不等式》全章教学案11-12课时

§3.4.1 第11课时 基本不等式的证明(2)

学习目标：1.进一步掌握基本不等式；

2.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等．

学习重点：基本不等式的灵活运用．

学习难点：基本不等式的运用条件．

学习过程

一、学前准备：自学课本P88

1.了解不等式的以下性质：

①可逆性：若b a >，则a b <．)(a b b a <⇔>

②传递性：若b a >，c b >，则c a >．),(c a c b b a >⇒>>

③可加性：若b a >，则c b c a +>+．)(c b c a b a +>+⇔>

推论1：加法法则：若b a >，d c >，

则d b c a +>+．),(d b c a d c b a +>+⇒>> 可推广到有限个同向不等式相加．

移项法则：不等式中的任意一项改变符号后，都可以从不等式的一边移到另一边去． )(c b a b c a ->⇔>+

④可乘性：若b a >，0>c ，则c b c a ⋅>⋅．),(c b c a o c b a ⋅>⋅⇒>>

若b a >，0

推论2：乘法法则：若0,0>>>>d c b a ，则d b c a ⋅>⋅．

)0,0(d b c a d c b a ⋅>⋅⇒>>>>可推广到有限个两边均为正的同向不等式相乘．

推论3：可乘方性：若0>>b a ，+∈N n ，则n n b a >．

),0(n n b a N n b a >⇒∈>>+

⑤可开方性：若0>>b a ，+∈N n ，则n n b a >．),0(n n b a N n b a >⇒∈>>+

2.用均值不等式求最值时，必须注意三个条件： ，三者缺一不可．

3.求函数x

x y 1+=的值域．

4.已知直角三角形的面积等于50，两条直

角边各为多少时,两条直角边的和最小，

最小值是多少？

5.用20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？

二、合作探究

例1.用篱笆围一个面积为100 2m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱

笆最短．最短的篱笆是多少？

变式训练：一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?

例2.已知,,,1a b c R a b c +∈++=，求证：

1119a b c ++≥

例3.(熟记结论)已知y x ,都是正数， 求证：

①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；

②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值

241s ．

例4.⑴已知函数)1(,10log lg >+=x x y x ，则当=x 时，函数取最 值= ．

若条件改成10<

⑵已知函数)40(),4(<<-⋅=x x x y ，则当=x 时，函数取最 值= ． ⑶已知函数)1(,1

1->++=x x x y ，则当=x 时，函数取最 值= ．

三、课堂练习：课本P88练习3～4

五、回顾小结：

1.用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；算术平均数与几何平均数的概念；

2.运用基本不等式求最值常用的变形方法有：①运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；

②配凑出和为定值； ③配凑出积为定值； ④将限制条件整体代入．

六、课外作业：课本P91习题3.4：4～7 课课练

1.已知两个正数y x ,满足21x y +=，求11x y

+的最小值．

2.下列函数中，最小值是2的有 ． ①1y x

x =+ ②1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ ③2y =④2y =. 3.已知101,01,9x y xy <<<<=，求1133

log log x y ⋅的最大值，并求相应的,x y 值. §3.4.2 第12课时 基本不等式的应用(1)

学习目标：1.进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题；

2.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．

学习重点：会恰当地运用基本不等式求最值．

学习难点：化实际问题为数学问题．

学习过程

一、学前准备：自学课本P89

1.当160,x x x >+

时的最小值是 ；160,x x x <+当时的最大值是 ． 2.1,(12)2

x y x x <<

=-已知0求的最大值． 3.已知10<

4.已知0≠x ，当=x 时，2281x

x +

取最 值，最值是 ． 5.求9()45f x x x =+-)5(>x 的最小值． 6.若x>0,y>0,且281x y +=,求xy 的最小值．

二、合作探究

例1.在直径为d 的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最

大面积是多少？

y

例2.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

例 3.某单位建造一间占地面积为122m 的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元

2/m ，房屋侧面的造价为800元2/m ，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？

例 4.某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩

形上部是等腰直角三角形 要求框架围成的总面积8 m 2 问x 、y 分别为多少(保留根号) 时

用料最省?

三、课堂练习：课本P91练习1～3

五、回顾小结：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案.

六、课外作业：课本P91习题3.4：8～9 课课练

1.证明：22222a b a b ++≥+．

2.已知0x >，求x

x y 432--=的最大值．(条件改为：0≠x ，求值域)