程守洙《普通物理学》第六版第五章
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漏去氧气的质量为
2
Δm m m 3.33 10 kg
2
§5-2 分子热运动和统计规律 一、分子热运动的图像 分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动。
布朗运动
分子热运动的图像： 1. 标准状态下 ，气体分子之间的距离大约是分子本 身线度（10-10 m）的10倍左右，可把气体看作是彼 此相距很大间隔的分子集合。 2. 分子与分子间的相互作用力，除了在碰撞的瞬间 以外，极为微小。 3. 分子热运动的平均速度约 v = 500 m/s ， 分子的平均碰撞频率约 Z = 1010 /s， 分子的平均自由程约 λ =10-7 m。
解：(1)
m pV RT M
mRT 0.10 8.31 10 273 47 V Mp 0.032 10
5
8.31 10 (m )
3
3
（2）若漏气若干时间之后，压强减小到 p ，温度 降到 T 。如果用m表示容器中剩余的氧气的质量， 由状态方程得
5 3 V 0.032 8 10 8.31 10 Mp m ＝ 5 RT 8.31 10 273 47 6.67 10 (kg)
结论 上式反映了微观量的统计平均值和宏观量之间 的关系，指出了温度的统计意义： 温度标志着物 体内部分子热运动的剧烈程度，它是大量分子热运 动平动动能的统计平均值的量度。 对个别分子，说它有温度是没有意义的。
四、气体分子的方均根速率
1 3 2 k m0 v kT 2 2
方均根速率：
3kT v m0
N
N
2 0 ix
N
p nm v
2 0 x
1 2 p nm0 v 3
（理想气体的压强）
分子的平均平动动能：
1 2 k mv 2
理想气体的压强：
2 1 2 1 2 2 p nm0 v n( m0 v ) n k 3 2 3 3
三、温度的本质和统计意义
设：分子质量为 m0，气体分子数为N，分子数 密度 n。
2m0vix
vix 2l1
单位时间内，该分子它们给 A1面的总冲量：
vix 2m0vix 2l1
考虑所有N个分子，单位时间内，它们给A1面的总 冲量：
vix mv m0 2 F (2m0vix ) vix 2l1 l1 l1 i 1 i 1 i 1
m0 N 2 Nm0 2 F F p vix l l l vx S A l2l3 l1l2l3 i 1 1 2 3
dN h( x )dx dP N h( x)dx
dp h( x ) 令f ( x) dx h( x)dx
则 dP f ( x)dx
dN f ( x) Nd x
f (x)表示小球落在x附近单位区间内的概率，或小球 落在x处的概率密度，称为小球沿x 的分布函数。
显然，
解：压强不太大，温度不太低，可视为理想气体。
（1）单位体积内的分子数：
p n 2.45 10 25 m 3 kT M （2）氧气分子的质量： m0 5.3110 26 kg NA
几个统计物理学术语 微观量（microscopic quantity）：表征个别分子特 征的物理量。如某个分子的质量、速度、能量等， 在现代实验条件下是不能直接测得的量。 宏观量（macroscopic quantity）：表征大量分子的 整体特征的量。如温度、压强、热容等，是实验中 能测得的量。 统计方法的作用：在气体动理论中，必须运用统计 方法， 求出大量分子的某些微观量的统计平均值， 用以解释在实验中直接观测到的物体的宏观性质。
m Nm0
M N A m0
Nm0 m RT NkT pV RT N A m0 M
R 23 1 玻耳兹曼常量： k 1.38 10 J K NA
p nkT
（理想气体状态方程）
2 p nkT n k 3 1 2 3 k mv kT 2 2
2
R k NA
2
k kNA R m0 m0 N A M
3kT 3RT v m0 M
例5-3 试求氮气分子的平均平动动能和方均根速率 设（1）在温度 t =100 oC 时， （2）在温度 t =0 oC 时， （3）在温度 t = -150 oC 时。
解：（1）在温度 t =100 oC 时
3 3 23 21 εk kT 1.38 10 373 7.7110 (J) 2 2
3RT 3 8.31 373 2 v 5.74 10 (m/s ) 3 M 28 10
2
（2）同理在温度 t =0 oC 时
