选修1-1-第三章-《导数及其应用》教案

第三章 导数及其应用 备课人 周志英

3.1 导数的概念

教学目的

1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；

2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法

3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点

导数的概念是本节的重点和难点 教学过程

一、前置检测(导数定义的引入)

1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？

在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42

++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平

均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？

我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉

表格1 格 2

0<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内

0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内

()()()1

.139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆=

∆+-∆+-=t t

t t t t h h v ()()()1

.139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-=

-∆+-∆+=t t

t t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051； 当=∆t 0.01时，-=v 13.149； 当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51；

当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49；

当-=∆t 0.000 01时，-=v 13.099 951； 当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1； 当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9； 。。。。。。

。。。。。。

问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2） 关于这些数据，下面的判断对吗？

2．当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。

3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度；

5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1s m /。

分析:2=t 秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1s m /。

这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1s m /，现在我们一起回忆一下是如何得到的：

首先，算出[]t ∆+2,2上的平均速度

()()t

h t h ∆-∆+22=1.139.4-∆-t ，接着观察当t ∆趋近

于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，我们用

()()1.1322lim 0-=∆-∆+→∆t

h t h t 表示“当2=t ，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于确定值-13.1”。

思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？

结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．

从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于实际的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)

lim

13.1t h t h t

∆→+∆-=-∆

表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 二、精讲点拨（互动探究）

函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率如何表示？ 导数的定义（板书）

函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x

x f x x f x f

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000，

我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数，记作()0'

x f 或0

|'x

x y =，

即()0'

x f

=x

x f x x f x

f

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)

()(lim

lim

000

。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为

()1.132'-=h 或1.13|'2-==t y 。

附注：①导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：()x f

'

=x

x x f x f x y

x x ∆∆--=∆∆→∆→∆)()(lim )(lim

0000

； ()x f

'

=00)()(lim )(lim

00x x x f x f x y x x x

x --=∆∆→→；()x f '

=x

x f x x f x ∆--∆-→∆-)()(lim 000； 0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000

()()

()lim

x f x f x f x x x ∆→-'=-

③求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。 例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.

分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2

, 再求6f x x

∆=+∆∆再求0

lim 6x f x

∆→∆=∆

解：法一（略）； 法二：222211113313(1)

|lim

lim lim3(1)611

x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2

在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：x x

x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32

)1()1(2 200(1)(1)2

(1)lim

lim (3)3x x y x x f x x x

∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2

()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第

2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'

(2)f 和'

(6)f 根据导数定义，

0(2)()f x f x f

x x

+∆-∆=

∆∆