膨胀波与激波
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qm 1 VS A 2 VS VB A
2 1 VB VS 2
A p1 p2 A 1 VS VS VB VS
VS p2 p1 2 2 1 1 p2 1 p1 p1 a1 p2 1 p1 k 1 1 2
dV V
d M 1
2
2 1 (M 2 ) (M1)
2 1
超音速气流流过外凸壁流动
例4-1 一个马赫数为1.4的均匀空气流绕外凸壁膨 胀，气流逆时针方向转折20°，计算膨胀波系后的 最终马赫数。
1. 逆时针偏转，右伸膨胀波系 2. 套公式 2 1 (M 2 ) (M1)
激波的形成及传播速度
基本概念
激波：气体受到强烈压缩后产生的强压缩波，也叫强间断 面（即两侧气体参数发生间断的面）。 参数变化：气流经过激波后，流速减小，相应的压强、温 度和密度均升高。 不可逆的耗散过程
不可逆的绝热过程：粘性、热传导
激波厚度：忽略（2.5×10-5）
激波的分类
(M ) C1
普朗特-迈耶函数
普朗特-迈耶角：由普朗特－迈 耶函数表示的声速气流膨胀到 Ｍ数大于1时的气流折转角。
(M ) 1
max
右伸膨胀波
2
(
k 1 1) k 1
(M ) 1 (M1 ) C2
v 与Ｍ 数之间的关系
马赫波极角Φ ：气流从声速开始膨胀到某一Ｍ数时，膨胀 波束的扇形区所张的角度 Φ 与马赫数有关
M 1 M1 C1
(M )
90
90 (M )
膨胀波束扇形区所张的角度：
2 1
正激波：气流方向与波面垂直，如图(a)； 斜激波：气流方向与波面不垂直，如图(b)； 曲线激波：波形为曲线形，如当超声速气流流过钝头物体 时，在物体前面往往产生脱体激波，这种激波就是曲线激 波，图(c)；
激波的形成
气体每受到一次压缩，声速便增大一次 后面产生的微弱压缩波的传播速度必定比前面的快 强压缩扰动波：由许多微弱压缩波在一定条件下累积而成。 激波形成：气体被压缩而产生的一系列压缩波聚集在一起， 就转化为一道激波
p2 k 1 p2 [1 ( ) ] T2 p k 1 p1 1 p2 k 1 T1 p1 k 1
等熵关系和朗金－雨 贡纽关系
普朗特关系式
1V1n 2V2n
p1 p2 2V22n 1V12 n
k p1 V12 k p2 V22 k k 1 2 RT0 a* k 1 1 2 k 1 2 2 k 1 2(k 1)
p2 p3 pa
p4 pa
p5 p6 pa
膨胀波与压缩波的相交
膨胀波A ′ B和压缩波AB 膨胀波BC和压缩波BC ′
4区：方向一致，压强相等
a b
p3 p2
处理马赫波反射或相交问题的步骤
根据壁面折转情况，确定第一道是膨胀波还是压 缩波 分析波后两区气流方向和压强值的不同，判断产 生第二道波的性质 可用反证法进行讨论（比如是否出现楔形真空区 等） 分析波后两区气流方向和压强值的不同，判断产 生第三道波的性质
A OD sin A dA OD sin( d )
各压缩波的波角是逐渐加大；
M1 M 2 M 3
1 2 3
各压缩波将会相交； 在压缩波未相交之前，气流穿过弱
压缩波系的流动为等熵压缩过程；
激波：熵增加 应用：扩压进气道内壁；压气机超 音速级的叶栅剖面
2
k 1 MdM da 2 k 1 2 a 1 M 2
V M a
dV dM da V M a
dV V
dM 2 k 1 2 2M 2 (1 M ) 2
M 2 1dM d k 1 2 M (1 M ) 2
dV d V M 2 1
k 1 1 k 1 tg (M 2 1) tg 1 M 2 1 C1 k 1 k 1
求
2
及 3 。
膨胀波的相交
膨胀波相交仍为膨胀 波；
两压缩波相交仍为压 缩波。
a b
p p0 ( )
例4-8 如图所示，设空气流
1 的 1 1.2， 1 0 ， a ，求②、③、 b
④区中气流的M数。
膨胀波在自由边界上的反射
自由边界：运动介质和其 它介质之间的切向（平行 于速度方向）交界面； 边界特性：接触面两边的 压强相等； 膨胀波在自由边界上反射 为压缩波； 压缩波在自由边界上反射 为膨胀波
