多属性决策分析
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多属性决策分析
• /share/link?shareid=62 4212696&uk=51022091
• 例：某中东国家拟从美国购买一种机型 的喷气式战斗机若干架，美五角大楼的 官员提供了准予出售的4种机型的有关 信息。该中东国家派出专家组对4种飞 机进行了详细考察，考察结果见表，问 应选购哪一种飞机以使决策的总效用值 最大
A (c1...., cJ...., cn )
式中
cj
min i
U
j
(
xij
),
j
1, 2.....n?
• 折衷解（Compromise Solution）：距离 理想解最近或距离反理想解最远或以某 种方式将二者结合在一起的可行解被称 为折衷解。
属性指标的量化与转换
语言类属性指标的量化 在多属性决策问题中，方案的属性值通常有定量和定性 两种不同的表示形式。为了便于对属性值进行必要的数学处 理，普遍采用 MacCrimimon 提出的双向比例标尺（Bipolar Scaling）将定性指标转换为定量指标。其标尺形式:
• 有效解（Efficient Solution）：不被任何其它可行解所 支配的可行解被称为。这里，所谓支配应理解为在所 有属性上得到的结果都不比对方差，而且至少在一个 属性上得到的结果比对方好。
• 满意解（Satisfying Solution）在所有属性上都能满足 决策者要求的可行解披称为满意解。显然，满意解可 以不是有效解。
属性 最大速度 巡航半径 最大载荷 价格
机型
/340m. s1 /1.6Km
/0.45Kg / S 106
1
2.0
2
2.5
3
1.8
4
2.2
权值
0.2
1500 2700 2000 1800 0.1
20000 5.5
18000 6.5
21000 4.5
20000 5.0
0.1
0.1
可靠性
一般 低 高 一般 0.2
• 算术平均法。由于判断矩阵R中的每一 列都近似地反映了权值的分配精形，故 可采用全部列向量的算术平均值来估计 权向量。即
i
1 n
n j 1
rij
n
rkj
k 1
i 1, 2, n
• 几何平均法： 与算术平均法类似，几 何平均法是采用判断矩阵R中全部列向 量的几何平均值作为权向量的估什。即
n
1
• 第一类是基于决策者自身认识和经验的主观 比较法，适用于决策矩阵未知的情况；
• 第二类是基于属性值特征的客观分析法。适 用于决策矩阵已知的情况
• 这一方法要求决策者将属性两两之间作 成对的比较，给出每对同性的权重比
i i, j 1, 2,....n ，比值的确定方式参 j
• 见表
权重比 i j
xmin j
• 其中
xmax j
max
x1 j , x2 j ,....xmj
xmin j
min
x1 j , x2 j ...., xmj
属性权值的比较与分配
• 在多属性决策问题中，相对于决策者来说， 不同属性的重要程度往往是不一样的。因此 ，在进行多属性决策分析之前，应首先确定 每一属性的权值。常用的权值确定方法主要 有两类：
• 简而言之
• 从本质上来说，多属性是对事物的评价 选择问题：多目标决策是对方案的规划 设计问题。由多属性决策领域可自然延 伸到群决策领域；而从多目标决策空间 将会扩展到系统的优化与设计空间。
第一节 多属性决策的准备工作
多属性决策的准备工作包括：决策问题的描述、相关信息的采 集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选（或 称为筛选）。
R 3 1
3
2 1 3 1
分别用算术平均法，几何平均法，向量法，最小 二乘法求其权值
采用特征向量法，计算过程如下： 首先求得相应矩阵的特征值：
1 1 3 1 2
1 1 3 1 2
3 1
3
E
3
1
3 0，
2 1 3 1
2 1 3 1
解得最大特征根为： 3.053
C(R) 3.053 3 0.0265 0.1相容性好， 3 1
( rij ) n
j1
i
nn
1
( rkj ) n
k 1 j1
• 特征向量法
• 将权重向量右乘权重矩阵，则有：
1
1
2
rw
1
1 2 2 2
... ...
