第九章第1节简谐振动l

v 0.189 m/s
a 1.03 m/s
此时旋转矢量位置如图：
A





(3)通过平衡位置时，x=0，由位置表达式，可得：
0 0.12cos( t
由此可得：

3
)
t

3
( 2k 1)

2
, k 1,2,
5 t 0.83s 6
t (k / 6) /
周期T: Period
A cos( t ) A cos[ (t T ) ]
A cos( t 2 ) T 2 T 2 /
频率ν：
1 T 2
Phase 描述运动状态的量
(3)初相位：
t
φ为初相位，Initial Phase

A
t t 0 0
x A cos( t 0 )
表示出三个特征量 用旋转矢量法处理问题更直观、
x
2.旋转矢量
A

O

动画
x
更方便，必须掌握。
[例题3]一质点沿x轴作简谐振动，振幅 A=0.12m，周期T=2s， 当 t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时向x轴正 向运动。 求：(1)此振动的表达式
解：设该简谐振动的运动方程为
2
1
0
x A cos( t )
根据已知条件求出各量代入上式 即可 由图可知，A=2cm，当t=0时
t ( s)
1
2
x0 2 cos 1cm
1 cos , 2
因为：v0<0,
1s
2 所以 3 2 所 以 3
v0 A sin , 故 sin 0
设 在-π到π之间取值：


3
取哪一个值要看初始条件，由于：
v A sin( t )
所以：
v0 A sin
3
由于t=0时，质点向正 x 方向运动，所以 v0>0 因此，应取：
于是，此简谐振动的表达式： x 0.12cos( t )
利用旋转矢量法求解很直观， 根据初始条件就可画出如图所 示的振幅矢量的初始位置，从 而得到：
3.用余弦函数描述一些振子的振动，若速 度---时间函数关系如图，则振动的初相位 为①π/6；②π/3；③π/2；④5π/6
2 0
v
vM / 2 vM
0
t
vM / 2 x vM
t 0, v 0 v M / 2, v 0 A sin v M / 2
1 5 sin , , , 2 6 6
这时x 0, x A cos (t 0） / 6
4.无阻尼自由简谐振动的周期和频率由 振动系统本身的性质 所 决定。对于给定的简谐振动系统其振幅、初相位由 初始条件 决 定。
1.一弹簧振子作谐振动，总能量为E，如果谐振动振幅增加 为原来的两倍，重物的质量增为原来的4倍，则它的总能量 E变为 A: E/4; B: E/2; C: 2E; D: 4E

A sin
2 A2 x0
写为：
2 2
(1) (2) , 得：
v

2 0 2
A x
2 0
v

2 0 2
(2) /(1),得：
tg v0 / x0
Ф有两个值，需（1） 或（2）进行筛选。
v0 ) 即： argtg( x0
也可直接由（1）或由（2）求出φ。
y
x x
m
Hale Waihona Puke Baidu
y
以 O 为坐标原点: x y y0
x A cos( t )
在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适。
[例题1] 单摆 Simple Pendulum 解：单摆受力如图所示 Ft mg sin 对悬挂点的力矩： 由：

T
Ft
M J
M mgl sin
kA2 2T

T
0
1 2 cos t d t kA 4
2
总能的时间平均值:
1 2 E E k E p kA 2
结论：
1 EK E p E 2
* 弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半。 * 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比 * 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。 这些结论同样适用于任何简谐振动。
以上结果表明： (1)v,a与x的ω相同 (2) vmax
A, amax A
2
(3)a与x方向相反，且成正比 x、v、a相位依次差π/2。 振幅
二、初始条件确定振幅和初相位 初始条件：
t 0, x0 , v0 x0 A cos
v0
(1)
( 2)
v0 A sin
（3）由初状态v0、x0可得出初 相位φ。
（4）尤其判断振动的超前与落后非常直观。
2、旋转矢量表示法 1.参考圆法
Rotating vector method
沿逆时针方向作匀速圆周运动的质点在某一直径上（取 在x轴）的投影的运动为简谐振动。 半径R——振幅A 角速度——角频率ω 初始矢径与x轴的交角—初相位 o t时刻A矢量在x轴上的投影
2
则有：
d x 2 x0 2 dt
k
f
N
m
称作谐振动的微分方程。
o mg x
X
2、运动学方程： 由：
d x 2 x 0, 2 dt
2
振动曲线
可解得： 一般写成： 或：
x C1 sint C2 cost
x A cos( t ) x A sin( t ) 本课程采用余弦形式
第一次通过，取k=1，又由于ω=π/s，所以： 有旋转矢量图可知： 从起始时刻到第一次质点通过原 点，振幅矢量转过的角度为：
A


