x C dy y x dx x y dy y x dx x y

C x y xy +-+=2

222

2. 2分

所以，)2

1()(2i

z z f -=. 1分

2. 给出如图所示弦振动问题在0x 点处的衔接条件. 解：

),0(),0(00t x u t x u +=-, 2分

0sin sin )(21=--ααT T t F , 2分

又因为

),0(sin 011t x u tg x -=≈αα, ),0(sin 022t x u tg x +-=≈αα, 2分 所以，

)(),0(),0(00t F t x Tu t x Tu x x -=--+. 1分

3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.

解：三维输运方程为

02=∆-u a u t (1分)

分离时间变数t 和空间变数r ϖ

,以

)()(),(r v t T t r u ϖ

ϖ= (2分) 上式代入方程,得

v v

T

a T ∆='2 (1分)

令上式等于同一常数2k -, 2

2

k v v T

a T -=∆=' (2分) 则得骇姆霍兹方程为

02=+∆v k v (1分)

4. 在00=z 邻域把m z z f )1()(+=展开(m 不是整数).

解：先计算展开系数：

m z z f )1()(+=， m f 1)0(=；

)(1)1()(1z f z

m

z m z f m +=

+='-； m m f 1)0(='； 2)1)(1()(-+-=''m z m m z f m m m f 1)1()0(-=''； 5分

)()1()

1(2

z f z m m +-=

,

所以，m z )1(+在00=z 邻域上的泰勒级数为

+-++

=+21!

2)1(1!11)1(z m m z m z m m m m ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+-+

+=Λ2!2)1(!111z m m z m m . 2分

5. 计算⎰

=-22sin 21z z

zdz

.

解： 因为4

π

π±→n z (n 为整数，包括零)，有0)sin 21(2→-z ，因

此，40π

π±

=n z 是极点.但是，在2=z 圆内的极点只有4

π

±

.又由于

1分

4]sin 21)

4[(lim 2

4

π

π

π-=--

→z z z z ， 2分 4]sin 21)

4[(lim 2π

π

π-=-+

-→z z z z ， 2分

所以， i sf sf i z zdz z 2

22)]4

(Re )4([Re 2sin 21ππππ-=-+=-⎰=. 2分

6. 求拉氏变换][cos t L ω,ω为常数. 解: Θ )(2

1cos t i t

i e e t ωωω-+=

, s p e L st -=

1][ 2分 ∴ ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=-)(21][cos t i t i e e L t L ωωω

][2

1

][21t i t i e L e L ωω-+= 2分 ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++-=

ωωi p i p 1121 2分 2

2ω

+=p p

0Re >p 1分