电感磁场能量与力解读
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电感
（1）单匝回路的 自感与互感
问题的引出：设细导线
回路l2处于磁场中，包
围的磁通为
2
B dS
S2
如果磁场是时变的，则回路感应电动势为
e2
d2
dt
d dt
B dS
S2
如果该磁场是由另一回路l1产生的，我们希望得出e2
与回路1中激励电流I1之间的关系。
当然可以通过毕－萨定律计算B，然后求磁通。但
1 I
a 0
0 3 I 2 a2
ld
0l 8
内自感与导体直径无关
总电感为：
L
L0
Li
0l 2
ln
b a
0l 8
例15 设传输线的长度为 l , 试求 图示两线传输线的自感。
解1：总自感 内自感
L 2Li L0
Li
0l 8
设
I
H
I
2x
2 (
I D
x
) e
B
0 H
0 B dS
0I
D R
R
1
2x
2
(
1 D
x
)
ldx
0Il ln D R R
L0
0
I
0l ln D R R
解2：选12为Z方向
Aa12
0I 2
ln
R r0
ek
Ab12
0I 2
ln
D r0
R
ek
Aa34
0I 2
ln
D r0
R
ek
Ab34
0I 2
ln
R r0
ek
b
a
4
1
3
2
A12
0I 2
ln
D R
R
ek
A34
0I 2
I
I
m m B dS abR 0I ( 1 1 )cdx
aR 2 x D x 0Ic ln (a b R)(D R a)
2 (R a)(D R a b)
b
a
c
2R
D
M m 0c ln (a b R)(D R a) I 2 (R a)(D R a b)
Wm
1 2
LI 2
L 2Wm I2
如果磁场储存的能量能够求出，则可计算电感。此
法在数值技术中非常有用。
• 互感的正负问题： 互感的正负取决于回路相对位置和参考方向的选取。 按参考方向通入电流，若磁通相互加强，则为正；若 相互抵消，则为负。
1) 铁板放在两线圈 的下方,互感是增加 了,还是减少了？
存在更简单的方法：2
B dS
S2
A dl
l2
由于 A 0 I1dl1
4 R l1 12
同电容类似，互
故
2
0 I1 4
l2
dl1 dl2
R l1
12
MI1
感只是回路几何 因素和介质分布 的函数。稍有区
其中 M 2 0
I1 4
dl1 dl2 —互感
R l2 l1
12
别的是，与回路 参考方向有关。
例18 计算长直导线对中间线框
的互感。
1
b a
0I 2ydx 2 x
2
c b
0I 2ydx 2 x
tg y
xa
tg y
cx
1
0 I 2
(b
a)tg
0 Ia 2
tg
ln
b a
I
a
d
b
2
0 I 2
(c
b)tg
0 Ic 2
tg
ln
c b
c
0 Id
c c a
ln
c b
a ln ca
b a
导线 B 的作用
导线 A的作用
B 0I 2
mA mA
B dS 0 Il ln AD
S
2 AC
mB
mB
0 I 2
l
ln
BC BD
由于这两个部分磁通方向相同
m
mA
mB
0I 2
l
ln
AD BC AC BD
M m 0l ln AD BC I 2 AC BD
解2：选B D电流方向为Z方向
与全部电流铰链的磁通称为
外磁链 o 。相应的自感称为 外自感 Lo 。
只与部分电流铰链的磁通称
为内磁链 i 。相应的电感称
为内自感 Li 。
同轴电缆截面
分数匝数： N I I
d i Nd
例14 计算长为 l 的同轴电缆的电感。（忽略外导体厚度） 解：先计算外自感。
B 0I , (a b) 2
4
R l2 l1
12
L 0N 2
dl dl
4 l l R
N1是对 的贡献，N2是对 的贡献。
例13 试求单位长度长直螺线管的自感。设单位长 度匝数为n，半径为a。
B 0H n0I BS 0nI a2 L n / I 0n2 a2
（3）分布电流、内自感与外自感
如果电流是体分布的，各部分 电流铰链的磁通将有所不同。
ln
D
R
R
来自百度文库
ek
B dS A dl + A dl
12
34
0Il ln D R 0Il ln D R R
L0
I
0l ln D R R
Li
0l 8
L Lo 2Li
例 16 试求图示两对传输线的互感。
