周培源力学竞赛辅导
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Gr sin 2 Mm Gr sin 2cos
FS 1
FN 2
FN 1
静力学知识点四：摩擦问题（摩擦角、滚阻力偶、多处摩擦） 例:1996年第三届第3(1)题（5分）
半径为r重为W的均质圆柱体置 于半径为R的圆槽底部，接触间 的摩擦系数为f。在圆柱体边缘 缠绕一不计重量的柔绳，端部悬 挂重量为P的物体，则平衡时圆 柱体的中心可以升高，OC连线 的最大偏角θ可以达到多少？
B
O
各加速度交点为 C**
注2： = 0, 0 各加速度垂线交点为 C**
A
ω
运动学知识点一：基本知识点和加速度瞬心确定 7、加速度瞬心的确定：
n a A a a AC** AC**
A
C **
aA
B
注3：一般情况
aB
运动学知识点一：基本知识点和加速度瞬心确定 边长为L的正方形板在自身平面内 运动，知某瞬时顶点A、B的加速 度aA=aB=a，方向如图。则该瞬时 正方形板的角速度及角加速度为多 少？形心C的加速度aC为多少？
n aB aA aBA aBA
A
aA
C
a
n BA
aB
B
向BC方向投影：
0 0 2 a c o s4 5 a c o s4 5 A B B A
a BA
a L
运动学知识点一：基本知识点和加速度瞬心确定
n aB aA aBA aBA
向垂直于BC的方向投影：
考虑临界平衡： FS fFN 主动力：W//P
FS
W
FN
全反力FR
m arctan f
FR
周培源力学竞赛辅导
—运动学基本知识点
运动学知识点一：基本知识点和加速度瞬心确定
2 dv v 1、点的运动： a an dt 2、瞬时平移： 0 各点速度相同
d dS 1
M
FB
A
0
MA 0
静力学知识点一：二力构件、三力汇交、力偶平衡 例:1992年第二届第2(3)题(3分) 已知AB杆重P。 则杆此时稳定平衡? 三力汇交 1、受力分析 2、稳定性判断：
势能二阶导数的
正负！
D
零势能面
h
任意时刻势能： V mg ED mg EO DO
AB 筒
动系选套筒
AB 筒
A
注2： 动点动系选择
注3： vC沿AB方向，杆上其它点的vr （相对于套筒）均沿杆AB（或 沿套筒）
C
B
O
运动学知识点一：基本知识点和加速度瞬心确定 7、加速度瞬心的确定：
n a A a a AC** AC**
n aBO
注 1：
0, =0
n e
aB
0 aA cos600 a cos 30 a DA e aC
a DA
向aC方向投影：
a
n e
a 2 e 65 rad s 2 O1 D
1 0 rad s 2 7.5 rad s
n e
aen
vr 2l
v aea v e
大小：
方向：
aa a ar aC
大小： l 2
vr
aC
vr
vr
方向：
ar aa aen aC 矢量和
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 例:1996年第三届第1(2)题（3分） 是非题： 牵连运动为定轴转动时，不一定有科氏加速度。 正确
1 0 rad s
1
ve vD cos 0.25 3 m s
ve 2 O1 D
2
7.5 rad s
加速度关系： 以A为基点: 大小： 方向：
向铅垂方向投影：
0 0 aA -a cos 30 BA
aB aA aBA
l V mg sin h tan 2 2h cos 3 0 l
1 l V mg cos h 0 2 cos 2 0 V 2
l 2cos sin mg sin h 4 cos 2
A
aB cos450 aA cos450 a BA
a 逆 L
n aC aA aCA aCA
n aCA aCA a
aA
C
a
n BA
aB
B
C为加速度瞬心
a BA
aC 0
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 例:1988年第一届第3题 曲柄OA长5cm，匀角速度 ω=10rad/s，AD=20cm。B为AD 中心。此时位置，OA竖直，则摇 杆O1C的角速度和角加速度以及 滑块D的速度和加速度？ 思路1：
FN 1 FN 2 G 1 2 2 1 cos sin G 1 2 2 1 cos sin
FS 2
G
FS 1
Gr sin 2 m G Mm 2 1 cos 2cos
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—静力学基本知识点
静力学知识点一：二力构件、三力汇交、力偶平衡 例:88年第一届第1题(10分) 已知M、a、b，求FO4H/F05H 力偶平衡
三力汇交
汇交力系 二力构件
静力学知识点一：二力构件、三力汇交、力偶平衡 例:2004年第五届第2题(5分) 已知F沿CD方向。求MA. 1、三角板三力汇交 2、AB杆平衡：
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 例:1996年第三届第2(2)题（5分） 三角形楔块B置于楔块A的斜面上，若A块以vA=3m/s的速度向 左运动，α=300，则B块速度vB为多少？
a BA
a 0.05 100 BA 1 AB 0.1 3 / 2 100 rad s 2 3
aB aA
1 0 rad s 2 7.5 rad s
加速度关系： 以A为基点: 大小： 方向：
aD aA aDA ae a ar aC
O C vDe vD
1
思路2： O C
1
aDe aD ?
