数理方法第二版前三章习题-谷超豪

7. 验证u (x, y, t) = 1 t2 − x2 − y 2 ∂2u ∂2u ∂2u = + 2. ∂t2 ∂x2 ∂y
在锥t2 − x2 − y 2 > 0中满足波动方程
解: 显然,
∂u t , =− ∂t (t2 − x2 − y 2 )3/2 ∂2u 3t 2 − t2 − x2 − y 2 = 5/ 2 2 2 2 ∂t2 (t − x − y )
− 3/2 − 3/2
类似的,
∂2u 3x2 + t2 − x2 − y 2 = 5/ 2 2 2 2 ∂x2 (t − x − y ) 2 ∂ u 3y 2 = + t2 − x2 − y 2 5/ 2 2 2 2 ∂y 2 (t − x − y )
, ,
− 3/2
代入即得所证.
§2. 达朗贝尔公式、波的传播
1. 证明方程 ∂ ∂x 1− x h
2
∂u ∂x
=
1 x 1− 2 a h
2
∂2u , ∂t2
的通解可以写成
u(x, t) =
F (x − at) + G(x + at) h−x
其中h > 0为常数, F , G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数，并由此求解它的初值问题: ∂v t = 0 : v = (h − x)ϕ(x), = (h − x)ψ (x) ∂t 解: (1) 令v (x, t) = (h − x)u(x, t),则 v (x, t) 满足方程 2 ∂2v 2∂ v = a ∂t2 ∂x2
x−at
2. 问初始条件ϕ(x)与ψ (x)满足怎样的条件时,齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成?
解: 由达朗贝尔公式的推导可知,
G(x) = ϕ(x) 1 + 2 2a
x
ψ (ξ )dξ + C
x0
而左传播波由G(x + at)构成,要使只有右传播波,则应有G(x) ≡ 常数,即G (x) = 0,所以所满足的 约束条件为 aϕ (x) + ψ (x) ≡ 0
证明:
(1) 根据非齐次问题解的表达式可知,影响区域为 {(x, t) |t 0, x1 − at x x2 + at }
如图所示,影响区域外的任何一点(x, t)必满足x < x1 − at或x > x2 + at，其依赖区间与[x1 , x2 ]完 全无关.因此,[x1 , x2 ]上初始条件的变化不会引起影响区域以外的任何一点的解的变化;
其中ϕ0 (0) = ψ (0). 解: 方程的通解为
u (x, t) = F (x − t) + G (x + t)
-5-
1.2 习题选讲
当x − t > 0时,根据达朗贝尔公式的推导有, 1 1 u (x, t) = (ϕ0 (x + t) + ϕ0 (x − t)) + 2 2 当t = x时,它应与达朗贝尔公式一致,即 1 1 F (0) + G(2x) = (ϕ0 (2x) + ϕ0 (0)) + 2 2 当t = kx时,根据边界条件,有
但此时对x1
x
x2 成立ϕ(x) = ψ (x) = 0,因此上式等于零.即得所证.
图 1-3 5. 求解
图示
2 utt − a uxx = 0, x > 0, t > 0, u|t=0 = ϕ (x) , ut |t=0 = 0, (ux − kut )|x=0 = 0,
Байду номын сангаас
其中k 为正常数. 解: 方程的通解为
3. 利用传播波法,求解波动方程的古沙(Goursat)问题 2 2 ∂ u 2∂ u = a , ∂t2 ∂x2 u|x−at=0 = ϕ (x) , u|x+at=0 = ψ (x) , (ϕ (0) = ψ (0)) .
