第 届全国周培源大学生力学竞赛个人赛试题答案
周培源力学 竞赛资料
全国周培源大学生力学竞赛考试范围（参考）Ⅰ.理论力学(一)静力学(1)掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。
能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。
(2)掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。
能熟练地计算力偶矩及其投影。
(3)掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。
掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。
能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。
掌握重心的概念及其位置计算的方法。
(4)掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。
能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。
(5)掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。
能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。
(6)掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。
会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。
(二)运动学(1)掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。
(2)掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。
能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。
(3)掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。
(4)掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。
能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。
(三)动力学(1)掌握建立质点的运动微分方程的方法。
了解两类动力学基本问题的求解方法。
(2)掌握刚体转动惯量的计算。
了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。
(3)能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。
(4)掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。
(5)掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。
了解其两类动力学基本问题的求解方法。
(6)掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的简化。
周培源力学竞赛辅导1
作用在
相同的两个构件上，若在线性小变形条件下，有下列重要结论
Fiij Fj ji
广义力 Fi 在广义力 Fj 引起的位移上所做的功，等于广义力
Fj 在广义力 Fi 引起的位移上所做的功，若
ij ji
Fi Fj
广义力 Fj 在点 i引起的与 Fi 相对应的广义位移，在数值上等
于广义力 Fi 在点 j引起的与 Fj 相对应的广义位移
应变能增量，即
弹性体平衡 We E
• 可以是某一部分或某些部分真实位移的增量，而不是全 部真实位移的增量（见图）
• 可以是另一个与之相关系统的真实位移（见图）
注意：以上讨论的虚位移原理不涉及材料的应力应变关系
能量原理
1-5 虚位移原理的应用 例4 EI为常量，用虚移原理求解梁的挠曲线
例5 用虚移原理导出卡式第一定理
调方程
1
E FX 1
M y l FX 1
M y dx EI y
M z l FX 1
M z dx T T dx 0
EI z
l FX1 GI p
2
E FX 2
n
E FXn
M y l FX 2
M y l FXn
M y dx M z M z dx T T dx 0
EI y
l FX 2 EI z
l FX 2 GI p
.............................