1
n 2 n
1 2
n
1 2
nw
m m
m
n
n
1 2
n
• 如果判断矩阵见是相容矩阵，由矩阵理 论可知，n是R的惟一非零的也是最大的 特征根，记为 ，而w是n所对应的特征 向量。如果判断矩阵正不完全具有相容 性，则上面的等式并不成立．但矩阵R 元素的微小变动则意味着根的微小变动 ．故可先求解R最大特怔根 ，即求解以 下用行列式形式表示的方程组的最大解 且；
• 由于判断矩阵R的相容性很难保证，故
一般情形下i rij。j 但可以根据最小二
乘法原理选择一组权值 1,2, n ，
使其误差的平方和最小。即
nn
min Z=
(rij j 0 i 1, 2, n
例题
• 已知判断矩阵R为：
1 1 3 1 2
A* Ak k (1, 2,
2.0536 1/ 3
3
2.0536
1/ 2 1
3
2
0
2
1/ 3 2.0536 3
(0.1570, 0.5936, 0.2493)T
基数型多属性决策方法
• 这一类方法要求决策者将属性值表示为 能反映实际情况的基数形式，通过规范 ，加权、合成、比较等技木求得决策的 最终结果。主要包括极大-极大型、极大 -极小型、赫威斯型和简单加权平均型4 种基本方法，以及折衷型和ELECTRE等 方法
A (c1....,cJ....,cn )
其中c
j
maxU i
j
( xij
),
j
1, 2.....n，这里的U
j (xij )表示
第i个方案在第j个属性上基于xij的效用函数值。
理想解的概念在多属性决策的理论和实践中都
有着重要的意义，关于多属性决策的折衷模型及
算法便是以它为基础建立起来的。
• 反理想解（Anti-ideal Solution）：由各 属性在现有方案中可能具有的最坏结果 组合而成的解被称为反理想解。一般来 说，反理想解也是不存在的。否则，它 必可作为劣解而被淘汰。其数学裹示式 为
可维修性
很高 一般 高 一般 0.3
• 准则是决策事物或现象有效性的某种度 量，是事物或现象评价的基础。它在实 际问题中有两种基本的表现形式．即属 性与目标
• 属性是伴随着决策事物或现象的某些特 点、性质或效能
• 每一种属性应该能提供某种测量其水平 高低的方法
• 目标是决策者对决策事物或现象的某种 追求
r11
r21
r12 r22
r1n r2n 0
rm1
rm2
rmn
将求出的最大特征根 带入其次线性方程组
(R max I )w 0
从而解出 对应的特征向量
如果判断w矩阵(R是1相,容矩2 ,阵，将特n )征T 向量 作归一化处理
后即可作为属性的权向量。
• 但一般来说，R未必是相容矩阵，为了 度量判断矩阵R的相容性，Saaty定义了 下面的不相容指标：
• 一个目标通常表明决策者在未来针对某 一事物或现象确定的努力方向。
• 多准则决策（Multiple Criteria Decision Making．简称 MCDM）的研究领域被 划分成多属性决策（Multiple Attribute Decision Making简称 MADM）和多目标 决策（Multiple Objective Decision简称 MODM ）两个主要部分。
C(R) man n
n 1
当 C(R) 0.1 时，认为判断矩阵R的相容性良好，可采用
特征向量W作为权向量，否则，需要对判断矩阵R重
新调整。由于特怔根对应的特怔向量一般不是惟一的，
为了确切起见，可采用归一化的特征向量作为权向量。
即
w
1
n
i
i 1
,
2
n
i
i 1
,
n
n
i 1
i
最小二乘法
一、决策矩阵 经过对决策问题的描述（包括设立多属性指标体系）、各
指标的数据采集，形成可以规范化分析的多属性决策矩阵。 个方设案有n个n个指决标策构指成标的f矩i（阵1≤j≤n），m个备选方案ai 1≤i≤m），m
X=(xij)m×n 称为决策矩阵。决策矩阵是规范性分析的基础。
决策指标分两类：效益型（正向）指标，数值越大越优； 成本型指标（逆向指标），数值越小越优。
r11
R
r21
r12 r22
1
... ...
r1n r2n
1
2
1
1 2 2 2
...
