力学第七章练习题

3解题示例
例题5—5 如图5—9所示。

弹簧的质量忽略不计，而倔强系数6.11=k 牛顿／米。

绳子质量忽略不计且不可伸长。

滑轮的半径=R 10厘米，绕其抽转动的转动惯量01.0=I 千克．2
米。

空气阻力不计，求质量1=m 千克的物体从静止开始(此时弹簧无伸长)落下1=h 米时的速度大小(h v )。

己知 m N k /6.11=，cm R 10= ，2
01.0m kg I ⋅=，
m h 1=，kg m 1=
求 h v
例题5一6 一均匀棒长4.0=l 米，质量1=M 千克，可绕通过其上端O 的水平轴转动，质量01.0=m 千克的弹片以速度200=v 米/秒射入棒中，射入处离O 点为0.3米（图5-11）。

求棒与弹片一起转动时的角速度ω，及转过的角度θ。

已知 l 、M 、m 、弹片射入处 求ω、θ
角动量与刚体转动练习题
一. 选择题
1. 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为 A 和 B 。

用 L 和 Ek 分别表示对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有
.,)(kB kA B A E E L L A >>.,)(kB kA B A E E L L B <=.
,)(kB kA B A E E L L C >=.,)(kB kA B A E E L L D <<
解：由角动量守恒 B A L L = 由机械能守恒， 因为势能 pB pA E E < .kB kA E E >∴
答案 ：(C)
2. 由一半径为 R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为 J ，开始时转台以匀角速度ωo 转动，此时有一质量为 m 的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为
图5—9
O
v 2
1
B
v
B
.)
(02ωmR J J A + .)()(02ωR m J J B + .)(02
ωmR
J
C .)(0ω
D 解：由角动量守恒 ωω)(02
0mR J J +=+
.02
ωωmR J J
+=
∴ 答案 ：(A)
3. 如图所示，一静止的均匀细棒，长为 L 、质量为 M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴 O 在水平面内转动，转动惯量为1/3 ML2. 一质量为 m 、速率为 v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿入棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为1/2 v , 则此时棒的角速度应为
.)
(ML mv A .23)(ML mv B .35)(ML mv C .47)(ML
mv D 解：由角动量守恒 ω23
1
21ML vl m mvl +⋅=
.23ML mv =∴ω 答案 ：(B )
4. 关于力矩有以下几种说法：
（1）对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量。

（2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。

（3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩作用下，它们的角速度一定相等。

在上述说法中，
（A ）只有（2）是正确的。

（B ）（1）、（2）是正确的。

（C ）（2）、（3）是正确的。

（D ）（1）、（2）、（3）是正确的。

答案 ：(B )
二. 填空题 1. 在光滑的水平面上，一根长 L=2 m 的绳子，一端固定于O 点，另一端系一质量 m=0.5kg 的物体。

开始时，物体位于位置A ， OA 间距离 d=0.5m ,绳子处于松弛状态。

现在使物体以初速度 vA=4 m.s-1 垂直于 OA 向右滑动，如图所示。

设以后的运动中物体到达位置 B, 此时物体速度的方向与绳垂直，则此时刻物体对O 点的角动量的大小 LB = 物体速度的大小 vB = ____1m/s _____ .
解：由角动量守恒 )..(15.045.0s m N d mv L L A A B =⨯⨯=== )/(12
5.01s m ml L v B B =⨯==
2. 一长为 L 的轻质细杆，两端分别固定质量为 m 和 2m 的小球，此系统在竖直平面内可绕过中点 O 且与杆垂直的水平光滑固定轴（ O 轴）转动。

开始时杆与水平成 60o 角，处于静止状态。

无初转速地释放以后，杆球这一刚体系统绕O 轴的
转动惯量 J = _____3/4mL2________.
m
合外力矩 M = ___1/2mgL__.角加速度β = ____.
3
2
L
g
_________ .
解：转动惯量.
4
3
)
2
(
)
2
(
22
2
2mL
L
m
L
m
J=
+
=
合外力矩.
2
1
)
2
(
)
2
(
2mgL
L
mg
L
mg
M=
-
=
由转动定律，角加速度.
3
2
4
3
2
1
2L
g
mL
mgL
J
M
=
=
=
β
3. 一圆柱体质量为 M, 半径为 R , 可绕固定的通过其中心轴线的光滑轴转动，原来处于静止。