/ 2 / 3 / 2 5 / 6
故：
5 t / 6

0.83s


[例题4] 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所 x(cm) 示，试写出其运动方程。
2 d 2 ml mgl sin 2 dt
若θ很小，则有：
sin
mg
d2 g 0 2 dt l 2 d 2 即： 0 2 dt
其中：
g l
动画
cos( t )
[例题2] 半径为R的圆环静止于刀口O点上,令其 在自身平面内作微小摆动,证明其摆动为 谐振,并计算其振动周期. 证明:设圆环偏离角度为θ d2 M J J J 2 dt
2 满 足x0 1和v0 0, 故 3
又知 t=1s 时，位移达到正的最大值， 即： 故：
2
1
0
x(cm)
t ( s)
A cos( 1 ) A
1
2
4 2 3
2
1s
因而有：
4 2 x 2 cos( t )(cm ) 3 3
简谐振动的势能：
1 2 1 2 2 E p kx kA cos ( t ); 2 2
简谐振动的总能量：
E Ek E p
1 2 1 2 2 2 kA [sin ( t ) cos ( t )] kA 2 2
Ek
A
Ep
A
1 2 E kA 2
因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动 简谐振动的定义：若质点的位移与时间的关系可以用
x A cos( t ) 表示，质点的运动称为谐振动。
描述简谐振动的物理量A、ω、φ， 称特征量。
x
t
o
x A cos( t )
4、谐振动的三个特征量
(1)振幅A: amplitude 离开平衡位置的最大距离（幅度、范围） (2)角频率ω：angular frequency 振动的快慢
1
画出矢量图：
2 3
2 3
x
五 、简谐振动的能量
简谐振动的动能：
k
m
o x
X
x(t ) Acos( t )
以水平的弹簧振子为例
k/m
1 1 2 2 2 2 E k mv mA si n ( t ) 2 2 1 kA2 si n2 ( t ) 2
1 2 1 1 2 2 E kA , E k ( 2 A) 4( kA ) 4 E 2 2 2
本章作业：9-3， 9-5， 9-10， 9-11
三、坐标原点的选取对于振动方程的影响 (以竖直弹簧振子为例) O 自由端, O 平衡位置 ky0 mg 以 O为坐标原点:
d2 y F ky mg m 2 dt
d k ( y y0 ) ( y y0 ) 0 2 dt m
2
O
y0
m
O
y Acos(t ) y0
3
(SI)
O
x0
v0

x
(2)
v A sin( t ) 0.12 sin ( t )
3

a A cos( t ) 0.12 cos(t )
2
2

3
将 t=T/4=0.5s 代入上两式，以及位移表达式，可求得：
t 0.5s时
x 0.104 m
o

, M Rmg sin
mR2 md 2 2mR2
2 d 2 2m R Rm gsin Rm g 2 dt
d2 g 0 2 dt 2R
因此所作振动为谐振

g 2R
2R T 2 g
四 、谐振动的其它表示法 1、振动曲线法 （1）振动曲线的峰（或谷）对应 的位移的大小即是振幅 . （2）振动曲线上表示振动状态 相同的相邻两点对应的时间间隔 就是周期T 。
§9-1 简谐振动
一、简谐振动的微分方程和运动方程
1、简谐振动的微分方程 幻灯片 5
弹簧振子是理想模型 Spring/harmonic Oscillator 在水平方向上： f kx （负号表示力与位移方向相反） 由牛顿第二定律，有： 令：
k 2, m
2
d x kx m 2 dt
5、位移、速度和加速度的相位关系
x A cos( t )
d x A sin( t ) v dt
a dv 2 A cos( t ) dt
写 成
x A cos( t ) v A cos( t ) 2 2 a A cos( t )
(2)t=T/4时，质点的位置、速度、加速度
(3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间
解:(1)取平衡位置为坐标原点
x A cos( t ) 2 s 1 A亦为已知，只需求φ 其中 T 由t=0s时，x0=0.06m，可得： x0 A cos cos x0 / A 0.06 / 0.12 1 / 2
第九章
振动和波
第九章 振动和波
Vibration and wave
特点：（1）有平衡点，且具有重复性。 （2）周期性—在 T时间内状态能完全重复。 广义的振动—物理量随时间作周期性变化称为振动。 振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、 声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。 机械振动—物体在某一位置附近作往复运动。 机械振动分类 按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。 其中简谐振动是最基本最简单的振动，复杂的振动都可以分 解为一些简谐振动的叠加。
o
弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。
动能的时间平均值:
1 Ek T

T
0
1 2 2 kA sin (t ) d t 2
T 0
kA 2T
2

1 2 sin (t ) d t kA 4
2
势能的时间平均值:
1 EP T

T
0
1 kA2 cos2 ( t ) d t 2