3 3 εk kT 1.38 10 23 273 5.65 10 21 (J) 2 2 3RT 3 8.31 273 2 v 493 (m/s) 3 M 28 10
（3）在温度t = -150 oC时
3 3 23 21 εk kT 1.38 10 123 2.55 10 (J) 2 2
3RT 3 8.31123 v 331 (m/s) 3 M 28 10
2Leabharlann Baidu
例5-4 一容器内贮有氧气，其压强 P 1.013 105 Pa ， 温度 t=27 ℃，求：（1）单位体积内的分子数； （2）氧分子的质量；（3）分子的平均平动动能。
§5-9 真实气体 范德瓦耳斯方程
§5-1 热运动的描述 理想气体模型和物态方程 一、状态参量的微观解释 为了描述物体的状态，常采用一些物理量来表 示物体的有关特性，例如体积、温度、压强、密度 等，称状态参量（state parameter）。 1. 体积 V 气体分子所能到达的空间。 2. 压强 p 气体分子垂直作用于器壁单位面积上的 力，是大量气体分子与器壁碰撞的宏观 表现。 1atm =760 mmHg =1.01 5 Pa 10
3. 温度 T 反映物体冷热程度的物理量，其高低反 映内部分子热运动的剧烈程度。
热力学温标(T：K)与摄氏温标(t：℃)： t /℃=T /K-273.16
二、平衡态 准静态过程
平衡态（equilibrium state）：在不受外界影响 （即系统与外界没有物质和能量的交换）的条件下， 无论初始状态如何，系统的宏观性质在经充分长时间 后不再发生变化的状态。
2 y 2 z
2 x 2 y 2 z
[ v v v v ]
2
二、理想气体压强公式的推导 设一长方体容器（ l1、 l2 、l3、）内有N个同类 气体分子，分子数密度n ，分子质量m0 。 考虑其中的一个分子 i ，速度为 vi 分子一次撞到A1面上给器壁的冲量为 单位时间内，该分子与A1面 碰撞的次数为
• 气体处于热平衡、力学平衡与化学平衡。 • 从微观角度，存在热运动，又称为热动平衡状态 （thermodynamical equilibrium state）。
• 一定质量的气体的平衡态可以用 一组状态参量（p、 V、T） 表示。在P-V 图上是一个确定的坐标点。 当气体的外界条件改变时，气体从一个状态不断 地变化到另一状态，如果状态变化过程进展得十分缓 慢，使所经历的一系列中间状态，都无限接近平衡状 态，这个过程就叫做准静态过程（quasi-static process） 或平衡过程（equilibrium process）。在P-V 图上是一
返回
二、分子热运动的基本特征 分子热运动的基本特征：分子的永恒运动与频繁 的相互碰撞。 分子热运动与机械运动有本质的区别。 1. 分子热运动的无序性 2. 分子热运动的统计性 平衡态的统计假设：1、平衡态时，气体分子数密度 分布均匀；2、分子沿各个方向运动的机会是均等的， 没有任何一个方向上气体分子的运动比其他方向更 占优势。
1. 力学假设 根据理想气体的运动图像进行的假设
(1)分子线度与分子间距相比较可忽略，分子 被看作质点。
(2)除了分子碰撞的瞬间外，忽略分子间的相互作 用。(3)气体分子在运动中遵守经典力学规律，假设 碰撞为弹性碰撞。 (4)一般情况，忽略分子的重力。 理想气体分子是自由地无规则地运动着的弹 性质点群。
第五章 气体动理论
§5-1 热运动的描述 理想气体模型和物态方程 §5-2 分子热运动和统计规律 §5-3 理想气体的压强和温度公式 §5-4 能量均分定理 理想气体的内能 §5-5 麦克斯韦速率分布律 §5-6 麦克斯韦–玻耳兹曼能量分布律 粒子按高度的分布 §5-7 分子碰撞和平均自由程 §5-8 气体的输运现象 重力场中
条连续的曲线。
三、理想气体状态方程 理想气体（ideal gas）：在任何情况下都严格遵守 波意耳定律、盖吕萨克定律以及查理定律的气体。 是实际气体在压强趋于零时的极限。宏观模型 当质量为m、摩尔质量为Ｍ的理想气体处于平 衡态时，它的状态参量（p、 V、T） 满足方程：
m pV RT M
1
（理想气体状态方程）
三、分布函数和平均值 偶然事件：不可预测而又大量出现的事件。 多次观察同样的事件，可获得该偶然事件的分 布规律。 例如：伽耳顿板实验 投入一个小球，一次 实验中，小球落入哪个狭 槽是偶然的。 投入大量的小球，落 入各个狭槽的小球数目遵 守一定的统计规律。
为了描述统计规律，引入分布函数： 设第 i 个狭槽的宽度为Δxi ，其中积累的小球 高度为 hi ，则此狭槽内的小球数目ΔNi 正比于小球 占的面积ΔA = hiΔxi 。令 i =C ΔA = C hi Δxi ΔN 则小球该的总数为