1
n
...
2
n
rm1
rm2
rmn
m
m
m
1 2
n
显然．在矩阵 R 中 rii 1， rij
1 rji
， rij
0 。如果决
策者对权重比的估计是一致的，则还应有 rij rik rkj 。R 被
1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒数
含义
属性 i 与属性 j 具有相等的重要程度 属性 i 比属性 j 略重要一些 属性 i 比属性 j 明显重要 属性 i 比属性 j 重要的多 属性 i 的重要性完全压倒属性 j 的重要性
介于以上比较之间 相反方向的比较值
• 依据上述比较结果可构造权重比炬阵
• 优先解（Preferred Solution）：最能满足决策者指定 条件的有效懈被称为优先解
• 理想解（Ideal Solution）：由各属性在现有方案中可 能具有的最好结果组合而成的解被称为理想解。
• 一般来说，理想解是不存在的。否则， 理想解必是最优解，决策分析便不复存
在。其数学表示式为
设有一组可能的方案 A1A2.....AM ，需要考察的属性记为 C1, ， 各属性的重要程度即权值用1,2....n 表示， j 0 ， j ，且符合 归一化条件 1 2 .... n 1。将决策后果即方案的属性值记为 xij , i 1, 2,.....m，j 1, 2,.....n。旨在找出其中的最优方案，记为 Amax 。
多属性决策与多目标决策
• 其共性在于：
1. 两者对事物好坏的判断准则都不是惟一的 ，且准则与准则之间常常会相互矛盾。
2. 不同的目标或属性通常有不同的量纲，因 而是不可比较的。
• 差别在于：
• 多属性的决策空间是离散的；多目标的 决策空间是连续的。多属性的选择范围 是有限的、已知的；多目标的选样范围 是无穷的、未知的。多属性的约束条件 隐含于准则之中。不直接起限制作用； 多目标的约束条件独立于准则之外，是 决策模型中不可缺少的组成部分
极大－极大型（maximax）
• 该方法只考虑每个方案中最好的属性值 ，然后选出好中之好者对应的方案作为 决策的结果，它反映了某些特定的决策 情形，譬如运动员的选拔问题在许多情 况下只关注运动员成绩最好的某个单项 技能而不在乎运动员在其它项目中的表 现和水准。为了体现这一思想，乐观型 决策的优先解由以下公式确定：
称为判断矩阵，而满足一致性要求的判断矩阵被称为相容矩 阵。 理论上，相容矩阵的任意一列都可以视为属性的权向量。但 实际上，由决策者给出的判断矩阵 R 很难满足一致性的要求。 为此．需采用某种特定方法在 R 的基础上对权向量进行估汁。 常用的估计方法有算术平均法，几何平均法、特征向量法和 最小二乘法 4 种
…. …. …. ….. …..
方 案 属 性 （ c1(1)
1
x11
2
x21
c 2(2) x12 x22
m
x m1
xm2
……
c n(n)
……
x1n
……
x2n
xmn
• 在多属性决策问题中，由于属性指标之间的相互矛盾 与制衡，因而不存在通常意义下的最优解。取而代之 的是有效解（也称非劣解）、满意解、优先解、理想 解、负理想解和折衷解，它们被分别定义如下：
rij
xij
m
xi2j
i 1
• 比例法。该方法对干不同类型的属性值 采用不同的转换方式。对于收益类属性 值，其转换公式为
rij
xij xmax
j
rij
xij
xmin j
xmax j
xmin j
• 而对于成本性属性值，其转换公式为：
rij
xmin j xij
rij
xmax j
xij
xmax j
最高很高 高
01
3
平
低
很最
均
7
低低
5
9 10
01
3
5
最低 很低
低
平
均
7
9 10
高
很高 最高
属性值的规范化处理
• 所谓属性值的规范化处理就是要消除量 纲的影响，并将所有数值的大小全部统 一到单位区间内，这样才有比较的基础 。
• 在多属性决策分析中，最常用的数据 规范化方法主要有以下两种。
• 向量法。该方法的数值转换公式为：
• /share/link?shareid=62 4212696&uk=51022091
• 例：某中东国家拟从美国购买一种机型 的喷气式战斗机若干架，美五角大楼的 官员提供了准予出售的4种机型的有关 信息。该中东国家派出专家组对4种飞 机进行了详细考察，考察结果见表，问 应选购哪一种飞机以使决策的总效用值 最大
A (c1...., cJ...., cn )
式中
cj
min i
U
j
(
xij
),
j
1, 2.....n?
