力学竞赛辅导讲义4.8

力学竞赛辅导讲义——碰撞

一、内容要点精讲

1、碰撞的定义

两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触，速度发生突然改变的力学现象称为碰撞。

2、碰撞现象的基本特征

碰撞过程时间极短．碰撞物体在这一过程中的位移可略去不计，但速度可产生有限变化。碰撞时产生的碰撞力可能极大并发生急剧变化，难以测量。通常用碰撞力在碰撞过程中的冲量来度量碰撞的强弱，碰撞冲量为

式中，v和u分别是物体作为质点在碰撞开始瞬时和碰撞结束瞬时的速度。

3、研究碰撞问题的两点基本假设

(1)在碰撞过程中，普通力（非碰撞力）的冲量忽略不计；

(2)在碰撞过程中，物体的位移忽略不计。

4、碰撞过程的两个阶段

(1)变形阶段。从两个物体开始接触到两者接触点处沿公法线方向无相对速度为止，这时变形获得最大值。

(2)恢复阶段。从两个物体接触点处在公法线方向获得分离速度到两个物体脱离接触为止。在这阶段中物体的变形得到部分或全部恢复。

5、碰撞的分类

碰撞时两物体间的相互作用力，称为碰撞力。

（1）按物体的相处位置分类

对心碰撞与偏心碰撞：若碰撞力的作用线通过两物体的质心，称为对心碰撞，否则称为偏心碰撞。见下图(a),图(b)

正碰撞、斜碰撞：若两物体碰撞时各自质心的速度均沿着接触处的公法线，称为正碰撞；否则称为斜碰撞。下图中，AA 表示两物体在接触处的公切面，BB 为其在接触处的公法线

(2) 按其接触处有无摩擦，分为光滑碰撞与非光滑碰撞。

(3) 按物体碰撞后变形的恢复程度(或能量有无损失)，可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞与塑性碰撞。（1k =，完全弹性碰撞；0k =，非弹性碰撞或塑性碰撞；01k ,弹性碰撞）

6、恢复因数K

恢复因数K 表示物体在碰撞后速度的恢复程度，也表示物体变形恢复的程度，并反映出碰撞过程中机械能损失的程度。

（1）正碰撞k

式中和分别表示碰撞开始和碰撞结束时质心的速度。

（2）斜碰撞k

和分别是入射角和反射角

式中αβ

（3）两物体相互碰撞

式中分别为两物体的碰撞点在碰撞结束和碰撞开始时沿接触面法线方向的相对速度。

7、解决碰撞问题的基本定理

一般采用动量定理和动量矩定理的积分形式，来确定力的作用与运动变化的关系。

（1）用于碰撞过程的动量定理——冲量定理

上式用于碰撞过程的质点系动量定理，又称为冲量定理:质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢（公式中不计普通力的冲量）

或

式中和分别是碰撞开始和结束时质心的速度。上式称为碰撞时的质心冲量定理。

（2）用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理

或

上式用于碰撞过程的动量矩定理，又称为冲量矩定理:质点系在碰撞开始和结束时对任一点O （或轴z ）的动量矩的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点（或轴z ）的矢量和（或代数和）。

对于刚体统定轴z 转动的情形，上式可写为

式中o ωω和分别表示刚体在碰撞结束瞬时和开始瞬时的角速度，z J 是刚体对轴z 的转动惯量。

当外碰撞冲量对某点或某轴)的矩的矢量和(或代数和)等于零时，则质 点系对该点(或该轴)的动量短守恒。 （3）刚体平面运动的碰撞方程(用于刚体平面运动碰撞过程中的基本定理)

式中12ωω和分别为平面运动刚体碰撞前后的角速度。

8、撞击中心

如图所示，若刚体具有与转轴垂直的对称面，

欲使其在外碰撞冲量作用下，转轴处不产生碰撞冲

量，则外碰撞冲量I 必须作用在物体的对称平面

内，且垂直于质心C 与转轴的连线，I 的作用线到

转轴的距离为

则称点K称为撞击中心。

即：当外碰撞冲量作用于物体质量对称平面内的撞击中心，且垂直于轴承中心与质心的连线时，在轴承处不引起碰撞冲量。

二、知识结构图解

三、习题分类．解题步骤

1、习题分类

(1)含有对心碰撞或正碰撞的动力学问题。

(2)含有平面偏心碰撞或平面斜碰撞的动力学问题。

2、解题步骤和要点

(1)首先应明确运动过程可能出现的3个阶段．即碰撞前阶段、碰撞阶段和碰撞后阶段。根据题意，恰当选取各阶段的研究对象。对于碰撞前阶段和撞后阶段，应按照动力学的常规方法处理；而对于碰撞阶段，应根据碰撞的特征、假设和基本定理、恢复因数公式等进行特殊的分析和计算。

(2)撞前阶段。分析撞前阶段有关物体的受力情况和运动精况，按动力学常规方法计算物体碰撞开始瞬时的力学要素(如：物体的角速度，质心的速度，碰撞接触点的速度等)。

(3)碰撞阶段的力学分析。

(a)首先应明确是研究碰撞的哪一个阶段：变形阶段，恢复阶段，还是碰撞的全过程。

(b)对碰撞物体进行受力分析和运动分析。首先要分清平常力和碰撞力，并忽赂碰撞过程中物体的位移和平常力的冲量，还要分清内碰撞冲量和外碰撞冲量，只考虑外碰碰撞冲量。

(c)把有关力学要索(如：碰撞冲量，物体的角速度及其质心速度和碰撞接触处的的速度等)画在研究对象上，最好能分别画出碰撞开始和结束两瞬时的力学要素图。

(4)建立碰撞阶段的力学方程。

四、重点与难点

1．重点

(1)碰撞现象的特点。

(2)恢复因数的物理意义和计算。

(3)碰撞阶段的基本定理及其应用。

(4)撞击中心。

2．难点

(1)正确划分包含碰撞的动力学问题的不同阶段，一般可能出现撞前阶段，碰撞阶段和撞后阶段。

(2)刚体平面运动的碰攫方程及其应用。

典型例题举例

例1：恢复系数测定法：质量分别为m和mz的小球用等长的绳子挂起来，将其中一球拉过偏角α，然后无初速度地释放，它撞击另一球，使它产生的最大偏角为β，设α与β已由实验测出，求恢复因数k。