二次函数与二次方程、二次不等式的关系

二次函数与二次方程、二次不等式的关系

一、知识要点

知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当y ≠0时，就是二次不等式。

知识点2、二次函数的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。研究二次函 数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根的问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。

知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示：

二、典型例题

例1、已知二次函数y=x 2－（m －3）x －m 的图象是抛物线，如图 （1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？

（2）当m 为何值时，方程x 2－（m －3）x －m=0的两个根均为负数？ （3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ， 求当PQ 最短时△MPQ 的面积．

变式训练：1、函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b a c a c b c b a ++

+++的值是________

2、已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．

3．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．

（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？

△=b 2﹣4ac

△＞0

△=0

△＜0

二次函数

y=ax2+bx+c(a ＞0)的图像 x

y O

x

y

O

x

y O

一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ＞0)的根 a

b x 22,1∆

±-=

a

b

x 2-=

无实数根

一元二次不等式 ax 2+bx+c ＞0(a ＞0)的解集

x ＜ 1x 或x ＞2x

（1x ＜2x ）

a

b

x 2-

≠ x 为全体实数

一元二次不等

ax2+bx+c ＜0(a ＞0)的解集

1x ＜x ＜2x

（1x ＜2x ）

无解

无解

D

Q 图图1x y O

A B

C C B A O y x D

Q 图2

x y

O

A B C

5．已知抛物线y=mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m≠0）与x 轴有两个不同的交点．

（1）求m 的取值范围；

（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上；

（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q 、P 三点，画出抛物线草图．

例2、(本题满分12分) 二次函数2

6(0)y ax bx a =++≠的图像交y 轴于C 点，交x 轴于A ，

B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 、点B 的横坐标是一元二次方程24120x x --=的两个根.

（1）求出点A 、点B 的坐标及该二次函数表达式.

（2）如图2，连接AC 、BC ，点Q 是线段OB 上一个动点（点Q 不与点O 、B 重合），过点

Q 作QD ∥AC 交于BC 点D ，设Q 点坐标（m ，0），当CDQ ∆面积S 最大时，求m 的值.

（3）如图3，线段MN 是直线y =x 上的动线段（点M 在点N 左侧），且2MN =M 点的横坐标为n ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线

交于点Q .以点P ，M ，Q ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n 的值；若不能，请说明理由．

变式训练：（2012•资阳）如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象， 由图象可知不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是（ ）

A ．1＜x ＜5

B ．x ＞5

C ．x ＜﹣1且x ＞5

D ．x ＜﹣1或x ＞5

例3、 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a . （1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系； （2）若a ∶b =2∶3，且1222x x -=，求a ，b 的值；

（3）在（2）的条件下，二次函数2

2

2y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A

在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.

变式训练：（2012甘肃兰州10分）设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB ＝|x 1－x 2|＝

2b 4ac

=

a

-。参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴的两个交点A (x 1，0)，B (x 2，0)，抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．

(1)当△ABC 为直角三角形时，求b 2－4ac 的值； (2)当△ABC 为等边三角形时，求b 2－4ac 的值．