现有一质量为 m 、速度为v的子弹，沿圆周切线方向射入圆柱体边缘。

子弹嵌入圆
柱体后的瞬间，圆柱体与子弹一起转动的角速度ω= _____.
)
2(
2
M
m
R
mv
+
_________.(已知圆柱体绕固定轴的转动惯量 J =1/2 MR2 ）
解：由角动量守恒,
)
2
1
(2
2ω
MR
mR
mvR+
=
.
)
2(
2
2
12
2M
m
R
mv
MR
mR
mRv
+
=
+
=
ω
4. 如图所示的匀质大圆盘，质量为 M ，对于过圆心 O
转轴的转动惯量为 1/2 MR2 . 如果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，
其质量为 m ，半径为 r , 且 2r = R .
则挖去小圆盘后剩余部分对于过 O 点且垂直于盘面的转轴的转动惯量
为 ______).
3
4(
2
1
2m
M
r
J-
=_______________ .
解：由平行轴定理，小圆盘对 O 轴的转动惯量为
2
2
2
2
3
2
1
mr
mr
mr
J
r
=
+
=
剩余部分对于过 O 轴的转动惯量
).
3
4(
2
1
2
3
2
1
2
2
2m
M
r
mr
MR
J-
=
-
=
5. 长为 L 、质量为 M 的匀质细杆可绕通过杆一端 O 的水平光滑固定轴转动，转动惯量为1/3 ML2，开始时杆竖直下垂，如图所示。

有一质量为 m 的子弹一水平速度 vo 射入杆上 A 点，并嵌在杆中，OA= 2/3 L, 则子弹射入后瞬间杆的角速度
ω=_____.
)
3
4(
6
l
M
m
mv
+
__________.
解：由角动量守恒[],
3
1
)
3
2
(
)
3
2
(2
2
ω
Ml
l
m
l
mv+
=
刚体力学练习题二
1．质量为m、半径为r的均质细圆环，去掉2／3，剩余部分圆环对过其中点，与环面垂直的轴的转动惯量为（）
A． mr2／3 B．2mr2／3
C． mr2 D．4mr2／3
2. 有A，B两个完全相同的定滑轮，边缘绕有轻绳，A的绳下端挂着一质量为m 的物体， B的绳下端施加一个向下的拉力F = mg ，今由静止开始使m 下落h ，同时F也拉着绳的下端向下移动了h，在这两个过程中相等的物理量是（）A．定滑轮的角加速度 B.定滑轮对转轴的转动动能
C．定滑轮的角速度 D．F和重力mg所作的功
3．有一几何形状规则的刚体，其质心用C表示，则（）
A. C一定在刚体上
B．C一定在刚体的几何中心
C．将刚体抛出后C的轨迹一定为一抛物线
D．将刚体抛出后C的轨迹不一定为抛物线
4．水平光滑圆盘的中央有一小孔，柔软轻绳的A端系一小球置于盘面上，绳的B端穿过小孔，现使小球在盘面上以匀角速度绕小孔作圆周运动的同时，向下拉绳的B端，则（）
A．小球绕小孔运动的动能不变
B．小球的动量不变
C．小球的总机械能不变
D．小球对通过盘心与盘面垂直的轴的角动量不变
5．质量为m、长为的均质细杆，可绕过其一端，与杆垂直的水平轴在竖直平面内转动。

开始杆静止于水平位置，释放后开始向下摆动，在杆摆过／2的过程中，重力矩对杆的冲量矩为（）
A． B．
C． D．
6．均质细杆可绕过其一端且与杆垂直的水平光滑轴在竖直平面内转动。