O1 D 10 3cm
aD AC aB aA
速度关系： 图示瞬时，杆ABD瞬时平 移：
以AD上D为动点，以O1C为动系：
v A //vB 0.5 m s
vD ve vr
大小： 方向：
FR MO
bca 0
静力学知识点三：投影、力矩、平衡方程 例:1992年第二届第2(4)题（3分）
六棱四面体受空间任意力系作用而平衡，则该力系分别对其六 个棱边之主矩为零必是六个独立的平衡方程。 （正确）
六矩式限制条件： 六个轴不全平行，或不相交于同一点。
静力学知识点三：投影、力矩、平衡方程 例:1996年第三届第1(1)题（3分）
半径为R的刚体（圆板）受到两 根无质量刚性杆的约束，F1水平， F2铅垂。若系统平衡，则F1与F2 的大小关系为？
M
O
0
3 F1 R F2 R 2
30 0
静力学知识点四：摩擦问题（摩擦角、滚阻力偶、多处摩擦） 例:1988年第一届第2题
V形槽中放置一半径为r的均质 圆柱体，槽边与水平角为α，接 触处的摩擦因数μ=tanφm，圆柱 重G。设转动圆柱所需的最小力 偶矩为Mm，则当φm< α时，Mm 的值？当φm≥α时，Mm的值？
3、点的复合运动： 动点动系选取原则及常规方法。
4、圆轮纯滚条件：
vO r
aO r
（注意曲线纯滚 ）
5、基点法求加速度： 有时可以直接计算。 未知量多时，可以拐弯思考，即： 先求中间量，再奔目的； 或不同角度计算，但结果相同。
运动学知识点一：基本知识点和加速度瞬心确定 6、套筒类问题： 注 1：
FS 2
G
FS 1
Fx 0
y O
考虑临界情况：
结果讨论！
FN 2
FN 1
F 0 M 0
静力学知识点四：摩擦问题（摩擦角、滚阻力偶、多处摩擦）
FS 2 cos FS 1 cos FN 1 sin FN 2 sin 0 FS 1 sin FS 2 sin FN 1 cos FN 2 cos G 0 FS 1 FN 1 , FS 2 FN 2 FS 1 r FS 2 r M 0
va ve v r
大小：
方向：
aen
va 0
aa
n e
ar
vr
va ve
aa a ar aC
大小：
方向：
n aa ae l 2
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 动点： DC上C点 动系： O1A杆
va ve v r
FN 2
FN 1
静力学知识点四：摩擦问题（摩擦角、滚阻力偶、多处摩擦）
FN 2
tan m G 1 1 2 tan 2 1 cos
0 0 0
m m m
不可能！
FS 2
G
m：
E D
h
2h sin l mg sin cos 3 2 2h l mg sin 3 2 cos 0
不稳定平衡！
补充：矩为M =10kN.m的力偶作用在图示结构上。若 a =1m，不 计各杆自重，则支座D 的约束力 FND = _________，图示方向。
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 动点： DC上C点 动系： O1A杆
va ve v r
aen
aa v e va
大小：
方向：
n e
vr ?