解: 方程的通解为 u(x, t) = F (x − at) + G(x + at),利用定解条件,可得 u|x−at=0 = F (0) + G (2x) = ϕ (x) u|x+at=0 = F (2x) + G (0) = ψ (x) x x 从而F (x) = ψ − G (0) , G (x) = ϕ − F (0) , 又因为u(0, 0) = ϕ(0) = ψ (0),于是F (0) + 2 2 G(0) = ϕ(0) = ψ (0).因此 x + at x − at u(x, t) = F (x − at) + G(x + at) = ϕ +ψ − ϕ (0) . 2 2
-3-
1.2 习题选讲
因此, 根据达朗贝尔公式, v (x, t)的通解可写为 v (x, t) = F (x − at) + G(x + at),从而 F (x − at) + G(x + at) u(x, t) = h−x
(2) 根据上述变换, v (x, t)所满足的初始条件为 t = 0 : v = (h − x)ϕ(x), ∂v = (h − x)ψ (x) ∂t
其中σ = k /ES . 类似的,对x = l 端,有
− ∂u + σu ∂x
2
= 0.
x= l
3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 ∂ x E 1− ∂x h
∂u ∂x
=ρ 1−
x h
2
∂2u , ∂t2
其中h 为圆锥的高. 证明: 此时S (x) = S0 1 −
x h
2
,其中S0 为圆锥枢轴的底面积.根据第1题的推导,即得所证.
1 1 − ak ak u (x, t) = φ (x + at) + φ (at − x) + φ (0) , 2 2 (1 + ak ) 1 + ak 6. 求解初边值问题 utt − uxx = 0, 0 < t < kx, k > 1, u| x 0, t=0 = ϕ0 (x) , ut |t=0 = ϕ1 (x) , x 0, ut |t=kx = ψ (x) , 0 < x < at
1.2 习题选讲
§1. 方程的导出、定解条件
1. 细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x, t) 表示静止时在x 处的点在时刻t 离开 原来位置的偏移.假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律,试证明u(x, t) 满足方程 ∂ ∂u ∂ ∂u ρ (x) = E , ∂t ∂t ∂x ∂x
x+at
因此
v (x, t) = 1 1 ((h − x + at)ϕ(x − at) + (h − x − at)ϕ(x + at)) + 2 2a (h − ξ )ψ (ξ )dξ,
x−at x+at
从而
u(x, t) = 1 2(h − x) ((h − x + at)ϕ(x − at) + (h − x − at)ϕ(x + at)) + 1 a (h − ξ )ψ (ξ )dξ .
解: 设杆的两个端点坐标分别为0 和l .
(1) 端点固定：此时两个端点无位移,即 u(0, t) = u(l, t) = 0 ; ∂u (2) 端点自由：此时两个端点无约束,根据上题,拉力E (x) (x, t) S = 0 ,即 ∂x ∂u ∂u (0, t) = (l, t) = 0; ∂x ∂x (3) 端点固定在弹性支承上：此时端点所受外力与弹性支承的变形成比例.若支承的弹性系数为k ∂u ,则支承对杆的左端点x = 0 处的作用力为E (0) (0, t) S ,且其正向与x 轴方向相反,因此有 ∂x ∂u E (0) (0, t) S = ku(0, t), ∂x 或写为 ∂u − + σu = 0; ∂x x=0
u (x, t) = F (x − at) + G (x + at)
当x − at
0时,有 u (x, t) =
1 (φ (x − at) + φ (x + at)) , 2
x
at,
当x − at < 0时,根据边界条件,有 ux − kut |x=0 = (1 + ak ) F (−at) + (1 − ak ) G (at) = 0 从而可得,
F ((1 − k ) x) + G ((1 + k ) x) = ψ (x)
图 1-2
图示
4. 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定,在它自身重力的作用下,此线处于铅垂的平衡位置,试导出 此线的微小横振动方程.