今使细杆静止在竖直位置，并给杆一个初速度，使杆在竖直面内绕轴向上转动，在这个过程中（）
A．杆的角速度减小，角加速度减小
B．杆的角速度减小，角加速度增大
C．杆的角速度增大，角加速度增大
D．杆的角速度增大，角加速度减小
7．一质量为m、半径为R的均质圆盘，绕过其中心的垂直于盘面的轴转动，由于阻力矩存在，角速度由减小到／2，则圆盘对该轴角动量的增量为（）
A． B． -
C. - D． -
8．均质细圆环、均质圆盘、均质实心球、均质薄球壳四个刚体的半径相等，质量相等，若以直径为轴，则转动惯量最大的是（）
A．圆环 B．圆盘
C．质心球 D．薄球壳
9．地球在太阳引力作用下沿椭圆轨道绕太阳运动，在运动的过程中（）
A．地球的动量和动能守恒
B．地球的动能和机械能（包括动能和引力势能）守恒
C．机械能和对于垂直于轨道平面且过太阳的轴的角动量守恒
D．角动量（同上）和动量守恒
10．一均质细杆可绕过其一端且与杆垂直的水平轴在竖直面内转动，开始时杆静止在水平位置，释放后杆转过了角，则杆的转动动能的增量等于（）．
A．重力矩的功的负值 B．重力矩的功
C．重力的冲量矩的负值 D．重力的冲量矩
刚体力学练习三
一、选择题
1．质量为m、半径为r的均质细圆环，去掉2／3，剩余部分圆环对过其中点，与环面垂直的轴的转动惯量为（）
A． mr2／3 B．2mr2／3
C． mr2 D．4mr2／3
2. 有A，B两个完全相同的定滑轮，边缘绕有轻绳，A的绳下端挂着一质量为m的物体， B 的绳下端施加一个向下的拉力F = mg ，今由静止开始使m 下落h ，同时F也拉着绳的下端向下移动了h，在这两个过程中相等的物理量是（）
A．定滑轮的角加速度 B．定滑轮对转轴的转动动能
C．定滑轮的角速度 D．F和重力mg所作的功
3．有一几何形状规则的刚体，其质心用C表示，则（）
A. C一定在刚体上
B．C一定在刚体的几何中心
C．将刚体抛出后C的轨迹一定为一抛物线
D．将刚体抛出后C的轨迹不一定为抛物线
4．水平光滑圆盘的中央有一小孔，柔软轻绳的A端系一小球置于盘面上，绳的B端穿过小孔，现使小球在盘面上以匀角速度绕小孔作圆周运动的同时，向下拉绳的B端，则（） A．小球绕小孔运动的动能不变
B．小球的动量不变
C．小球的总机械能不变
D．小球对通过盘心与盘面垂直的轴的角动量不变
5．质量为m、长为的均质细杆，可绕过其一端，与杆垂直的水平轴在竖直平面内转动。

开始杆静止于水平位置，释放后开始向下摆动，在杆摆过／2的过程中，重力矩对杆的冲量矩为（）
A． B．
C． D．
6．均质细杆可绕过其一端且与杆垂直的水平光滑轴在竖直平面内转动。

今使细杆静止在竖直位置，并给杆一个初速度，使杆在竖直面内绕轴向上转动，在这个过程中（）
A．杆的角速度减小，角加速度减小
B．杆的角速度减小，角加速度增大
C．杆的角速度增大，角加速度增大
D．杆的角速度增大，角加速度减小
7．一质量为m、半径为R的均质圆盘，绕过其中心的垂直于盘面的轴转动，由于阻力矩存在，角速度由减小到／2，则圆盘对该轴角动量的增量为（）
A． B． -
C. - D． -
8．均质细圆环、均质圆盘、均质实心球、均质薄球壳四个刚体的半径相等，质量相等，若以直径为轴，则转动惯量最大的是（）
A．圆环 B．圆盘
C．质心球 D．薄球壳
9．地球在太阳引力作用下沿椭圆轨道绕太阳运动，在运动的过程中（）
A．地球的动量和动能守恒
B．地球的动能和机械能（包括动能和引力势能）守恒
C．机械能和对于垂直于轨道平面且过太阳的轴的角动量守恒
D．角动量（同上）和动量守恒
10．一均质细杆可绕过其一端且与杆垂直的水平轴在竖直面内转动，开始时杆静止在水平位置，释放后杆转过了角，则杆的转动动能的增量等于（）．
A．重力矩的功的负值 B．重力矩的功
C．重力的冲量矩的负值 D．重力的冲量矩
二、填空题
1．均质圆盘对通过盘心，且与盘面垂直的轴的转动惯量为20 kg/m2。