N N i C hi xi
i i
第 i 个狭槽内小球数目占总球数 的百分比为
N i Pi N
hi xi h j x j
j
可作为每个小球落入第 i 个狭槽内的概率。
减小狭槽的宽度，使 xi 0 ，
小球落在x～x+dx内的概率（或在x～x+dx内的小球 数目占总球数的百分比）为
2. 统计假设
根据理想气体的运动图像进行的假设
(1)平衡态时， 气体分子数密度 n 分布均匀。
(2)平衡态时，相同速率的分子沿各个方向运动 的平均分子数相等(或沿各方向运动的概率均等)。
vx ( vix N ) v y vz
i
N
v ( v
2 x i
N
2 ix
1 2 N) v v v 3
解： 只需考虑空气的初状态和末状态，有
p1V1 p2V2 T1 T2
T1=273+47=320（K） 这一温度已超过柴油的燃点，所以柴油喷入汽 缸时就会立即燃烧，发生爆炸推动活塞做功。
p2V2 T2 T1 930 K p1V1
例5-2 容器内装有氧气，质量为 0.10 kg，压强为 10×105 Pa ，温度为 47 º 。因为容器漏气，经过若 C 干时间后，压强降到原来的 5/8，温度降到 27 º 。 C 问 (1) 容器的容积有多大？ (2) 漏去了多少氧气？
1
R 8.31 J mol K
（普适气体常量）
系统的压强、体积、温度中任两个量一定，就可 确定系统的状态，因此常用p-V 图中的一点表示气体 的一个平衡态，p-V 图上的一条曲线来表示系统的一 个准静态过程。
一定量理想气体的等温线
例5-1 某种柴油机的汽缸容积为 0.827×10-3 m3。设压 缩前其中空气的温度47 º C，压强为 8.5×104 Pa。当活 塞急剧上升时可把空气压缩到原体积的1/17，使压强 增加到 4.2×106 Pa， 求这时空气的温度。 如把柴油 喷入汽缸，将会发生怎样的情况？（假设空气可看作 理想气体。）
dN ( x) f ( x)dx 1 （归一化条件） N
由分布函数还可计算任一物理量（如x）的统计平 均值。 如平均位置：
xdN x
N
xf ( x)dx
dN f ( x) 表示小球落在x处的概率密度 Nd x
§5-3 理想气体的压强和温度公式 一、理想气体的微观模型（宏观模型？）
2
Δm m m 3.33 10 kg
2
§5-2 分子热运动和统计规律 一、分子热运动的图像 分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动。
布朗运动
分子热运动的图像： 1. 标准状态下 ，气体分子之间的距离大约是分子本 身线度（10-10 m）的10倍左右，可把气体看作是彼 此相距很大间隔的分子集合。 2. 分子与分子间的相互作用力，除了在碰撞的瞬间 以外，极为微小。 3. 分子热运动的平均速度约 v = 500 m/s ， 分子的平均碰撞频率约 Z = 1010 /s， 分子的平均自由程约 λ =10-7 m。
解：(1)
m pV RT M
mRT 0.10 8.31 10 273 47 V Mp 0.032 10
5
8.31 10 (m )
3
3
（2）若漏气若干时间之后，压强减小到 p ，温度 降到 T 。如果用m表示容器中剩余的氧气的质量， 由状态方程得
5 3 V 0.032 8 10 8.31 10 Mp m ＝ 5 RT 8.31 10 273 47 6.67 10 (kg)
结论 上式反映了微观量的统计平均值和宏观量之间 的关系，指出了温度的统计意义： 温度标志着物 体内部分子热运动的剧烈程度，它是大量分子热运 动平动动能的统计平均值的量度。 对个别分子，说它有温度是没有意义的。
四、气体分子的方均根速率
1 3 2 k m0 v kT 2 2
方均根速率：
3kT v m0
N
N
2 0 ix
N
p nm v
2 0 x
1 2 p nm0 v 3
（理想气体的压强）
分子的平均平动动能：
1 2 k mv 2
理想气体的压强：
2 1 2 1 2 2 p nm0 v n( m0 v ) n k 3 2 3 3
三、温度的本质和统计意义
设：分子质量为 m0，气体分子数为N，分子数 密度 n。
2m0vix
vix 2l1
单位时间内，该分子它们给 A1面的总冲量：
vix 2m0vix 2l1
考虑所有N个分子，单位时间内，它们给A1面的总 冲量：
vix mv m0 2 F (2m0vix ) vix 2l1 l1 l1 i 1 i 1 i 1