aa a ar aC
大小：
方向：
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 动点： DC上C点 动系： AB杆
根据已知力偶方向找力矩 为零的点。
静力学知识点二：力系简化（力的平移定理及力偶） 例:2004年第五届第4题（10分）
沿长方体的不相交且不平行的棱边 作用三个大小相等的力，则边长a、 b、c满足什么条件时，该力系才能 简化为一个力。
解：向O点简化： 主矢：F
R
F i +j k
主矩：MO Fb Fc i Faj
aC
ae
aD 764 cm s2
ar
aA
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 例:1992年第二届第3题（20分） 已知O1A=O2B=O1O2/2=AB/2=l， 以O1A为动系，图示位置，AB水 平，C在AB中点，试分析此瞬时 套筒上销钉C的运动。 依照题目要求： 动点： DC上C点 动系： O1A杆 绝对运动：竖直直线运动 牵连运动：定轴转动运动 相对运动：未知
一空间力系，若各力作用线与某一固定直线相平行，则其独立 的平衡方程只有5个。 （错）
静力学知识点三：投影、力矩、平衡方程 例:1996年第三届第2(1)题（5分）
已知一正方体，各边长为a， 沿对角线BH作用一个力F，则 该力在x1轴上的投影为多少？
x1 BH
静力学知识点三：投影、力矩、平衡方程 例:2004年第五届第1题（5分）
1、所加力的大小为多少？
2、在图中画出该力的示意图。
静力学知识点二：力系简化（力的平移定理及力偶） 例:2000年第四届第1题（10分） 主矢：FR 主矩：
Fi Fj Fk
M O M j k Fak Faj 0
必须加一个力为：
FR F i j k
Байду номын сангаас
静力学知识点二：力系简化（力的平移定理及力偶） 例:92年第二届第2(2)题（3分）
一个非平衡的空间力系总可以简化为一个合力或者两 个不相交的力。 （正确）
1、力； 2、力偶； （两个不相交的力）
3、力螺旋；
静力学知识点二：力系简化（力的平移定理及力偶） 例:2000年第四届第1题（10分）
立方体的边长为a，作用有力系如 图。其中三个力的大小均为F，两 个力偶的矩均为M=Fa。欲使该立 方体平衡，只需在某处加一个力即 可，则在Oxyz坐标系中：
FS 1
FN 2
FN 1
静力学知识点四：摩擦问题（摩擦角、滚阻力偶、多处摩擦） 例:1996年第三届第3(1)题（5分）
半径为r重为W的均质圆柱体置 于半径为R的圆槽底部，接触间 的摩擦系数为f。在圆柱体边缘 缠绕一不计重量的柔绳，端部悬 挂重量为P的物体，则平衡时圆 柱体的中心可以升高，OC连线 的最大偏角θ可以达到多少？
B
O
各加速度交点为 C**
注2： = 0, 0 各加速度垂线交点为 C**
A
ω
运动学知识点一：基本知识点和加速度瞬心确定 7、加速度瞬心的确定：
n a A a a AC** AC**
A
C **
aA
B
注3：一般情况
aB
运动学知识点一：基本知识点和加速度瞬心确定 边长为L的正方形板在自身平面内 运动，知某瞬时顶点A、B的加速 度aA=aB=a，方向如图。则该瞬时 正方形板的角速度及角加速度为多 少？形心C的加速度aC为多少？
n aB aA aBA aBA
A
aA
C
a
n BA
aB
B
向BC方向投影：
0 0 2 a c o s4 5 a c o s4 5 A B B A
a BA
a L
运动学知识点一：基本知识点和加速度瞬心确定
n aB aA aBA aBA
向垂直于BC的方向投影：
考虑临界平衡： FS fFN 主动力：W//P
FS
W
FN
全反力FR
m arctan f
FR
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—运动学基本知识点