则该圆盘对于过R/2
处，且与盘面垂直的轴的转动惯量为_______________________。

2．已知匀质细杆对过基一端与杆垂直的O轴的转动惯量为J0 ，若将此杆弯成一个等边三角形，O轴在三角形的一个角上，且与三角形所在的平面垂直，新的刚体对O轴的转动惯量为___________________。

3．半径为 30 cm的飞轮从静止开始以 0。

5 rad/s2的匀角加速度转动，在轮开始转动时轮缘上一点的切向加速度__________________，法向加速度 ____________________。

t = 2 s时轮缘上一点的总加速度 ______________________。

4．一飞轮以初角速度开始作匀角加速度转动，在第3秒末的角速度为108 rad/s2，在9钟内共转过了234 rad，则飞轮的初角速度为_________________，角加速度为________________。

5．一水平转台，绕竖直的固定轴转动，每10秒钟转一圈，转台对转轴的转动惯量为J＝1200 kg·m2，质量60 kg的人开始站在转台中心，随后沿半径向外跑，当人离轴2 m时，转台的角速度为________________。

6．质点系由A，B，C，D 4个质点组成，A的质量为m，位置坐标为（0，0，0），B的质量为2 m ，位置坐标为（1，0，0），C的质量为3 m，位置坐标为（0，l，0），D的质量4 m，位置坐标为（0，0，1），则质点系质心的坐标为 _____________，______________，__________。

7．一刚体在平面力系作用下保持平衡，在已建立的坐标系中，N，作用点的坐标为（2 m，3 m），N，作用点在（4 m， lｍ），的作用点在 x轴上，则＝__________________，__________________。

8．质量为100 kg、半径为lｍ的均质圆盘，可绕过圆盘中心、且与盘面垂直的水平固定轴转动，盘缘绕有细绳，绳下端挂有10 kg的物体，释放后圆盘的角加速度为______________________。

9．质量为１，可视为均质圆盘的水平圆台以角速度 l绕竖直轴转动。

一质量为 2的人沿在圆台边上与圆台一起转动。

当此人走到圆台中心时，圆台的角速度为_________________。

10. 转动惯量为20 kg·m2的飞轮在一阻力矩的作用下转速由 600转／分降为300转／分，在这个过程中M作的功为_________________，M的冲量矩为__________________。

三、计算题
1.一复摆由长为0．90 m，质量为5 kg的均质细杆和一个半径为0．10 m、质量为20 kg
的均质圆盘组成。

圆盘固定在细杆一端，且盘心在杆的延长线上。

求复摆对过杆另一端、且与盘垂直的轴的转动惯量。

2．一飞轮直径为0．30 m，质量为5．00 kg，可视为均质圆盘，轮缘绕有细绳。

现用恒力拉绳子的一端，使其由静定均匀的加速，经 0．50 s转速达 10 rad／s－1。

求：
（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；
（2）拉力及拉力所作的功；
（3）t＝10 s时飞轮的角速度及轮缘上一点的速度和加速度。

3．斜面倾角为，位于斜面顶端的卷扬机的鼓轮半径为r，转动惯量为J，受到的驱动力为M。

通过绳索牵动斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为，求重物沿斜面向上运动的加速度（绳索与斜面平行，绳的质量不计）。

4．长为、质量为m的均质细杆以一端为固定轴竖直下垂着，用锤头击打杆的下端，使杆得角速度，杆向上摆，摆至水平位置时，恰有＝0，求：
（1）大小和锤头给杆的冲量矩的大小；
（2）在杆获得的瞬时，杆的质心加速度多大；
（3）后打后的瞬时，杆的固定端受的力多大；
（4）杆摆至与水平成600角时，杆的角加速度多大。

9．长为、质量为m的均质细杆可绕过其一端与杆垂直的固定
水平轴在竖直面内转动。

使杆静止在水平位置，然后释放，当
杆转过角时，求：
（1）杆的角速度、角加速度；
（2）质心的切向加速度、法向加速度；
（3）在从的过程中重力矩所作的功。