解1：根据互感定义，只需假设一对传输线 的电流方向；另一对传输线的回路方向。
AC
0I 2
ln
AC BC
ek
AD
0I 2
ln
AD BD
ek
C
D
B dS A dl + A dl = 0Il ln AD BC
D'D
CC '
2 AC BD
L0
I
0l ln 2
AD BC AC BD
例17 计算两平行长直导线对中 间线框的互感。
B 0I 0I 0I (1 1 ) 2 x 2 (D x) 2 x D x
诺埃曼（聂以曼）公式
因此，回路l2中的感应电动势可以写为
e2
d
dt
M
dI1 dt
类似，回路l1在自身包围的面积上产生的磁通为
故
1
0 I1 4
l '1
l1
dl1 dl1 R11
LI1
dl1
l1
l1 ' R11
dl1 '
其中 L 1 0
dl1 dl1 —自感
I 4 R 1
l '1 l1
M
I
0d
c
c
a
ln
c b
c
a
a
ln
b a
（4）电感的计算方法
• 一般思路：
设
I
H
B H
B dS (or Adl)
L
I
• 线状电流回路：
使用诺埃曼公式：
M 0N1N2
dl1 dl2
4
R l2 l1
12
L 0N 2
dl dl
4 l l R
（4）电感的计算方法
• 能量的方法：
11
I
回路l1中的自感电动势为
e1
L
dI1 dt
（2）多匝回路、磁链
以上是单匝回路的情形。如果回路l2有N2匝，不难 理解，
e2
N2
d 2
dt
d(N22 )
dt
d 2
dt
其中 N —— 磁链
此时， M 2 / I1
L 1 / I1
如果回路l1有N1匝，则诺埃曼公式变为
M 0N1N2
dl1 dl2
N 1
d 0 N 'd0 d0 B dS 0I ld
2
L0
0
I
1 I
b 0I ld 0l ln b
a 2
2 a
同轴电缆截面
同轴电缆的电感。（忽略外导体厚度）
再计算内自感。
I
2I
a2
,
(0
a)
B
0 I 2 a2
N
2
a2
d i
N d
2
a2
B dS
0 3 I 2 a2
ld
Li
i
I
（1）单匝回路的 自感与互感
问题的引出：设细导线
回路l2处于磁场中，包
围的磁通为
2
B dS
S2
如果磁场是时变的，则回路感应电动势为
e2
d2
dt
d dt
B dS
S2
如果该磁场是由另一回路l1产生的，我们希望得出e2
与回路1中激励电流I1之间的关系。
当然可以通过毕－萨定律计算B，然后求磁通。但
1 I
a 0
0 3 I 2 a2
ld
0l 8
内自感与导体直径无关
总电感为：
L
L0
Li
0l 2
ln
b a
0l 8
例15 设传输线的长度为 l , 试求 图示两线传输线的自感。
解1：总自感 内自感
L 2Li L0
Li
0l 8
设
I
H
I
2x
2 (
I D
x
) e
B
0 H
0 B dS
0I
D R
R
1
2x
2
(
1 D
x
)
ldx
0Il ln D R R
L0
0
I
0l ln D R R
解2：选12为Z方向
Aa12
0I 2
ln
R r0
ek
Ab12
0I 2
ln
D r0
R
ek
Aa34
0I 2
ln
D r0
R
ek
Ab34
0I 2
ln
R r0
ek
b
a
4
1
3
2
A12
0I 2
ln
D R
R
ek
A34
0I 2
I
I
m m B dS abR 0I ( 1 1 )cdx
aR 2 x D x 0Ic ln (a b R)(D R a)
2 (R a)(D R a b)
b
a
c
2R
D
M m 0c ln (a b R)(D R a) I 2 (R a)(D R a b)
Wm
1 2
LI 2
L 2Wm I2
如果磁场储存的能量能够求出，则可计算电感。此
法在数值技术中非常有用。
• 互感的正负问题： 互感的正负取决于回路相对位置和参考方向的选取。 按参考方向通入电流，若磁通相互加强，则为正；若 相互抵消，则为负。
1) 铁板放在两线圈 的下方,互感是增加 了,还是减少了？
存在更简单的方法：2
B dS
S2
A dl
l2
由于 A 0 I1dl1
4 R l1 12
同电容类似，互
故
2
0 I1 4
l2
dl1 dl2
R l1
12
MI1
感只是回路几何 因素和介质分布 的函数。稍有区