运动学知识点一：基本知识点和加速度瞬心确定
2 dv v 1、点的运动： a an dt 2、瞬时平移： 0 各点速度相同
d dS 1
M
FB
A
0
MA 0
静力学知识点一：二力构件、三力汇交、力偶平衡 例:1992年第二届第2(3)题(3分) 已知AB杆重P。 则杆此时稳定平衡? 三力汇交 1、受力分析 2、稳定性判断：
势能二阶导数的
正负！
D
零势能面
h
任意时刻势能： V mg ED mg EO DO
AB 筒
动系选套筒
AB 筒
A
注2： 动点动系选择
注3： vC沿AB方向，杆上其它点的vr （相对于套筒）均沿杆AB（或 沿套筒）
C
B
O
运动学知识点一：基本知识点和加速度瞬心确定 7、加速度瞬心的确定：
n a A a a AC** AC**
n aBO
注 1：
0, =0
n e
aB
0 aA cos600 a cos 30 a DA e aC
a DA
向aC方向投影：
a
n e
a 2 e 65 rad s 2 O1 D
1 0 rad s 2 7.5 rad s
n e
aen
vr 2l
v aea v e
大小：
方向：
aa a ar aC
大小： l 2
vr
aC
vr
vr
方向：
ar aa aen aC 矢量和
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 例:1996年第三届第1(2)题（3分） 是非题： 牵连运动为定轴转动时，不一定有科氏加速度。 正确
1 0 rad s
1
ve vD cos 0.25 3 m s
ve 2 O1 D
2
7.5 rad s
加速度关系： 以A为基点: 大小： 方向：
向铅垂方向投影：
0 0 aA -a cos 30 BA
aB aA aBA
l V mg sin h tan 2 2h cos 3 0 l
1 l V mg cos h 0 2 cos 2 0 V 2
l 2cos sin mg sin h 4 cos 2
A
aB cos450 aA cos450 a BA
a 逆 L
n aC aA aCA aCA
n aCA aCA a
aA
C
a
n BA
aB
B
C为加速度瞬心
a BA
aC 0
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 例:1988年第一届第3题 曲柄OA长5cm，匀角速度 ω=10rad/s，AD=20cm。B为AD 中心。此时位置，OA竖直，则摇 杆O1C的角速度和角加速度以及 滑块D的速度和加速度？ 思路1：
FN 1 FN 2 G 1 2 2 1 cos sin G 1 2 2 1 cos sin
FS 2
G
FS 1
Gr sin 2 m G Mm 2 1 cos 2cos
周培源力学竞赛辅导
—静力学基本知识点
静力学知识点一：二力构件、三力汇交、力偶平衡 例:88年第一届第1题(10分) 已知M、a、b，求FO4H/F05H 力偶平衡
三力汇交
汇交力系 二力构件
静力学知识点一：二力构件、三力汇交、力偶平衡 例:2004年第五届第2题(5分) 已知F沿CD方向。求MA. 1、三角板三力汇交 2、AB杆平衡：
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 例:1996年第三届第2(2)题（5分） 三角形楔块B置于楔块A的斜面上，若A块以vA=3m/s的速度向 左运动，α=300，则B块速度vB为多少？
a BA
a 0.05 100 BA 1 AB 0.1 3 / 2 100 rad s 2 3
aB aA
1 0 rad s 2 7.5 rad s
加速度关系： 以A为基点: 大小： 方向：
aD aA aDA ae a ar aC
O C vDe vD
1
思路2： O C
1
aDe aD ?