M y dx M z M z dx T T dx 0
EI y
l FXn EI z
l FXn GI p
能量原理
1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用
应用卡式第二定理求解超静定问题
1
E FX 1
周培源力学竞赛题目
一力学竞赛简介在各门科学中，力学和数学是最为基础和影响范围最广的两门学科，也是关系最为密切的两门学科。
简练的说数理化天地生可统一归纳为物理科学，形象的说，物理科学是一根梁，力学和数学就是两根支柱。
1988年第一届全国青年力学竞赛，每四年举行一次，后来受到周培源基金会的支持，改名周培源大学生力学竞赛，1996年第三届全国周培源大学生力学竞赛，2007年开始每两年举行一次。
力学竞赛宗旨：推动作为基础课的力学教学，增加学生对力学学科的兴趣，活跃教学与学习氛围，发现人才，吸引全社会对力学学科的关注与投入。
竞赛题目特点，总体新颖有趣，难度适中，简明又富于启发性，特别从实践中提炼出来的赛题是亮点。
竞赛题目围绕理论力学和材料力学两门课程进行。
材料力学以理论力学知识为基础，两门课程密切相关。
理论力学主要研究刚体，材料力学研究变形体，两门课程在力学模型和分析方法方面都有所不同。
应仔细研究和了解两门课程在理论模型和方法方面的联系与区别。
力学建模是不可或缺的基本能力之一，也是材料力学教学中相对薄弱的环节。
力学建模要求对实际问题的力学机制有深刻理解，要求有把握全局的定性分析能力。
从不同的角度切入，同一工程问题的力学模型可能具有多样性，对关键因素的提炼有不同见解，造成结果有所差别，只是精度之差，而非正确与错误之别。
二近几届力学竞赛题目分析从2007年开始每两年举行一届全国周培源大学生力学竞赛，出题学校是清华大学，个人卷满分120分，时间三小时，试题总共四题，每道题设置三个问题，内容包括理论力学和材料力学，两个科目的内容和分数基本上各占一半。
不乏理论力学和材料力学的混合问题。
本次试题的风格是趣味性，灵活性和发散性，特点是，把学生所熟悉的力学问题改写成未经加工提炼的状态，这样学生看到的是“问题”或“现象”，而不再是熟悉的“习题”了。
所以特别考察学生的基础知识是否扎实，解题技巧是否灵活，观察能力是否敏锐，建模能力，以及面对复杂问题时能否抓住问题的核心，直接洞察问题实质的能力。
第一届至第六届周培源大学生力学竞赛初赛试题及答案
8
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
设飞轮转动惯量为 J ，可在箱内电机驱动下以角加速度 ε 顺时针转动。为说明问题，暂
时设 B 处是铰链。
用动静法，飞轮上作用有力矩
系统对 A 点取矩，有
M s = Joε
(M1
+
M
2
)g
⋅
1 2
（e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是 EG 和 GF 边表示亮两盏灯的区域（不含 G 点）。
7
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
（f）一盏灯亮对应的区域是 G 点。 最后根据 x 轴和 y 轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。 （本题改写自：陈嘉，《力学与实践》小问题第 29 题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与 实践》小问题第 100 题，1985，No.4）
5
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
y
4
5
6
o
x
1
2
3
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1）。
y
4 H
C5 六
o
E 四
6 三G
五D 四
B Fx
A(x,y)
1
2I
时，如果要求
P
点的速度和加速度，你如何考虑？取 a
= 1m
，l
=
4m ，β
=
1 6
π
，ω
= 1rad/s ，
速度和加速度是多少？
第一届至第六届周培源大学生力学竞赛初赛试题及答案
第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）时间3小时，满分120分一、奇怪的独木桥（25分）一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。
他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。
他觉得很奇怪，为什么2个人可以过桥而1个人却不能。
等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽4米，独木桥长6米，如图1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。
