1：合情推理与演绎推理

例8：分析下列推理是否正确，说明为什么？
大前提错误 (1)自然数是整数， 3是自然数， 3是整数. (2)整数是自然数， -3是整数， -3是自然数. (4)自然数是整数， －3是整数， －3是自然数. 推理形式错误
(3)自然数是整数，
-3是自然数， -3是整数. 小前提错误
例 9：“ 有 些 对 数 函 数 是 减 函 数（ 大 前 提 ）， 而
n
n B．x + n 1 x n 1 n n D．x + x
n
例2.已知数列{an}的第1项a1=1，且 an 1
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.
分别把n=2,3,4代入 an 1
1 1 a2 11 2
1 a3 1 3 1 2 1 2
1 1 3 a4 1 4 1 3
an 得: 1 an
1 由此猜想（归纳）这个数列的通项公式为： an n
观察可得：数列的前4项都等于相应项数的倒数。
例 3：如 图 所 示 将 若 干 个 点 摆 成 三 角 形 图 案 ， 每 条 边 （ 色 括 两 个 端 点 ） 有 n（ n＞ 1， n∈ N*） 个 点 ， 相 应 的 图 案 中 总 的 点 数 记 为 an， 则
三.合情推理
1. 概念 先根据已有的事实，经过观察、分析、比 较、联想; 再进行归纳、类比; 然后提出猜想的 推理.统称为合情推理.
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
2. 过程
从具体问 题出发 观察、分析 比较、联想 归纳 类比 提出 猜想
3.注意: 由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜 想,未必可靠.
2、步骤 (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象 的特征，从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想. 观察、比较 联想、类推 猜想新结论
3、一般模式: A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’, (a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） ’ 所以B类事物可能具有性质d .
例 5：在 平 面 几 何 中 ，已 知 三 角 形 ABC 的 面 积 为 S ， 周 长 为 L， 求 三 角 形 内 切 圆 半 径 时 ， 可 用 如 下 方 法 ， 设 圆 O 为 内 切 圆 圆 心 ， 则 S=
1 1 1 S O A B +S O B C +S O A C = r AB r BC r AC = 2 2 2 1 2S rL ∴ r= ，类 比 此 类 方 法 ， 已 知 三 棱 锥 的 L 2
y log3 x 是 对 数 函 数 （ 小 前 提 ） ， 所 以 y log3 x 是 减 函 数 （ 结 论 ） ． ” 上 面 推 理 的 错
误是（ ）
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错
① 3.下列几种推理形式是演绎推理的是 _____ . 例10.
T8 T12 数 列 {b n } 的 前 n 项 积 为 T n ， 则 T 4 ， ， ， T8 T4
成 等 比 数 列 ”；
③ 类 比 “实 数 的 乘 法 运 算 满 足 结 合 律 ”， 得 到 猜 想 “向 量 的 数 量 积 运 算 满 足 结 合 律 ”；
④ 类 比 “ 设 AB 为 圆 的 直 径 ，p 为 圆 上 任 意 一 点 直 线 PA ，PB 的 斜 率 存 在 ，则 k P A ．k P B 为 常 数 ” 得 到 猜 想 “ 设 AB 为 椭 圆 的 长 轴 ， p 为 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 直 线 PA ， PB 的 斜 率 存 在 ， 则 kPA． kPB 为 常 数 ”． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
4. 特点 由特殊到特殊的推理
类比推理的结论不一定成立
几何中常见的类比对象 平面图形（二维） 立体图形（三维） 线 面
点 线
圆
面积
平面直角坐标系
三角形
球
体积
空间直角坐标系
四面体 六面体
四边形
代数中常见的类比对象 向量 数
无限
不等 方程 交集，并集，补集
有限
相等 函数 不等式 且，或，非运算
例 4：下 列 类 比 推 理 的 结 论 正 确 的 是 （ ） ① 类 比 “平 面 内 ， 同 垂 直 于 一 直 线 的 两 直 线 相 互 平 行 ”， 得 到 猜 想 “空 间 中 ， 同 垂 直 于 一 直 线 的 两 直 线 相 互 平 行 ”； ② 类 比 “ 设 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n ， 则 S4 S 8 -S 4 ， S 1 2 -S 8 成 等 差 数 列 ” ， 得 到 猜 想 “ 设 等 比
作用 联系
证明数学结论， 建立数学体系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎 推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。
本节知识结构
推理
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
已知的判断
确定
新的判断
推理是人们思维活动的过程，是根据 一个或几个已知的判断来确定一个新的判 断的思维过程。
案例： 观察下列的等式, 你有什么猜想吗?