其中 M 2 0
I1 4
dl1 dl2 —互感
R l2 l1
12
别的是，与回路 参考方向有关。
例18 计算长直导线对中间线框
的互感。
1
b a
0I 2ydx 2 x
2
c b
0I 2ydx 2 x
tg y
xa
tg y
cx
1
0 I 2
(b
a)tg
0 Ia 2
tg
ln
b a
I
a
d
b
2
0 I 2
(c
b)tg
0 Ic 2
tg
ln
c b
c
0 Id
c c a
ln
c b
a ln ca
b a
导线 B 的作用
导线 A的作用
B 0I 2
mA mA
B dS 0 Il ln AD
S
2 AC
mB
mB
0 I 2
l
ln
BC BD
由于这两个部分磁通方向相同
m
mA
mB
0I 2
l
ln
AD BC AC BD
M m 0l ln AD BC I 2 AC BD
解2：选B D电流方向为Z方向
与全部电流铰链的磁通称为
外磁链 o 。相应的自感称为 外自感 Lo 。
只与部分电流铰链的磁通称
为内磁链 i 。相应的电感称
为内自感 Li 。
同轴电缆截面
分数匝数： N I I
d i Nd
例14 计算长为 l 的同轴电缆的电感。（忽略外导体厚度） 解：先计算外自感。
B 0I , (a b) 2
4
R l2 l1
12
L 0N 2
dl dl
4 l l R
N1是对 的贡献，N2是对 的贡献。
例13 试求单位长度长直螺线管的自感。设单位长 度匝数为n，半径为a。
B 0H n0I BS 0nI a2 L n / I 0n2 a2
（3）分布电流、内自感与外自感
如果电流是体分布的，各部分 电流铰链的磁通将有所不同。
ln
D
R
R
来自百度文库
ek
B dS A dl + A dl
12
34
0Il ln D R 0Il ln D R R
L0
I
0l ln D R R
Li
0l 8
L Lo 2Li
例 16 试求图示两对传输线的互感。
解1：根据互感定义，只需假设一对传输线 的电流方向；另一对传输线的回路方向。
AC
0I 2
ln
AC BC
ek
AD
0I 2
ln
AD BD
ek
C
D
B dS A dl + A dl = 0Il ln AD BC
D'D
CC '
2 AC BD
L0
I
0l ln 2
AD BC AC BD
例17 计算两平行长直导线对中 间线框的互感。
B 0I 0I 0I (1 1 ) 2 x 2 (D x) 2 x D x
诺埃曼（聂以曼）公式
因此，回路l2中的感应电动势可以写为
e2
d
dt
M
dI1 dt
类似，回路l1在自身包围的面积上产生的磁通为
故
1
0 I1 4
l '1
l1
dl1 dl1 R11
LI1
dl1
l1
l1 ' R11
dl1 '
其中 L 1 0
dl1 dl1 —自感
I 4 R 1
l '1 l1
M
I
0d
c
c
a
ln
c b
c
a
a
ln
b a
（4）电感的计算方法
• 一般思路：
设
I
H
B H
B dS (or Adl)
L
I
• 线状电流回路：
使用诺埃曼公式：
M 0N1N2
dl1 dl2
4
R l2 l1
12
L 0N 2
dl dl
4 l l R
（4）电感的计算方法
• 能量的方法：
11
I
回路l1中的自感电动势为
e1
L
dI1 dt
（2）多匝回路、磁链
以上是单匝回路的情形。如果回路l2有N2匝，不难 理解，
e2
N2
d 2
dt
d(N22 )
dt
d 2
dt
其中 N —— 磁链
此时， M 2 / I1
L 1 / I1
如果回路l1有N1匝，则诺埃曼公式变为
M 0N1N2
dl1 dl2
N 1
d 0 N 'd0 d0 B dS 0I ld
2
L0
0
I
1 I
b 0I ld 0l ln b
a 2
2 a
同轴电缆截面
同轴电缆的电感。（忽略外导体厚度）
再计算内自感。
I
2I
a2
,
(0
a)
B
0 I 2 a2
N
2
a2
d i
N d
2
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B dS
0 3 I 2 a2
ld
Li
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I