独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[]600N mM=⋅。
为方便假设每人的体重均为800N，而独木桥的重量不计。
请你分析一下：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？图1 奇怪的独木桥二、模特儿与新型舞台（35分）2a a 有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。
该舞台类似长方形桌子，长为，宽为，有6条等长的桌腿（图2）。
每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。
该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1）。
aa a a图2 模特儿的新舞台 三、魔术师的表演（25分） 魔术师要表演一个节目。
其中一个道具是边长为的不透明立方体箱子，质量为a 1M；另一个道具是长为L 的均质刚性板AB ，质量为2M ，可绕光滑的A 铰转动；最后一个道具是半径为R 的刚性球，质量为3M ，放在刚性的水平面上。
周培源力学竞赛试题
6．（3分）图示平面机构中，轮C沿斜面作纯滚动，试画出图中作平面运动刚体的速度瞬心。
题6图题7图题8图
7．（8分）质量为m，半径为r的均质圆轮在铅直平面内以匀角速度ω绕水平轴O转动，OC＝r／2，当质心C到达最高位置时，轮子的动量大小为方向；对O
轴的动量矩大小为转向； 动能大小为。
大小及两绳的张力。（15分）
南京航空航天大学1999年理论力学试题
一、概念题（共3 0分）
1．（3分）若干面任意力系的平衡方程为： ，则投影轴x与矩心A、B应满足的条件是。
2．（4分）等腰直角三角形板A BC的斜边A B长 ，在其顶点A、B、C分别作用力F1、F2、F3，方向如图。若F=F2=F3，F1= ，则该力系向A点简化的主矢大小为主矩大小为；向C点简化的主矢大小为；主矩大小为。
（本题统考生做，单考生不做）
6．重物A质量为m1，系在绳子上绳子跨过不许重量的滑轮C上，并绕在质量为m2半径为r的均质轮B上，如图所示。由于重物下降带动圆轮在水平面上只滚动而不滑动。求重物A的加速度。（1分）
（本题单考生做，统考生不做）
南京航空航天大学1998年理论力学（A）试题
一、概念题（将正确的答案填入括号内，每小题3分）
my（F）=
mz（F）=
4．（3分）点作曲线运动，如图所示，试就下列三种情况，在图上画出加速度的方向：
①在M1点作匀速曲线运动；
②在M2点作加速曲线运动；
③在M3点作减速曲线运动。
5．（4分）图示平面机构中，OA// O1B，O2A= O2B。试问：O1A杆和O2B杆的角速度、角加速度是否相等？
6．（5分）质量为m，长度为l的均质细杆AB，绕其距端点A为l／3并垂直于杆的轴以匀角速度ω转动，此时AB杆的动量K=，方向；对轴O的动量矩
大学生力学竞赛试题及答案
大学生力学竞赛模拟题 ------江苏技术师范学院一、连日大雨，河水猛涨，一渡船被河水冲到河中央，摆渡人眼疾手快，立刻从岸上拉住船上的缆绳以便拖住渡船，可惜水流太急，渡船仍然向下游冲去。
这时，摆渡人看到一木桩，并立刻将缆绳在木桩上绕了几圈，就拉住了冲向下游的渡船。
（1） 本问题与力学中的什么内容有关系 （2） 利用木桩拉住渡船，则摆渡人少使多少力？（3） 如果水对渡船的推力为20kN ，而摆渡人的最大拉力为500N ，木桩与缆绳之间的摩擦系数3.0=f ，则为了能使渡船停止运动至少将缆绳在木桩上绕几圈？若缆绳横截面面积为3002mm ，木桩直径为20cm ，木桩至渡船的缆绳长10m ，弹性模量E=100GPa ，忽略木桩至手拉端绳的变形，试计算缆绳的总伸长量。
题1图一、解：（1）、关键词：摩擦，轴向拉伸（2）、设手拉端的拉力为人F ，船的拉力为船F ，缆绳和木桩接触的各处有径向压力和切向摩擦力作用，如图（1-a ）所示。
任取一微段（图（1-b ）），由微段的平衡条件（1-a ） （1-b ）0=∑r F 02sin 2sin )(=-+-θθd F d dF F dF r （1） 0=∑θF ()02cos 2cos=--+r fdF d F d dF F θθ （2） 对于微小角度θd ，可令 22sinθθd d ≈，12cos ≈θd ，并略去高阶微量2θd dF ⨯，即得fF d dF=θ（3） 分离变量，积分得θf Ae F = （4）其中积分常数由缆绳两端的边界条件确定，有0=θ， 船F F =； 船F A =所以，绕在木桩上缆绳任一截面的拉力为θf e F F 船= （5）所以θf e F F =船人，其中θ为缆绳绕过木桩的角度。