1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 2 1+3+5+7+9=25=5 …… 由此猜想:前n个连续的奇数的和 等于n的平方,即: 1+3+5+…+(2n-1)=n2
体 积 为 V ， 表 面 积 为 S， 各 棱 长 之 和 为 L， 则 内切球半径 r 为（ ）
2V A． S
2V B． L
3V C． S
3V D． L
例 6：某 同 学 在 一 次 研 究 性 学 习 中 发 现 ， 以 下 五个式子的值都等于同一个常数： ① sin 2 13° +cos 2 17° -sin13° cos17° ； ② sin 2 15° +cos 2 15° -sin15° cos15° ； ③ sin 2 18° +cos 2 12° -sin18° cos12° ④ sin 2 （ -18° ） +cos 2 48° -sin （ -18° ） cos48° ⑤ sin 2 （ -25° ） +cos 2 55° -sin （ -25° ） cos55° ． （ 1） 求 出 这 个 常 数 ； （ 2 ）根 据（ 1 ）的 计 算 结 果 ，请 你 写 出 一 个 三 角 恒 等 式 ，使 得 上 述 五 个 等 式 是 这 个 恒 等 式 的 特殊情况．
比较：
1、归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
合 情 推 理
2、类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
四、演绎推理
1、定义 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结 论，这种推理称为演绎推理． 如：人都会犯错误, 大前提 小前提 老王是人, 结论 所以老王也会犯错误. ２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括
⑴大前提---已知的一般原理；
⑵小前提---所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个 子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
M
S
例7：“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线 相等；③正方形是矩形”， 根据“三段论”推理形式，则作为大前提、小前 提、结论的分别为（ ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③
一、归纳推理
1.定义
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的 全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
2.特点
归纳推理的结论不一定成立
1 2 2 例 1： 已 知 x＞ 0， 由 不 等 式 x+ 2 ； x + 3； x x 3 3 x + 4 …可 以 推 广 为 （ ） x n A．x + n x n 1 n n 1 C．x + x
9 9 9 9 =_____ ... a 2 a3 a3 a 4 a 4 a5 a2013 a2014
二、类比推理
1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶 和蝗虫的牙齿,发明了锯．
2.人们仿照鱼类的外型和它们在
水中沉浮的原理,发明了潜水艇.
1.定义 由两类对象 具有 某些类似特征 ，在此 基础上，根据一类对象的某些已知特征 , 推出 另一类对象也具有这些特征 ，我们 把这种的推理称为类比推理.
由此归纳出数列an 的通项公式．
总结：合情推理与演绎推理的区别与联系
合情推理
归纳推理
演绎推理
一般到特殊
在大前提、小前提 和推理形式都正确 的前提下，得到的 结论一定正确。
类比推理 特殊到特殊
推理 形式
部分到整体 个别到一般
区 别
推理 结论
结论不一定正确，有待进一 步证明。 猜测和发现结论，探索和提供 证明思路
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①两条直线平行，同旁内角互补．如果A和B 是两条平行直线的同旁内角，则A＋B＝； ②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质； ③某校高三共有10个班， 1班有51人，班有 2 53人，班 3 有52人，由此推测高三各班都超过50人； 1 1 ④在数列an 中，a1＝1，an＝ (an－1＋ ) (n 2)， 2 an－1