从窑洞的冬暖夏凉谈起

从窑洞的冬暖夏凉谈起

——一种居室温度调节的节能前景

武际可 徐丹

（北京大学力学与工程科学系，100871）

摘要本文通过一个地表热传导模型的建立及求解，得出了地下温度变化与地表存在相位差并且振幅衰减，某个深度以下温度恒定为全年平均温度的结论。由此讨论了一种温度调节的设想，论证了可行性并与现有方案进行了比较。

关键词热传导，温度调节，供热

冬暖夏凉的窑洞

窑洞，是我国西北部黄土高原地区的传统民居建筑，广泛分布于陕北、山西、陇东、宁夏南部以及豫西等地。早在古代，我们的先民就有“凿穴为居”的习俗，至今居住人口仍达四千万以上。

生活在黄土高原的人们为什么选择窑洞这种居室形式呢？黄土的直立性为开凿窑洞提供了保证。黄土高原被众多的沟豁切割得支离破碎，在沟豁的岩面上开凿窑洞是十分方便的。对于在黄土高原塬面保存较好的平坦地区，人们就凿掘出方形或长方形平面的深坑，沿着坑壁开凿窑洞，称为地坑窑或天井窑。其间的生活被描述为“上山不见人，入村不见村，平地起炊烟，忽闻鸡犬声”。

除了上述因地制宜、能够和易于建造的优点外，窑洞的另一显著特点是保温隔热、冬暖夏凉，其温度和相对湿度的稳定性好，有益于人们的健康。住在窑洞里舒适，能延年益寿，难怪它深受人们的喜爱。

窑洞的冬暖夏凉，古人就已清楚。在明人陈继儒所著的《销夏部》中就有不少古人利用天然洞穴的凉爽以避暑的记载。其中有一则说：“巨鹿金乡山北有石洞口，清凉，深十余丈。内凿四小阁，阁外一堂，陛高三尺，堂外两门，门外两大阁。石道长三十丈，阔十有六尺。世传秦始皇避暑宫也。”说明在很的古时候，窑洞挖得已经有相当的规模，甚至有宫殿的形制，用作避暑。该书在摘录一篇宋朝人写的《石乳洞记》的末尾说：“洞之中，冬温而夏凉。”

为什么窑洞和天然洞穴里冬暖夏凉呢？从现代科学技术的角度看，是否可以利用这种现象呢？值得我们仔细分析一下。

窑洞里冬暖夏凉的原因

设为在时刻距地面深度为（向下为正方向）处的温度，因为从地表向地下传热是一个热传导过程，所以u 满足下面的一维热传导方程及边条件

(,)u t z t z 22,0,(0,)cos ,0u u t z t z u t t t κω⎧∂∂=≥⎪∂∂⎨⎪=>⎩0≥ (1)

其中ω为地表温度变化的圆频率。方程中系数k c

κρ=

，,,k c ρ分别为土壤的导热系数、密度和比热容。 本来，在边条件的提法中，用三角函数来近似代表地面温度变化，应当是

*(0,)cos u t A t ω=B + (2)

A 为地表温度变化的振幅，

B 为地面平均温度。由于热传导方程和它的边条件都是线性的，所以可以对上述边条件右边各项分别求解，然后将所得的解叠加。对应第二项平均温度项的解很容易得到，即在时间和空间上仍是常数。所以剩下的问题就是去按(1)式的边条件去求解。

(,)u z t 问题(1)具有如下封闭形式的解

(,)cos(),0,0z u z t e t z t z αωα−=−≥≥

(3)

其中，α==。 从而，满足实际边条件（2）的解为

*(,)cos()z u z t Ae t z B αωα−=−+。 (4)

好了，有了解（4），我们就可以来回答窑洞里为什么冬暖夏凉的问题了。

根据(4)式，地下温度变化与地表存在一个相位差z α，即地下温度的变化在时间上要落后于地面。从直观上理解，土壤的导热能力不强，因此地表温度的变化要经过一定的时间才能传到地面下很深的土壤。土壤层越深，这个落后的时间也越长。当地下某个深度相位差为π时，则正好和地面温度变化相反，地面温度达到最高（低）点时，地表却处于最低（高）点。

现在设地下是由接近于粘土的材料组成的，查得在时，，， [2]，将这些数据代入20C D 31457.0/kg m ρ=0.21/c kcal kg C °=⋅? 1.000/k kcal h m C =⋅⋅°?z απ=计算得

/z πα=== 考虑到日温度变化圆频率112/T ωπ=，124T h =，年温度变化圆频率222/T ωπ=，，

2365248760T h =×=h 代入可得，120.49,9.41z m z m ==，

上面两个数据表明，如果你置身于0.49m 的地下，那么你对昼夜温度的感觉会倒置；如果你置身于9.41m 的地下，你对夏冬的感觉会倒置。不过，从后面的计算可发现，9m 多深的地下温度波动已经非常小，与全年平均温度相差甚微。由于在冬天地表温度比平均温度为低，夏天地表温度比全年平均温度为高，在那里人的感觉仍是冬暖夏凉。窑洞正是利用了土壤导热的这一性质，它的上面一般都有较厚的覆盖层，在窑洞里的温度也接近于年平均温度，所以在窑洞里总是冬暖夏凉的。对这种现象的发现和利用，是我国古人经验和智慧的结晶，以上分析说明这种认识很符合科学道理的。

地下土壤的冬暖夏凉这一现象，对于研究地下动物和植物地下部分的生活条件，具有重要的意义。譬如，许多动物是在地下越冬的。特别是个体体积较小的动物，如昆虫和蛙类以及鼠类等小动物，它们的身体表面积相对大，到了冬天也容易损失热量，如不采取措施，体液就会结冰而死亡。这就是它们冬天蛰居于地下在那里过冬的道理。各种树木根部细胞的繁殖所以在天冷季节进行。根部的所谓形成组织的活动，在整个炎热的季节几乎停止，恰跟地面上树干的情形相反，我们也就容易理解了。

在[3]里，记载了列宁格勒州斯卢茨克地方地下温度的数据，在3m 深的地下，一年里最暖的时间的到来要比地面上迟76天，而最冷的时间的到来要迟108天。比照这个数据，我们来校核一下上面理论推导的结果：

在3z m =

时，0.334z α==，将此位相差换算成天数为天

58考虑到列宁格勒当地的土壤冻土层的厚度为3m 左右，我们又知道冻土的导热系数要小于粘土，因此我们的计算结果是合理的，说明我们的模型和所得到的解是正确的。

从(4)式中，我们还注意到地表以下温度振幅的变化为z A Ae α−′=，随着的增大，到z