m0 N 2 Nm0 2 F F p vix l l l vx S A l2l3 l1l2l3 i 1 1 2 3
dN h( x )dx dP N h( x)dx
dp h( x ) 令f ( x) dx h( x)dx
则 dP f ( x)dx
dN f ( x) Nd x
f (x)表示小球落在x附近单位区间内的概率，或小球 落在x处的概率密度，称为小球沿x 的分布函数。
显然，
解：压强不太大，温度不太低，可视为理想气体。
（1）单位体积内的分子数：
p n 2.45 10 25 m 3 kT M （2）氧气分子的质量： m0 5.3110 26 kg NA
几个统计物理学术语 微观量（microscopic quantity）：表征个别分子特 征的物理量。如某个分子的质量、速度、能量等， 在现代实验条件下是不能直接测得的量。 宏观量（macroscopic quantity）：表征大量分子的 整体特征的量。如温度、压强、热容等，是实验中 能测得的量。 统计方法的作用：在气体动理论中，必须运用统计 方法， 求出大量分子的某些微观量的统计平均值， 用以解释在实验中直接观测到的物体的宏观性质。
m Nm0
M N A m0
Nm0 m RT NkT pV RT N A m0 M
R 23 1 玻耳兹曼常量： k 1.38 10 J K NA
p nkT
（理想气体状态方程）
2 p nkT n k 3 1 2 3 k mv kT 2 2
2
R k NA
2
k kNA R m0 m0 N A M
3kT 3RT v m0 M
例5-3 试求氮气分子的平均平动动能和方均根速率 设（1）在温度 t =100 oC 时， （2）在温度 t =0 oC 时， （3）在温度 t = -150 oC 时。
解：（1）在温度 t =100 oC 时
3 3 23 21 εk kT 1.38 10 373 7.7110 (J) 2 2
3RT 3 8.31 373 2 v 5.74 10 (m/s ) 3 M 28 10
2
（2）同理在温度 t =0 oC 时
3 3 εk kT 1.38 10 23 273 5.65 10 21 (J) 2 2 3RT 3 8.31 273 2 v 493 (m/s) 3 M 28 10
（3）在温度t = -150 oC时
3 3 23 21 εk kT 1.38 10 123 2.55 10 (J) 2 2
3RT 3 8.31123 v 331 (m/s) 3 M 28 10
2Leabharlann Baidu
例5-4 一容器内贮有氧气，其压强 P 1.013 105 Pa ， 温度 t=27 ℃，求：（1）单位体积内的分子数； （2）氧分子的质量；（3）分子的平均平动动能。
§5-9 真实气体 范德瓦耳斯方程
§5-1 热运动的描述 理想气体模型和物态方程 一、状态参量的微观解释 为了描述物体的状态，常采用一些物理量来表 示物体的有关特性，例如体积、温度、压强、密度 等，称状态参量（state parameter）。 1. 体积 V 气体分子所能到达的空间。 2. 压强 p 气体分子垂直作用于器壁单位面积上的 力，是大量气体分子与器壁碰撞的宏观 表现。 1atm =760 mmHg =1.01 5 Pa 10
3. 温度 T 反映物体冷热程度的物理量，其高低反 映内部分子热运动的剧烈程度。
热力学温标(T：K)与摄氏温标(t：℃)： t /℃=T /K-273.16
二、平衡态 准静态过程
平衡态（equilibrium state）：在不受外界影响 （即系统与外界没有物质和能量的交换）的条件下， 无论初始状态如何，系统的宏观性质在经充分长时间 后不再发生变化的状态。
2 y 2 z
2 x 2 y 2 z
[ v v v v ]
2
二、理想气体压强公式的推导 设一长方体容器（ l1、 l2 、l3、）内有N个同类 气体分子，分子数密度n ，分子质量m0 。 考虑其中的一个分子 i ，速度为 vi 分子一次撞到A1面上给器壁的冲量为 单位时间内，该分子与A1面 碰撞的次数为
• 气体处于热平衡、力学平衡与化学平衡。 • 从微观角度，存在热运动，又称为热动平衡状态 （thermodynamical equilibrium state）。
• 一定质量的气体的平衡态可以用 一组状态参量（p、 V、T） 表示。在P-V 图上是一个确定的坐标点。 当气体的外界条件改变时，气体从一个状态不断 地变化到另一状态，如果状态变化过程进展得十分缓 慢，使所经历的一系列中间状态，都无限接近平衡状 态，这个过程就叫做准静态过程（quasi-static process） 或平衡过程（equilibrium process）。在P-V 图上是一