（3）、将N F 500=人，kN F 20=船，f = 0.3代入式（5），得θ3.031020500e ⨯=解得 3.12≈θ rad 所以至少将缆绳绕两圈。
周培源力学竞赛试题与解答
解上述六个方程�由于桌腿不能提供拉力�令 Ni>0(i=1,„„,6)�得到不等式 |3x±4y|<2a
得到解的区域为菱形 BCHI�不含边界��其中 B 点坐标为 下面设模特儿位于桌面第一象�限讨论其他几种情形。
�b�五腿受力�设腿 1 不受力�令 N1=0 �舍去方程(5)�求得均自然满足�根据
�2�如果 a �求空隙的函数表达式 0 > Γ a �并画出示意图。 Γ 0 与 Γ a 有何关系� 设 AB 与 yz 平面的交点是 P � BP 的长度为 ξ 。则根据几何关系� P 点的坐标为
消去参变量 ξ �有
所以 点的轨迹是抛物线�的一部分��这也就是空隙的方程。而曲线 Γ 0 是 Γ a 的渐进线。
第 6 届周培源全国大学生力学竞赛初赛�样题�
时间 3 小时�满分 120 分
一、奇怪的独木桥�25 分� 一位游客在某处发现有座独木桥�上面写着�禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确都
是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪�为什么 2 个人可以过桥 而 1 个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试�结果没走到半程�就把独木桥压断了 而掉入水中。
�3�当 时�设 P 点是 AB 杆与 yz 平面的交点�当 P 点位于 AB 杆中点且时�如果要求 P 点 的速度和加速度�你如何考虑�如果取
速度和加速度是多少� 思路�采用点的复合运动关系�以 p 为动点� AB 杆为动系。相对运动沿 AB 杆�牵连运动作定 轴转动�绝对运动是在 yz 平面内的抛物线上运动。 当 P 为 AB 杆中点时�设 P 点的坐标为 (xp,yp , zp) � B 点的坐标为(xB,yB ,zB ) ∠BOC= θ 。 其中
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第 9 题（6 分）
(1)、①； (2)、 2 EI 。 2l 2
第 10 题（8 分） (1)、 2 2 m ；
9
(2)、 5 2 m或 5 2 m 。
18
18
-2-
第二部分 提高题部分（计算题，共60分）
第11题（共15分）
解答
组合刚体的运动存在两个阶段，一是绕 O 的定轴转动；
二是质心水平速度保持不变的平面运动。
(1分) (1分)
M A sin( )dA
(1分)
计算出积分，可得
M Er4 sin 4R
于是转角为
(1分)
sin1
E r4 4RM
sin1
E r4 4mR2
(1分)
(3) 内力的最大值Mmax
当=π/2 时，M=Mmax。
M max
Er4 4R
(1分) (1分)
-7-
第14题（共15分）
由质心运动定理
FN 2 2m aCn sin aC cos
(3)
aCn = r2, aC = r 。方程(3)也可由动静法得到。式(3)中代入加速度
FN 2
2mgr 2 JO
sin
3cos
2
（2 分）
球与凸台分离的角度由FN2 0 确定。
0
cos1
2 3
( 4 ) （1 分）
对应角速度0 2
解：(1)
记 D D t
①钢丝的伸长量 由力的平衡可得
g D F 2
qD F
2
q g
F 2n P
解此方程，得
F ( ) Pe ( 2n )
F F d
g d
q F()
(1)
（2）
(2 分)
钢丝绕满环管表面后，两端即将连接时，钢丝伸长量：
l0
1 ES A
2n F ( ) D d
-4-
第12题（共15分）
解答
mg
4
两物体碰撞及速度突变都发生在水平面内，在铅直
mg
方向，方板仍然处于平衡状态。由空间平行力系的 mg
C
mg
2
4
平衡知三个支撑点的铅直方向反力。
B
支承面对方板的水平约束力就是动或静摩擦力，
A
由摩擦定律知摩擦力与铅直反力成比例。
b
因此，在碰撞阶段，水平摩擦力的冲量略去不计。
第 5 题（6 分）
(1)、 5u ； (2)、 4 u2 ；(3)、 5 5 R 。
R
8
第 6 题（5 分）
(1)、 2FN1 FN2 cos 0 ； (2)、 Δl1 2Δl2 cos 。
-1-
第 7 题（5 分）
8l 3
。
3EI
第 8 题（6 分） (1)、54，0，-26； (2)、80。
mgr 3JO
问题（2） ——
当 0， 2
mgr (1 cos) JO
（1 分）
当 0时，组合刚体与台阶脱离接触，作平面运动，水平方向动量守恒，质心 C 的水
平速度不变，为
vCx0
r0
cos 0
4r 3
