微积分习题课二重积分

第九章 二重积分 习题课
一、主要内容
二、典型例题
高
等 一、主要内容
数
学二
电重
子
积 分
教
案
定义 定义
几何意义 几何意义
三
性质 性质
重
积
计算法 计算法
分
应用 应用
高
等 1、二重积分的定义
数 定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将
学 闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ，
数 （１）直角坐标系下
学 ［X－型］ D : a x b, 1( x) y 2( x).
电 子
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
a
1( x)
D
教
X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
案
高
等 数 ［Y－型］ D : c y d, 1( y) x 2( y).
电 薄片对 z 轴上单位质点的引力 F {Fx , Fy , Fz },
子 Fx
f
D
(
x
(
2
x, y2
y)
x a
2
)
3 2
d
,
Fy
f
D
(
x
(
2
x, y2
y)
y a
2
)
3 2
d
,
教 案
Fz
af
D
(
x2
( x, y2
y) a2
3
)2
d
.
f 为引力常数
高
等 6、三重积分的定义
数
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界函
的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y, z)在闭区域
教 上的三重积分，记为 n
案
f
( x,
y, z)dv
lim
0
f (i ,i , i )vi .
i 1
高
等 7、三重积分的几何意义
学 电
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
子 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.
教
案
高
等
（２）极坐标系下
数
学 D1 : , 1( ) r 2( ).
电 f (r cos ,r sin )rdrd
教
曲面S的面积为 A
1
z 2
x
z y
2dxdy;
案
Dxy
高
等 (3) 重心
数
设有一平面薄片，占有xoy 面上的闭区域D ，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在
学 D 上连续，平面薄片的重心为
电
x( x, y)d
x D
,
( x, y)d
子
D
y( x, y)d
数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域v1 ，v2 ,
学 , vn，其中vn表示第i 个小闭区域，也表示它的
电
体积, 在每个vi 上任取一点(i ,i , i ) 作乘积
f (i ,i , i ) vi ，(i 1,2, , n)，并作和, 如果当各
子
小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时，这和式
y D
.
( x, y)d
D
当薄片是均匀的，重心称为形心.
教 案
x
1 A
D
xd
,
y
1 A
D
yd
.
其中
A d
D
高
等 (4) 转动惯量
数
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域D ，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在
学 D 上连续，平面薄片对于x 轴和y 轴的转动惯量为
大值和最小值， 为 D 的面积，则
数
m f ( x, y)d M
D
学
（二重积分估值不等式）
电 性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域D 上连续， 为D
的面积，则在 D 上至少存在一点( , ) 使得
子
f ( x, y)d f ( ,) .
D
教来自百度文库
（二重积分中值定理）
案
高
等 ４、二重积分的计算
子 f (r cos ,r sin )rdrd
教
D3
2
( )
案
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
高
等 5、二重积分的应用
数 (1) 体积
在曲面 z f ( x, y) 与区域 D 之间直柱体
学 的体积为
电
V f ( x, y)dxdy.
D
子 (2) 曲面积
设S曲面的方程为：z f ( x, y).
D
D1
D2
学 性质４ 若 为D的面积 1 d d .
D
D
电 性质５ 若在D上， f ( x, y) g( x, y)
子
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
教 特殊地 f ( x, y)d f ( x, y)d .
案
D
D
高
等 性质６ 设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的最
D1
子 教
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
案
高
等 D2 : , 0 r ( ).
数 f (r cos ,r sin )rdrd
D2
学
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
电 D3 : 0 2 , 0 r ( ).
n，其中 i 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，
电 在每个 i 上任取一点(i ,i ) ，
子 作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2, , n)，
n
教 并作和 f (i ,i ) i ， i 1
案
高
等
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
学
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
D
D
电
子
性质２
[ f ( x, y) g( x, y)]d
D
教
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
案
高
等 性质３ 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
数
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
数 f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分，
记为 f ( x, y)d ，
学
D
n
电
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i
)
i
子
２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
教 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的
负值．
案
高
等 ３、二重积分的性质
数 性质１ 当 k 为常数时，
电 薄片对于x轴的转动惯量
子
Ix y2 ( x, y)d , D
薄片对于y轴的转动惯量
教
I y x2 ( x, y)d .
案
D
高
等 (5) 引力
数
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域D ，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在
学
D 上连续，计算该平面薄片对位于z 轴上的点 M0(0,0,a)处的单位质点的引力．(a 0)