自感互感磁场能量

例 在相距为 2a 的两根无限长平行导线之间，有一半径为 a
的导体圆环与两者相切并绝缘。
求 互感系数
解 M12 M 21 M
设电流
Φm
IB B dS
S
0I
2π BdS
S
a
1
r
1 a
r
I
a a
0I
2π
a
1
r
a
1
r
2
a2 r2dr
20Ia
M
Φm I
20a
2a
a
Or I
仅与两回路本身形状、大小、两者相对
位置及所处介质有关，若回路周围不存
在铁磁质， M 与电流 I 无关。
(3) 线圈之间的连接 —— 自感与互感的关系
• 线圈的顺接 2 （磁场相互加强)
L2
dI dt
M
dI dt
1
L1
dI dt
M
dI dt
1 2 (L1 L2
线圈顺接的等效总自感
2M ) dI dt
2π
a 2
互感系数 M Φm 0a ln3
I 2π
互感电动势
M
dI dt
0a
2π
ln3I
0cost
dr r
例 计算共轴的两个长直螺线管之间的互感系数 1
设两个螺线管的半径、长度、
匝数为 R1,R2 ,l1,l2 ,N1,N2
l1 l2 l ,R1 R2
2
解 设直螺线管1通有I1
B1
0 N1I1
• 互感和自感的关系
l2
0 K 1 有漏磁存在
M K L1L2 K为耦合系数
K 1 无漏磁存在
例如长直螺线管，若 l1 l2 l ,R1 R2
M
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0N1N2 π
l
R22
K
M L1L2
R2 R1
1
L1L2
0 N1N2π
l
R1R2
—— 反映有漏磁存在
如 l1 l2 ,R1 R2
K 1 —— 反映无漏磁的情况
• 涡流 由于变化磁场激起感生电场，则在导体内产生感应电流。 这些感应电流的流线呈闭合的涡旋状，故称涡电流(涡流)
交变电流
交变电流
整块 铁芯
彼此绝缘 的薄片
• 高频感应加热原理：由于大块金属电阻很小，形成涡电流 很大，相应的焦耳热也很大，用来冶炼金属
• 减小电流截面，减少涡流损耗：在电机和变压器铁芯内涡电流 产生无用热量。常用彼此绝缘的薄片，增大电阻，减小涡电流
l
Ψ21 N2B1π R22
0N1N2 π
l
R2 2 I1
同理设直螺线管2通有电流 I2
B2
0 N2 I 2
l
Ψ12 N1B2π R22
M 21
0N1N2 π
l
R22
M12
0N1N2 π
l
R22
M12 M 21 M
思考？
R1 R2 R, l1 l2
M12 M 21
2
l1 1
见book
Ψ LI
L ——自感系数
自感 L 是反映线圈本身的电磁性质的物理量，如果回路周围 不存在铁磁质，自感 L 与电流 I 无关，仅由回路的匝数、几 何形状和大小以及周围介质的磁导率决定。
3. 自感电动势
自感电动势
＝
L
d
dt
d(LI ) dt
L dI dt
I dL dt
对一般不含铁磁质的回路，L为常数
L
L dI dt
例 设一载流回路由两根平行的长直导线组成。
1
2
求 这一对导线单位长度的自感L
d a
解 由题意，设电流回路 I
a
BP
0I
2π r
2π
0I
(d
r)
两导线间长为 h
的面积内磁通量：Φm
da B dS
a
I
Ih
r
P
Φm
da[ 0I 0I ]hdr
a 2πr 2π(d r)
• 互感电动势
21
d(M 21I1) dt
M 21
dI1 dt
I1
dM 21 dt
若回路周围不存在铁磁质
且两线圈结构、相对位置 及其周围介质分布不变时
21
M 21
dI1 dt
同理
12
M12
dI2 dt
讨论
(1) 可以证明： M 21 M12 M
L1
L2
(2) 互感反映了线圈本身的电磁性质。 M
通交流电的电磁铁 真空环
§10.3 自感 互感
一. 自感现象 自感系数 自感电动势
1. 自感现象
线圈电流变化 I I (t)
穿过自身磁通变化 Φm (t)
I
B
在线圈中产生感应电动势
dΦm
dt
—自感电动势遵从法拉第定律
2. 自感系数
根据毕 — 萨定律可知空间任意点的B与I 成正比，因此穿过 线圈自身总的磁通量与电流 I 成正比
dΦm
BdS BdS
0r I
2πr
ldr
I R2
r
dS l
Φm
R2 0r I ldr 0r Il ln R2
R1 2πr
2π R1
r
L Φm 0r ln R2
Il 2π R1
例 如图的长直密绕螺线管，已知 l，S，N，，
求：自感
解
设电流 I
，根据安培环路定理求得
H
B
Φm
L
nN l
dr
§10.4 磁场能量
一. 磁能的来源
• 实验分析
K
R
L
K R
L
结论：在原通有电流的线圈中存在能量 —— 磁能
电源克服自感电动势作功转化为磁能储存在线圈中
• 自感磁能的计算
在t 时刻，回路电流i(t )，感应电动势L，则电源在dt时间内克
服自感电动势L 所作的元功为：dA Lidt
B H nI
I
m NΦm NBS N N IS
l
L m N2 S
I
l
二. 互感
B1
线圈 1 中的电流变化
引起线圈 2 的磁通变化
I
线圈 2 中产生感应电动势
L1
根据毕 — 萨定律
L2
穿过线圈 2 的磁通量正比于 线圈1 中电流 I
Ψ21 M 21I1 M21是回路1 对回路2 的互感系数
L dI dt
L L1 L2 2M
L1
L2
•线圈的反接 L L1 L2 2M
例 一无限长导线通有电流 I I0sint 现有一矩形线
框与长直导线共面。（如图所示）
求 互感系数和互感电动势
I 3a
解 B 0I
2π r
穿过线框的磁通量
2
a
Φm
3a/2 BdS 0Ia ln3
a/2
• 电磁阻尼
• 电子感应加速器
电子感应加速器是利用感生电场对电子进行加速的设备。
原理：在 圆柱形电磁铁的两极N、S 间隙中安放一个环形真空 室，由电子枪射入真空室中的电子 : (1) 受磁场的洛仑兹力控制在真空室圆轨道上运行; (2) 利用变化磁场产生的感生电场使电子加速，一般小 型电子感应器可将电子加速到几十万电子伏特，大型的 可达数百万电子伏特。
d r
0Ih ln d a
π
a
L m 0 ln d a
Ih π a
例 同轴电缆由半径分别为 R1 和R2 的两个无限长同轴导体圆柱面
组成，其间充满磁介质，内外通过电流大小相等，方向相反
求 无限长同轴电缆单位长度上的自感
I
解 由安培环路定理可知
R1
R1 r R2
B 0rI
2π r
r R1,r R2 B 0