mgr 3JO
(5)
O 点速度 vO 水平，由基点法得质心 C 的速度
vC vO vCO
即
v
P 4ntd
1 e2n
(1 分)
(2)当有内压 p 时，记由于施加 p 而引起的竖直纵截面上的应力增量为 v (压为正)，钢丝与管
外表面间的挤压引起管外表面上压应力增量为 g (压为正)，钢丝拉力增量为 F (拉为正)，管横截
面应力增量为 l (拉为正)。
求环管道横截面上的应力增量 l ：用一个竖直平面沿管道环线的直径将压力容器切开成相等
由式(7)有
dS r0 cos0 r cos d ( )
（1 分）
积分上式，并注意到 sin0
5 ，得 3
S r0 0
JO 9mgr(1
2mr2 cos2 cos ) 2mr
2 2 0
d
r
sin
5 3
其中，0 2
mgr 3JO
, 0
cos1 2 。 3
S
C
R
r
O vO
( 0 ) （1 分）
0
3vb 17h
（1 分）
B 点的静摩擦力满足
FBn0
2
FB0
2 mg 2
(5) （2 分）
由质心运动定理和对 B 点的动量矩定理
C mg
4
vA0
A
vC 0
0 aOn O aO
mg 4
0
B
FBn0
FB0
maOn 0 FBn0
maO 0
mg 5
5 FB0
(6)
J B 0
MB
mgh 4
得
x
h
6(1/ 2 b / h)
(b h) 2
当b h / 2时，板作平移，速度瞬心在无穷远处。
( 2 ) （1 分）
式中，x 坐标的原点在点 O，向右为正，向左为负。
问题（2）——
将 b=5h/6 代入式(2)，有 x = -h/2，板逆时针转动。此时，板的速度瞬心在 AC 棱
边中点。碰撞结束瞬时，板的角加速度由相对于质心的动量矩定理确定。
0
2
即
l0
DP 2ES A
(1 e2n
)
(1 分)
②钢丝的张力
两端连接的钢丝松弛后，
l0
F0nD ES A
由此得钢丝的张力
F0
P 2n
(1 e2n )
(1 分) (1 分)
③环管的应力
求管道横截面上的应力 l ：
l 0
（a）
(1 分)
求环管柱面形纵截面上的应力 v ：先用一个竖直平面沿管道环线的直径切开，再用过管道轴
m 21
vb
5 6
h
J B0
m 21
vb
5 6
h
(3) （1 分）
其中， vb 为小球的反弹速度，
JB
JO
m 4
h2
5 12
mh2
。
vD
n
AD
I
0 B
I vb
vb
碰撞点 D 的法向速度为
vD
n
BD 0 cos
5 6
h0
完全弹性碰撞条件为
vb
vD
n
vb
(4) （1 分）
结合式(3)与（4），解出
的两半，可知代替方程(a)的是
l
Dp 4t
(a＇)
-9-
p l
l p
求环管柱面形纵截面上的应力 v ：由变形协调方程得
d
4F Es d 2
1 E
[
d
v
(d l
g)]
F （3） (2 分)
g d
F
参考式(1)的第一式，有
g D F 。 2
(1 分)
将上述结果代入式(3)， 化简得
4 Es d 2
2 EDd
F
1 E
v
D 4Et
p
（3＇）
在有 p 存在的情况下，仿照式(c)可写出
2
R d
F
4Rt v + Dtl
2R(D t)
4
(
D
t
)2
p
式(a’)代入上式，化简得
(1 分)
F d
2tv
Dp
（c’）
式(3＇)、(c’)联立可解得 F、v 。
(1 分)
F
v
l
首先确定由定轴转动到平面运动的临界转角。
问题（1）——
刚体绕 O 作定轴转动。依动能定理
1 2
J O 2
2mgr(1
cos)
(1)
（1 分）
2 4mgr (1 cos) JO
式(1)两边对时间求导
aC
FN 2
an CR
C
r
o
2mg
FN1
2mgr sin (2) JO
（1 分）
式(2)也可由对点 O 的动量矩定理得到
-6-
第13题（共15分） 解: (1) 横截面上的内力: 弯矩：M=mR (3 分)
M (2) 横截面的转角：
R
m
R
O M
w
o
通过(ρ，)点的圆周线正应变(这里，正应变以缩短为正)为
w [cos cos( )] (5分)
R cos
R cos
[cos cos( )] R
E E [cos cos( )] R
5
其中，aOn 0
h 2
02
,
aO 0
h 2
0
（1 分）
由式(6)解出
0
3
5g , 5h
aO 0
3
5 g 10
,
FB0
5mg , 10
FBn0
1 2
mh02
再由式(5)，得到
vb
34 3
5 gh （1 分） 10
此后，板作减速转动， 0,
aOn
h 2
02
,
FBn FBn0 。
可见，板在停止转动之前，其 B 端能保持静止不动。（1 分）
问题（1）——
C
记碰撞冲量为 I，考察板
mvO0 I
JO0
I
h 2
b
(1)
JO
1 6
mh2
，由(1)解出
vO0
I m
;
0
6I mh2
h 2
b