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二、分子热运动的基本特征 分子热运动的基本特征：分子的永恒运动与频繁 的相互碰撞。 分子热运动与机械运动有本质的区别。 1. 分子热运动的无序性 2. 分子热运动的统计性 平衡态的统计假设：1、平衡态时，气体分子数密度 分布均匀；2、分子沿各个方向运动的机会是均等的， 没有任何一个方向上气体分子的运动比其他方向更 占优势。
1. 力学假设 根据理想气体的运动图像进行的假设
(1)分子线度与分子间距相比较可忽略，分子 被看作质点。
(2)除了分子碰撞的瞬间外，忽略分子间的相互作 用。(3)气体分子在运动中遵守经典力学规律，假设 碰撞为弹性碰撞。 (4)一般情况，忽略分子的重力。 理想气体分子是自由地无规则地运动着的弹 性质点群。
第五章 气体动理论
§5-1 热运动的描述 理想气体模型和物态方程 §5-2 分子热运动和统计规律 §5-3 理想气体的压强和温度公式 §5-4 能量均分定理 理想气体的内能 §5-5 麦克斯韦速率分布律 §5-6 麦克斯韦–玻耳兹曼能量分布律 粒子按高度的分布 §5-7 分子碰撞和平均自由程 §5-8 气体的输运现象 重力场中
条连续的曲线。
三、理想气体状态方程 理想气体（ideal gas）：在任何情况下都严格遵守 波意耳定律、盖吕萨克定律以及查理定律的气体。 是实际气体在压强趋于零时的极限。宏观模型 当质量为m、摩尔质量为Ｍ的理想气体处于平 衡态时，它的状态参量（p、 V、T） 满足方程：
m pV RT M
1
（理想气体状态方程）
三、分布函数和平均值 偶然事件：不可预测而又大量出现的事件。 多次观察同样的事件，可获得该偶然事件的分 布规律。 例如：伽耳顿板实验 投入一个小球，一次 实验中，小球落入哪个狭 槽是偶然的。 投入大量的小球，落 入各个狭槽的小球数目遵 守一定的统计规律。
为了描述统计规律，引入分布函数： 设第 i 个狭槽的宽度为Δxi ，其中积累的小球 高度为 hi ，则此狭槽内的小球数目ΔNi 正比于小球 占的面积ΔA = hiΔxi 。令 i =C ΔA = C hi Δxi ΔN 则小球该的总数为
N N i C hi xi
i i
第 i 个狭槽内小球数目占总球数 的百分比为
N i Pi N
hi xi h j x j
j
可作为每个小球落入第 i 个狭槽内的概率。
减小狭槽的宽度，使 xi 0 ，
小球落在x～x+dx内的概率（或在x～x+dx内的小球 数目占总球数的百分比）为
2. 统计假设
根据理想气体的运动图像进行的假设
(1)平衡态时， 气体分子数密度 n 分布均匀。
(2)平衡态时，相同速率的分子沿各个方向运动 的平均分子数相等(或沿各方向运动的概率均等)。
vx ( vix N ) v y vz
i
N
v ( v
2 x i
N
2 ix
1 2 N) v v v 3
解： 只需考虑空气的初状态和末状态，有
p1V1 p2V2 T1 T2
T1=273+47=320（K） 这一温度已超过柴油的燃点，所以柴油喷入汽 缸时就会立即燃烧，发生爆炸推动活塞做功。
p2V2 T2 T1 930 K p1V1
例5-2 容器内装有氧气，质量为 0.10 kg，压强为 10×105 Pa ，温度为 47 º 。因为容器漏气，经过若 C 干时间后，压强降到原来的 5/8，温度降到 27 º 。 C 问 (1) 容器的容积有多大？ (2) 漏去了多少氧气？
1
R 8.31 J mol K
（普适气体常量）
系统的压强、体积、温度中任两个量一定，就可 确定系统的状态，因此常用p-V 图中的一点表示气体 的一个平衡态，p-V 图上的一条曲线来表示系统的一 个准静态过程。
一定量理想气体的等温线
例5-1 某种柴油机的汽缸容积为 0.827×10-3 m3。设压 缩前其中空气的温度47 º C，压强为 8.5×104 Pa。当活 塞急剧上升时可把空气压缩到原体积的1/17，使压强 增加到 4.2×106 Pa， 求这时空气的温度。 如把柴油 喷入汽缸，将会发生怎样的情况？（假设空气可看作 理想气体。）
dN ( x) f ( x)dx 1 （归一化条件） N
由分布函数还可计算任一物理量（如x）的统计平 均值。 如平均位置：
xdN x
N
xf ( x)dx
dN f ( x) 表示小球落在x处的概率密度 Nd x
§5-3 理想气体的压强和温度公式 一、理想气体的微观模型（宏观模型？）