• 折衷解（Compromise Solution）：距离 理想解最近或距离反理想解最远或以某 种方式将二者结合在一起的可行解被称 为折衷解。
属性指标的量化与转换
语言类属性指标的量化 在多属性决策问题中，方案的属性值通常有定量和定性 两种不同的表示形式。为了便于对属性值进行必要的数学处 理，普遍采用 MacCrimimon 提出的双向比例标尺（Bipolar Scaling）将定性指标转换为定量指标。其标尺形式:
• 有效解（Efficient Solution）：不被任何其它可行解所 支配的可行解被称为。这里，所谓支配应理解为在所 有属性上得到的结果都不比对方差，而且至少在一个 属性上得到的结果比对方好。
• 满意解（Satisfying Solution）在所有属性上都能满足 决策者要求的可行解披称为满意解。显然，满意解可 以不是有效解。
属性 最大速度 巡航半径 最大载荷 价格
机型
/340m. s1 /1.6Km
/0.45Kg / S 106
1
2.0
2
2.5
3
1.8
4
2.2
权值
0.2
1500 2700 2000 1800 0.1
20000 5.5
18000 6.5
21000 4.5
20000 5.0
0.1
0.1
可靠性
一般 低 高 一般 0.2
• 算术平均法。由于判断矩阵R中的每一 列都近似地反映了权值的分配精形，故 可采用全部列向量的算术平均值来估计 权向量。即
i
1 n
n j 1
rij
n
rkj
k 1
i 1, 2, n
• 几何平均法： 与算术平均法类似，几 何平均法是采用判断矩阵R中全部列向 量的几何平均值作为权向量的估什。即
n
1
• 第一类是基于决策者自身认识和经验的主观 比较法，适用于决策矩阵未知的情况；
• 第二类是基于属性值特征的客观分析法。适 用于决策矩阵已知的情况
• 这一方法要求决策者将属性两两之间作 成对的比较，给出每对同性的权重比
i i, j 1, 2,....n ，比值的确定方式参 j
• 见表
权重比 i j
xmin j
• 其中
xmax j
max
x1 j , x2 j ,....xmj
xmin j
min
x1 j , x2 j ...., xmj
属性权值的比较与分配
• 在多属性决策问题中，相对于决策者来说， 不同属性的重要程度往往是不一样的。因此 ，在进行多属性决策分析之前，应首先确定 每一属性的权值。常用的权值确定方法主要 有两类：
• 简而言之
• 从本质上来说，多属性是对事物的评价 选择问题：多目标决策是对方案的规划 设计问题。由多属性决策领域可自然延 伸到群决策领域；而从多目标决策空间 将会扩展到系统的优化与设计空间。
第一节 多属性决策的准备工作
多属性决策的准备工作包括：决策问题的描述、相关信息的采 集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选（或 称为筛选）。
R 3 1
3
2 1 3 1
分别用算术平均法，几何平均法，向量法，最小 二乘法求其权值
采用特征向量法，计算过程如下： 首先求得相应矩阵的特征值：
1 1 3 1 2
1 1 3 1 2
3 1
3
E
3
1
3 0，
2 1 3 1
2 1 3 1
解得最大特征根为： 3.053
C(R) 3.053 3 0.0265 0.1相容性好， 3 1
( rij ) n
j1
i
nn
1
( rkj ) n
k 1 j1
• 特征向量法
• 将权重向量右乘权重矩阵，则有：
1
1
2
rw
1
1 2 2 2
... ...
