二阶动态电路分析(精)

U 0 K1 U 0 K2 d U 0 t uC (t ) e (U o cos d t sin d t ) d 0 t uC (t ) U 0e cos( d t ) arctg d d
、d、o、的关系可表示为
电路中其它响应：
常数A1和A2由初始条件确定
uC (0 ) uC (0 ) A1 A2 U 0 i (0 ) i (0 ) C duC 1 A1C 2 A2C 0 L L dt t 0
联立求解，得：
A1
2 1
2
U0
t
衰减，
称为衰减系数，d是振荡的角频率。
R=0是欠阻尼的特例。此时
R 0 2L
d 0
1 LC
uC (t ) U 0 cos d t U 0 cos 0t
i(t ) 0CU 0 sin d t 0CU 0 sin 0t
uL (t ) U 0 cos d t U 0 cos 0t
A1e( jd )t A2e( jd )t
e t ( A1e jd t A2e jd t )
应用欧拉公式 e jx cos x j sin x ，上式可表示为
uC (t ) et ( A1 A2 )cos d t j ( A1 A2 )sin d t
第5章 二阶动态电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应
5-2 RLC串联电路的全响应
5-3 GCL并联电路的分析 5-4 一般二阶电路分析
5-1 RLC串联电路的零输入响应
电路如图所示，设 uC(0－)=U0，iL(0－)=0。t=0 时，开关 K 闭合。在图示电流、电压参考方向下，由KVL，可得：
0

d
duC 02CU 0 t i(t ) C e sin d t dt d

0 di uL (t ) L U 0e t cos( d t ) dt d
i(t ), uC (t ), uL (t ) 的波形曲线
指数规律 e
uC (t )、i(t )、uL (t ) 响应有衰减振荡的特性，其振荡幅度按
1 A2 U0 2 1
uC (t )
2 1
2
U 0e
1t

2 1
1
U 0e 2t
U0 ( 2 e 1t 1e 2t ) 2 1
电路中其它响应：
duC CU 01 2 2t 1t i (t ) C (e e ) dt 2 1
此时，S1，S2为一对共轭复根，即
S1, 2
R 1 R j 2L LC 2 L
2
jd
R 1 R 1 2 2 ,d 0 (令 0 ) 2L LC 2 L LC
2
对应的齐次方程的解为:
uC (t ) A1e S1t A2e S2t
uL uR uC 0
du 由元件伏安关系得： i C C dt duC uR Ri RC dt d 2uC di uL L LC 2 dt dt
i ＋uR－ ＋ uL－ L R K (t=0) C ＋ uC －
d 2 uC duC LC 2 RC uC 0 dt dt
或 特征方程为
d uC R duC 1 uC 0 2 dt L dt LC
R 1 S S 0 L LC
2
2
特征根为
R R 2 1 S1;2 ( ) 2L 2L LC
特征根S1、S2由电路本身的参数R、L、C的数值确定，根 据R、L、C数值不同，特征根可能出现以下三种情况：
uC (t ) e t ( K1 cos d t K 2 sin d t )
Ke t cos( d t )
待定常数K1，K2，或K，由初始条件确定。
uC (0 ) uC (0 ) K1 U 0 duc C ( K1 d K 2 ) 0 iL (0 ) iL (0 ) C dt t 0
t 0 t 0
U 01 2 di uL (t ) L CL ( 2e 2t 1e 1t ) dt 2 1
i(t ), uC (t ), uL (t ) 的波形曲线
由于这种情况下，电路中电阻较大，RLC电百度文库无法形 成振荡，因此称为过阻尼情况
L 二、欠阻尼情况 ( R 2 ) C
2 L R 1 2 （1）当R > （即 ）时，S1、S2为两个不等的 C 2 L LC 负实根；
（2）当R < 2
L （即 C
负的共轭复根；
L （3）当R = 2 （即 C
1 R ）时，S1、S2为一对实部为 2 L LC 1 ）时，S 、S 为一对相等的 R 1 2 2 L LC
2
2
负实根；
L 一、过阻尼情况 ( R 2 ) C
此时S1、S2为不相等的负实根 ，即有
S1 R 1 R 1 2L 2 L LC
2 2
R 1 R S2 2 2L 2 L LC
对应的齐次方程的解为
uC (t ) A1eS1t A2e S2t A1e1t A2e2t t 0
i(t ), uC (t ), uL (t ) 的波形曲线 R＝0时，
可见，当电路中R＝0时，各响应作无阻尼等幅自由振荡， 0称为自由振荡频率。由于电路中没有能量损耗，故电容与电 感间不断进行电场能量与磁场能量的交换。振荡一旦形成，就 一直持续下来，永不消失。