基本(均值不等式)不等式知识点-基础练习1

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不等是知识点

★知识梳理★

1.基本形式：a,b R ,则a 2 b 2 2ab ; a 0,b 0,则a b 2 ab ,当且仅当a b 时 等号成立.

2求最值：当ab 为定值时，a b,a 2 b 2有最小值；当a b 或a 2 b 2为定值时，ab 有最

等式 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 2. 难点：利用基本不等式xab a b 求最大值、最小值

2

3. 重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的 最值

二方法技巧讲解

(1)灵活运用基本不等式处理不等关系

1 1

问题1.已知正数x 、y 满足x+2y=1，求一+—的最小值.

x y

点拨：••• x 、y 为正数，且x+2y=1 ,

日

期:

2012- 时间： _______ 大值(a 0b 0). 3•拓展：若a 0,b

1.重点：理解基本不等式、Ob

a 2

b

等号成立条件，掌握用基本不等式证明不

2 1 a b

★

a b 时等号成立.

• 1 1 / c 、 / 1 1、

+ — = (x+2y )( + —) x y x y =3+ 2L+ x >3+2 2 , x y

当且仅当2y = x ，即当x= 2 — 1 , y=1 —

2

时等号成立 x y 2

••• 1 + 1的最小值为3+2、2 .

x y

(2)注意取等号的条件

1

2

1

1

2 ，由f (t) t 在0, 上单调递减，故当t= 时f (t) t 有最小 4 t

4 4 t

33

1 25

值，所以当x y

时z 有最小值 ■。

4 2

4

★热点考点题型探析★ 考点1利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型

1.当积ab 为定值时，求和a b 最小值

x

y

点拨：

错解1、因为对 a>0,恒

有

1 a - 2，从而z= (x 1

-)(y 1

-) 4,所以z 的最小值是4。

a

x

y

错解2、z

2 2

2 x y

2xy

2

(

一

xy) 2

2F

xy 2

2( . 2 1)，所以z

的最小值是

xy

xy

2( .2 1)。

错因分析：解- •等号成立的条件

是

x 1

且y 1

—，

即x

1且

y

1,与x y 1相矛盾。 解二等号成

x y

问题2.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x 丄)(y 丄)的最小值为 ________________

4相矛

盾。

立的条件是 — xy,即xy 2，与0 xy

xy

解析：z=(x b(y

x

1

)=xy

y

1 y x =xy

xy x y

1 xy

(x_y)2_2xy

xy 2 xy

xy 2，令 t=xy ，则

0 t xy (x 2y )2

例1 .已知x

2 8

0, y 0且满足1,求x y的最小值.

x y

例2.已知x>0 ,y>0，且3x+4y=12，求Igx+lgy的最大值及此时x、y的值.例3.若正数a, b满足ab=a+b+3，贝U ab的取值范围是_______

考点2利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式

例 4 已知a,b, c R,求证:a2 b2 c2 ab bc ca .

强化训练

1

1. 若X 1,则x = _______ 时,x ------- 有最小值，最小值为 ______ .

X 1

戸

1 1 2. .(2010华附)已知x, y 代，且x 4y 1,则一 一的最小值为

x y

3. 已知一动直线I 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线 I 的纵、横截距之和大1,求

这三角形面积的最小值.

3

5.设x>0,y>0且x 丰y,求证 x

2

，若f(x) 2x 0在(0, + )上恒成立，求a 的取值范围。

x

7.( 2010梅县)某厂生产某种产品的年固定成本为 250万元,每生产x 千件，需另投入成本为 C(x).当年

1 2

产量不足 80千件时，C(x)

x 2 10x (万元);当年产量不小于 80千件 3

“ 10000

时,C(x) 51x -------------- 1450(万元).每件商品售价为

0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全

x

部售完.

4.已知a , b 为正数，求证:

6.已知函数f (x)