(2)当a 为何值时,MN 的长最小; (3)当MN 长最小时,求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小。
解析:(1)作MP ∥AB 交BC 于点P ,NQ ∥AB 交BE 于点Q ,连接PQ ,依题意可得MP ∥NQ ,且MP=NQ ,即MNQP 是平行四边形。∴MN=PQ,由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1,
∴2==BF AC ,
21,21a BQ a CP ==, 即2
a
BQ CP ==, ∴=
+-==22)1(BQ CP PQ MN )20(2
1
)22()2
(
)2
1(222<<+-
=+-
a a a a (2)由(1)知: 2
222==
MN a 时,当,的中点时,分别移动到即BF AC N M ,, 2
2
的长最小,最小值为
MN
(3)取MN 的中点G ,连接AG 、BG ,∵AM=AN,BM=BN ,∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ,
∴∠AGB 即为二面角α的平面角。又4
6
==BG AG ,所以由余弦定理有
314
6
4621
)46
()46(
cos 22-=•
•-+=
α。故所求二面角)3
1
arccos(-=α。 例3. 如图,边长均为a 的正方形ABCD 、ABEF 所在的平面所成的角为)2
0(π
θθ<<。点M 在AC 上,点N 在BF 上,若AM=FN ,(1)求证:MN ⊥
解析:(1)如图,
作
A
MG ⊥⊥MPN ∠θ=∠MPN θ
cos )(2)(22x a x x a x MN ---+=22)cos 1(21)2)(cos 1(2a a x θθ-+-+=2a
x =
a )cos 1(2
1
θ-图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M
在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM=x ,BN=y, ).2,0(<解析:在面ABCD 中作MP ⊥AB 于P ,连PN ,则MP ⊥面ABEF ,所以MP ⊥PN ,PB=1-AP=x 2
2
在∆PBN 中,由余弦定理得:PN 2=022
45cos 2)2
2(
xy y x -++ xy y x -+=
22
21,在PMN Rt ∆中,MN=xy y x x PN MP -++-=+222222
1)221( 1222+--+=x xy y x ).2,0(<(2)MN 1222+--+=x xy y x 3
1
)322(43)2(22+-
+-x x
y ,
故当322=x ,32=
y 时,MN 有最小值3
3
。且该最小值是异面直线AC ,BF 之间的距离。
例5. 如图,在ΔABC 中,∠ACB =90°,BC =a,AC =b,D 是斜边AB
A
B
F
E
C
D
P
N
M
上的点,以CD 为棱把它折成直二面角A —CD —B 后,D 在怎样的位置时,AB 为最小,最小值是多少
解析: 设∠ACD =θ,则∠BCD =90°-θ,作AM ⊥CD 于M ,BN ⊥CD 于N ,于是AM =bsin θ,CN =asin θ.
∴MN =|asin θ-bcos θ|,因为A —CD —B 是直二面角,AM ⊥CD ,BN ⊥CD ,∴AM 与BN 成90°的角,于是AB =
22222)cos sin (cos sin θθθθb a a b -++=θ222sin ab b a -+≥ab b a -+22.
∴当θ=45°即CD 是∠ACB 的平分线时,AB 有最小值,最小值为
ab b a -+22.
例6. 正三棱锥A-BCD ,底面边长为a ,侧棱为2a ,过点B 作与侧棱AC 、AD 相交的截面,在这样的截面三角形中,求(1)周长的最小值;(2)周长为最小时截面积的值,(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.
解析:(1)沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1,当周长最小时,EF 在直线BB ′上,∵ΔABE ≌ΔB ′AF ,∴AE =AF ,AC