1
n 2 n
1 2
n
1 2
nw
m m
m
n
n
1 2
n
• 如果判断矩阵见是相容矩阵，由矩阵理 论可知，n是R的惟一非零的也是最大的 特征根，记为 ，而w是n所对应的特征 向量。如果判断矩阵正不完全具有相容 性，则上面的等式并不成立．但矩阵R 元素的微小变动则意味着根的微小变动 ．故可先求解R最大特怔根 ，即求解以 下用行列式形式表示的方程组的最大解 且；
• 由于判断矩阵R的相容性很难保证，故
一般情形下i rij。j 但可以根据最小二
乘法原理选择一组权值 1,2, n ，
使其误差的平方和最小。即
nn
min Z=
(rij j 0 i 1, 2, n
例题
• 已知判断矩阵R为：
1 1 3 1 2
A* Ak k (1, 2,
2.0536 1/ 3
3
2.0536
1/ 2 1
3
2
0
2
1/ 3 2.0536 3
(0.1570, 0.5936, 0.2493)T
基数型多属性决策方法
• 这一类方法要求决策者将属性值表示为 能反映实际情况的基数形式，通过规范 ，加权、合成、比较等技木求得决策的 最终结果。主要包括极大-极大型、极大 -极小型、赫威斯型和简单加权平均型4 种基本方法，以及折衷型和ELECTRE等 方法
A (c1....,cJ....,cn )
其中c
j
maxU i
j
( xij
),
j
1, 2.....n，这里的U
j (xij )表示
第i个方案在第j个属性上基于xij的效用函数值。
理想解的概念在多属性决策的理论和实践中都
有着重要的意义，关于多属性决策的折衷模型及
算法便是以它为基础建立起来的。
• 反理想解（Anti-ideal Solution）：由各 属性在现有方案中可能具有的最坏结果 组合而成的解被称为反理想解。一般来 说，反理想解也是不存在的。否则，它 必可作为劣解而被淘汰。其数学裹示式 为
可维修性
很高 一般 高 一般 0.3
• 准则是决策事物或现象有效性的某种度 量，是事物或现象评价的基础。它在实 际问题中有两种基本的表现形式．即属 性与目标
• 属性是伴随着决策事物或现象的某些特 点、性质或效能
• 每一种属性应该能提供某种测量其水平 高低的方法
• 目标是决策者对决策事物或现象的某种 追求
r11
r21
r12 r22
r1n r2n 0
rm1
rm2
rmn
将求出的最大特征根 带入其次线性方程组
(R max I )w 0
从而解出 对应的特征向量
如果判断w矩阵(R是1相,容矩2 ,阵，将特n )征T 向量 作归一化处理
后即可作为属性的权向量。
• 但一般来说，R未必是相容矩阵，为了 度量判断矩阵R的相容性，Saaty定义了 下面的不相容指标：
• 一个目标通常表明决策者在未来针对某 一事物或现象确定的努力方向。
• 多准则决策（Multiple Criteria Decision Making．简称 MCDM）的研究领域被 划分成多属性决策（Multiple Attribute Decision Making简称 MADM）和多目标 决策（Multiple Objective Decision简称 MODM ）两个主要部分。
C(R) man n
n 1
当 C(R) 0.1 时，认为判断矩阵R的相容性良好，可采用
特征向量W作为权向量，否则，需要对判断矩阵R重
新调整。由于特怔根对应的特怔向量一般不是惟一的，
为了确切起见，可采用归一化的特征向量作为权向量。
即
w
1
n
i
i 1
,
2
n
i
i 1
,
n
n
i 1
i
最小二乘法
一、决策矩阵 经过对决策问题的描述（包括设立多属性指标体系）、各
指标的数据采集，形成可以规范化分析的多属性决策矩阵。 个方设案有n个n个指决标策构指成标的f矩i（阵1≤j≤n），m个备选方案ai 1≤i≤m），m
X=(xij)m×n 称为决策矩阵。决策矩阵是规范性分析的基础。
决策指标分两类：效益型（正向）指标，数值越大越优； 成本型指标（逆向指标），数值越小越优。
r11
R
r21
r12 r22
1
... ...
r1n r2n
1
2
1
1 2 2 2
...
