决策理论一道习题

决策理论与方法

P85 12（1）(2)

晨光公司生产的圆珠笔芯成箱批发给商业部门，每500件装成一箱，每箱产品的次品率有三种，即10%，20%，30%，相应的概率分别是0.7,0.2,0.1.出厂前的检验方案有两种，一是整箱产品逐一检验，二是整箱不检验，但必须承担商家更换次品费用，一件次品更换费用平均为0.77元。

(1)该公司应该选择哪一种检验方案？

(2)如果整箱产品逐一检验前，允许从每箱中抽取十件产品进行检验，设X=“其中所含次品个数”。试进行抽样贝叶斯决策分析。

解：(1)先进行验前分析。

先验状态变量的概率矩阵为

P=（0.7,0.2,.01）T

由题设给出的条件，方案a1在各状态的收益值为

Q（a

1

，θj）=q1j=－0.1×500－0×θj=－50，j=1,2，3

方案a2在各状态的收益值为

Q（a

2

，θj）=q2j=－0.77×500θj=（38.5，77，115.5），j=1,2，3

于是，收益矩阵为

Q=（q

ij ）

2×3

=⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

－115.5

－77

－38.5

－50

－50

－50

相应的损失矩阵为

R=（r

ij ）

2×3

=⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

65.5

27

11.5

方案a 1，a 2，的期望损失值

E [R （a 1，θj ）]=∑3

j

r 1j P （θj ）=－11.5×0.7＋0×0.2＋0×0.1=8.05

E [R （a 2，）]=∑3

j

r 2j P （θj ）=0×0.7＋27×0.2＋65.5×0.1=11.95

因此，验前最满意行动方案a *=a 1，即整箱产品逐一检验。

(2)一箱产品中最多有次品500×30%=150件，

即所抽取的10件产品中所含次品数X =0，1，2，··· ，10

则条件概率P (X =i |θj )=i C 10

i

j θ()i

j --⨯101θ

P (X =i )=∑=3

1

j P (θj )P (X =i |θj )

后验概率P (θj |X =i )=P (θj )P (X =i |θj )/P (X =i )，j=1,2,3 方案a 1，a 2，的期望损失值

E θj |X =i [R （a 1，θj ）]=∑3

j

r 1j P (θj |X =i )

E θj |X =i [R （a 2，）]=∑3

j

r 2j P (θj |X =i )

当X =0时，有

同理得

又有P(X=i)=

()

∑3

j

j

Pθ10

500

10

500

)

1(

500

C

C

C i

i

j

j

-

⨯

-

⨯θ

θ

所以，验后最满意方案是a2的可能性P(a2)=0.0555+0.0929=0.1484，

验后最满意方案是a1的可能性P(a1)=0.8516。

即当抽取的十件产品中如果其中所含次品个数大于等于2就整箱产品逐一检验，如果其中所含次品个数小于2，就不再对这一箱产品进行检验。