O1 D 10 3cm
aD AC aB aA
速度关系： 图示瞬时，杆ABD瞬时平 移：
以AD上D为动点，以O1C为动系：
v A //vB 0.5 m s
vD ve vr
大小： 方向：
FR MO
bca 0
静力学知识点三：投影、力矩、平衡方程 例:1992年第二届第2(4)题（3分）
六棱四面体受空间任意力系作用而平衡，则该力系分别对其六 个棱边之主矩为零必是六个独立的平衡方程。 （正确）
六矩式限制条件： 六个轴不全平行，或不相交于同一点。
静力学知识点三：投影、力矩、平衡方程 例:1996年第三届第1(1)题（3分）
半径为R的刚体（圆板）受到两 根无质量刚性杆的约束，F1水平， F2铅垂。若系统平衡，则F1与F2 的大小关系为？
M
O
0
3 F1 R F2 R 2
30 0
静力学知识点四：摩擦问题（摩擦角、滚阻力偶、多处摩擦） 例:1988年第一届第2题
V形槽中放置一半径为r的均质 圆柱体，槽边与水平角为α，接 触处的摩擦因数μ=tanφm，圆柱 重G。设转动圆柱所需的最小力 偶矩为Mm，则当φm< α时，Mm 的值？当φm≥α时，Mm的值？
3、点的复合运动： 动点动系选取原则及常规方法。
4、圆轮纯滚条件：
vO r
aO r
（注意曲线纯滚 ）
5、基点法求加速度： 有时可以直接计算。 未知量多时，可以拐弯思考，即： 先求中间量，再奔目的； 或不同角度计算，但结果相同。
运动学知识点一：基本知识点和加速度瞬心确定 6、套筒类问题： 注 1：
FS 2
G
FS 1
Fx 0
y O
考虑临界情况：
结果讨论！
FN 2
FN 1
F 0 M 0
静力学知识点四：摩擦问题（摩擦角、滚阻力偶、多处摩擦）
FS 2 cos FS 1 cos FN 1 sin FN 2 sin 0 FS 1 sin FS 2 sin FN 1 cos FN 2 cos G 0 FS 1 FN 1 , FS 2 FN 2 FS 1 r FS 2 r M 0
va ve v r
大小：
方向：
aen
va 0
aa
n e
ar
vr
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aa a ar aC
大小：
方向：
n aa ae l 2
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 动点： DC上C点 动系： O1A杆
va ve v r
FN 2
FN 1
静力学知识点四：摩擦问题（摩擦角、滚阻力偶、多处摩擦）
FN 2
tan m G 1 1 2 tan 2 1 cos
0 0 0
m m m
不可能！
FS 2
G
m：
E D
h
2h sin l mg sin cos 3 2 2h l mg sin 3 2 cos 0
不稳定平衡！
补充：矩为M =10kN.m的力偶作用在图示结构上。若 a =1m，不 计各杆自重，则支座D 的约束力 FND = _________，图示方向。
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 动点： DC上C点 动系： O1A杆
va ve v r
aen
aa v e va
大小：
方向：
n e
vr ?
aa a ar aC
大小：
方向：
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 动点： DC上C点 动系： AB杆
根据已知力偶方向找力矩 为零的点。
静力学知识点二：力系简化（力的平移定理及力偶） 例:2004年第五届第4题（10分）
沿长方体的不相交且不平行的棱边 作用三个大小相等的力，则边长a、 b、c满足什么条件时，该力系才能 简化为一个力。
解：向O点简化： 主矢：F
R
F i +j k
主矩：MO Fb Fc i Faj
aC
ae
aD 764 cm s2
ar
aA
运动学知识点二：点的复合运动与刚体平面运动综合题 例:1992年第二届第3题（20分） 已知O1A=O2B=O1O2/2=AB/2=l， 以O1A为动系，图示位置，AB水 平，C在AB中点，试分析此瞬时 套筒上销钉C的运动。 依照题目要求： 动点： DC上C点 动系： O1A杆 绝对运动：竖直直线运动 牵连运动：定轴转动运动 相对运动：未知
一空间力系，若各力作用线与某一固定直线相平行，则其独立 的平衡方程只有5个。 （错）
静力学知识点三：投影、力矩、平衡方程 例:1996年第三届第2(1)题（5分）
已知一正方体，各边长为a， 沿对角线BH作用一个力F，则 该力在x1轴上的投影为多少？
x1 BH
静力学知识点三：投影、力矩、平衡方程 例:2004年第五届第1题（5分）
1、所加力的大小为多少？
2、在图中画出该力的示意图。
静力学知识点二：力系简化（力的平移定理及力偶） 例:2000年第四届第1题（10分） 主矢：FR 主矩：
Fi Fj Fk
M O M j k Fak Faj 0
必须加一个力为：
FR F i j k
Байду номын сангаас
静力学知识点二：力系简化（力的平移定理及力偶） 例:92年第二届第2(2)题（3分）
一个非平衡的空间力系总可以简化为一个合力或者两 个不相交的力。 （正确）
1、力； 2、力偶； （两个不相交的力）
3、力螺旋；
静力学知识点二：力系简化（力的平移定理及力偶） 例:2000年第四届第1题（10分）
立方体的边长为a，作用有力系如 图。其中三个力的大小均为F，两 个力偶的矩均为M=Fa。欲使该立 方体平衡，只需在某处加一个力即 可，则在Oxyz坐标系中：