1
n
...
2
n
rm1
rm2
rmn
m
m
m
1 2
n
显然．在矩阵 R 中 rii 1， rij
1 rji
， rij
0 。如果决
策者对权重比的估计是一致的，则还应有 rij rik rkj 。R 被
1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒数
含义
属性 i 与属性 j 具有相等的重要程度 属性 i 比属性 j 略重要一些 属性 i 比属性 j 明显重要 属性 i 比属性 j 重要的多 属性 i 的重要性完全压倒属性 j 的重要性
介于以上比较之间 相反方向的比较值
• 依据上述比较结果可构造权重比炬阵
• 优先解（Preferred Solution）：最能满足决策者指定 条件的有效懈被称为优先解
• 理想解（Ideal Solution）：由各属性在现有方案中可 能具有的最好结果组合而成的解被称为理想解。
• 一般来说，理想解是不存在的。否则， 理想解必是最优解，决策分析便不复存
在。其数学表示式为
设有一组可能的方案 A1A2.....AM ，需要考察的属性记为 C1, ， 各属性的重要程度即权值用1,2....n 表示， j 0 ， j ，且符合 归一化条件 1 2 .... n 1。将决策后果即方案的属性值记为 xij , i 1, 2,.....m，j 1, 2,.....n。旨在找出其中的最优方案，记为 Amax 。
多属性决策与多目标决策
• 其共性在于：
1. 两者对事物好坏的判断准则都不是惟一的 ，且准则与准则之间常常会相互矛盾。
2. 不同的目标或属性通常有不同的量纲，因 而是不可比较的。
• 差别在于：
• 多属性的决策空间是离散的；多目标的 决策空间是连续的。多属性的选择范围 是有限的、已知的；多目标的选样范围 是无穷的、未知的。多属性的约束条件 隐含于准则之中。不直接起限制作用； 多目标的约束条件独立于准则之外，是 决策模型中不可缺少的组成部分
极大－极大型（maximax）
• 该方法只考虑每个方案中最好的属性值 ，然后选出好中之好者对应的方案作为 决策的结果，它反映了某些特定的决策 情形，譬如运动员的选拔问题在许多情 况下只关注运动员成绩最好的某个单项 技能而不在乎运动员在其它项目中的表 现和水准。为了体现这一思想，乐观型 决策的优先解由以下公式确定：
称为判断矩阵，而满足一致性要求的判断矩阵被称为相容矩 阵。 理论上，相容矩阵的任意一列都可以视为属性的权向量。但 实际上，由决策者给出的判断矩阵 R 很难满足一致性的要求。 为此．需采用某种特定方法在 R 的基础上对权向量进行估汁。 常用的估计方法有算术平均法，几何平均法、特征向量法和 最小二乘法 4 种
…. …. …. ….. …..
方 案 属 性 （ c1(1)
1
x11
2
x21
c 2(2) x12 x22
m
x m1
xm2
……
c n(n)
……
x1n
……
x2n
xmn
• 在多属性决策问题中，由于属性指标之间的相互矛盾 与制衡，因而不存在通常意义下的最优解。取而代之 的是有效解（也称非劣解）、满意解、优先解、理想 解、负理想解和折衷解，它们被分别定义如下：
rij
xij
m
xi2j
i 1
• 比例法。该方法对干不同类型的属性值 采用不同的转换方式。对于收益类属性 值，其转换公式为
rij
xij xmax
j
rij
xij
xmin j
xmax j
xmin j
• 而对于成本性属性值，其转换公式为：
rij
xmin j xij
rij
xmax j
xij
xmax j
最高很高 高
01
3
平
低
很最
均
7
低低
5
9 10
01
3
5
最低 很低
低
平
均
7
9 10
高
很高 最高
属性值的规范化处理
• 所谓属性值的规范化处理就是要消除量 纲的影响，并将所有数值的大小全部统 一到单位区间内，这样才有比较的基础 。
• 在多属性决策分析中，最常用的数据 规范化方法主要有以下两种。
• 向量法。该方法的数值转换公式为：