-2-
第一章 波动方程
解: 根据弦的微小横振动方程,有
ρ ∂2u ∂ = 2 ∂t ∂x T (x) ∂u ∂x
其中T (x)为弦的内部张力.在本题中,T (x) = ρg (l − x) ,故有 ∂2u ∂ ∂u =g (l − x) . 2 ∂t ∂x ∂x
-1-
1.2 习题选讲
其中x∗ ∈ (x, x + ∆x).约去∆x并令∆x → 0,即得 ∂ ∂u ∂ ρ (x) S (x) = ∂t ∂t ∂x 当S (x)为常数时，即为
∂ ∂t ρ (x) ∂u ∂t = ∂ ∂x E ∂u ∂x ,
E (x) S (x)
∂u ∂x
2. 在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支承上,试分别导出这三种 情况下所对应的边界条件.
4. 对非齐次波动方程的初值问题(2.5),(2.6),证明:当f (x, t)不变时, (1) 如果初始条件在x轴的区间[x1 , x2 ]上发生变化,那么对应的解在区间[x1 , x2 ]的影响区域以外 不发生变化; (2) 在x轴区间[x1 , x2 ]上所给的初始条件唯一地确定区间[x1 , x2 ]的决定区域中解的数值.
5. 一柔软均匀的细弦,一端固定,另一端是弹性支承.设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小 的横振动,试写出弦的位移所满足的定解问题.
解: 此时所受外力为阻力F (x) = k
∂u ,因而有 ∂t ∂2u ∂2u ∂u T 2 − ρ 2 = −k ∂t ∂x ∂t
假设固定端为x = 0,有u(0, t) = 0; ∂u = 0. 对于弹性支承端x = l,有 + σu ∂x x= l 6. 若F (ξ ),G(ξ )均为其变元的二次连续可导函数,验证F (x−at),G(x+at)均满足弦振动方程(1.11). 解: 参见第二节.
第一章 波动方程
第一章
1.1 学习要求
波动方程
(1) 理解弦振动方程的物理意义，定解条件的物理意义. (2) 理解波的左右传播,理解依赖区间,决定区域和影响区域的概念,掌握齐次化原理. (3) 理解波动方程分离变量法解的物理意义,掌握非齐次边界条件的齐次化方法. (4) 理解膜振动方程的物理意义，掌握球平均法和降维法. (5) 熟练掌握达郎贝尔公式和分离变量法的推导过程,会应用这两种方法求解定解问题. (6) 熟练和非齐次边界条件的齐次化方法.
-4-
第一章 波动方程
(2) 类似的,只要证明齐次方程若在[x1 , x2 ]中给出ϕ(x) = 0,ψ (x) = 0,则在[x1 , x2 ]的决定区域中任 一点(x, t)上有u(x, t) = 0.事实上,对决定区域中任一点(x, t)成立x1 + at < x < x2 − at,因此成 立x − at > x1 以及x + at < x2 ,而柯西问题的解可表示为 x+at 1 1 u (x, t) = (ϕ (x − at) + ϕ (x + at)) + ψ (ξ ) dξ. 2 2a x−at
图 1-1
图示
设x ¯ 为微元重心,则重心处加速度为
∂2u (¯ x, t),由牛顿第二定律得, ∂t2 ∂u ∂2u ∂u x, t) = E (x + ∆x) S (x + ∆x) ρ (¯ x) S (¯ x) ∆x 2 (¯ (x + ∆x, t) − E (x) S (x) (x, t) ∂t ∂x ∂x ∂ ∂u ∗ = E (x∗ ) S (x∗ ) (x , t) ∆x ∂x ∂x
其中 ρ 为杆的密度,E 为杨氏模量.
∂u 证明: 如图建立坐标系,选取杆上一段微元(x, x + ∆x) ,则微元两端的相对伸长分别为 (x, t) ∂x ∂u ∂u 和 (x + ∆x, t) . 假设杆的横截面面积为S ,则微元两端所受拉力分别为E (x) (x, t) S (x) ∂x ∂x ∂u ∂u 和E (x + ∆x) (x + ∆x, t) S (x + ∆x) . 因此所受合力为E (x + ∆x) (x + ∆x, t) S (x + ∆x) − ∂x ∂x ∂u E (x) (x, t) S (x),且正向与坐标轴相同. ∂x