3. 查表
例4-4 设平面超声速喷管出口处气流马赫数Ｍ1=1.4，压
强p1=1. 25×105Pa，外界大气压强pa=1×105Pa。求气流经
膨胀波后的M数及气流外折的角度，以及膨胀波角μ1和μ2。
用到附表1：一维等熵流气动 函数表
Ma1P0 膨胀波角μ1 P2/P0Ma2 膨胀波角μ2 外折角v(Ma2)-v(Ma1)
第四章 膨胀波与激波
赵瑞
主要内容
弱扰动的传播规律 普朗特-迈耶流动
弱压缩波
膨胀波的反射与相交
激波的形成及传播速度
斜激波中气体参数的基本关系式 激波的相交与反射
弱扰动在气流中的传播
膨胀波和激波是超声速气流特有的重要现象。 超声速气流在加速时要产生膨胀波，减速时一般 会出现激波。
a V
a V
a V 0
扰动不再往后传播 局限在以o点为 顶点的圆锥里
马赫锥 o1c1 a 1 马赫角：受扰动区域 sin oo V M V V sin a 1 n 马赫面 1 1 sin 马赫波
M
亚音速直匀流流过机翼
无限小的折角
压缩波
膨胀波
超音速直匀流流过锥体和楔形物
弱压缩波：压强 ；密度 ；速度 膨胀波：压强 ；密度 ；速度
与亚声速有何不同？
如果超声速来流速度沿y方向不均分布：
当地马赫角随当地的Ma数变化，马赫线成曲线形状
二维超声速流场中的马赫线
普朗特—迈耶流动
膨胀波的形成及其特点
A ODsin
流线形状
连续方程：
r* *V* r sin V
V r 1 sin * * r* V q(M )
k 1
1 1 2 k 1 2 k 1 [ (1 M )] q( M ) M k 1 2
1 sin M
r 2 k 1 2 [ (1 M )] r* k 1 2
dp VS a d S
激波增强：传播速度增大
p2 2 k 1 , p1 1 k 1
VS
物体在大气运动的情形：激波减弱 当活塞运动速度＜Ｖs：激波减弱 活塞的运动速度与激波传播速度相同：稳定激波
弓形波
激波角
激波：强压缩波
斜激波的形成：当超声速气流流过内凹的曲壁时，曲壁上 的每一个点都相当于一个折点，而每一个折点都发出一道 微弱压缩波。如果把曲壁 逐渐靠近，极限情况下 与 重合， 这些微弱的压缩波聚集在一起，就形成一道斜激波。
p2 p1 V1n V2n 2V2n 1V1n
1
p1 k 1 2 k 1 2 a* V1 2k 2k
k 1 2 k 1 2 a* V2 2k 2k
膨胀波在直固壁上的反射
膨胀波在固壁上反射为膨胀 波，一般反射角r并不等于入 射角i； 压缩波在固壁上反射为压缩 波；
膨胀波的消失
应用
在超声速风洞的喷管设计中，在接近喷 管出口处，特别需要壁面投射到壁面上 的波的反射
例4-7 如图所示，设空气流的 1 1.2,1 0 , 1
例4-6 设有M1=2.21，p1=0.1×105 Pa的超声速气流，
经内凹曲壁内折了δ=28°。求压缩波后气流的数及
压强，并求第一道和最后一道压缩波的波角μ1和
μ2 。
膨胀波的反射与相交
计算处理方法
把超声速气流经过膨胀波系时连续的无数的无限微弱膨 胀，用若干有限数目但仍是很微弱的膨胀步骤来代替。 超声速气流每经过一步微弱的膨胀，气流的流动方向、 数和压强等诸气流参数都将产生微小的变化。 把原来的连续膨胀分得愈细．数目愈多，计算出来的结 果就愈准确。 压缩波
的速度分量不变，而法向速度
分量减小，气流向着波面转折
激波前后参数关系用图
朗金-雨贡纽关系式
k 1 2 1 p 2 k 1 1 k 1 2 p1 k 1 1
关系式与激波角无 关，适用于各种激 波 等熵关系与朗金-雨 贡纽关系
k 1 p2 1 2 k 1 p1 k 1 p2 1 k 1 p1
普朗特－迈耶流动
平面超声速喷管喷出流动
膨胀波的计算
超声速气流流过外凸壁
'Vn'Vt ' VnVt 0
Vt Vt
'
Vt V cos (V dV ) cos( d ) dV d
V M 1
2
dV tgd V
基本微分方程
a0 T0 k 1 2 1 M 2 T 2 a
激波的形成
激波与弱压缩波的区别
激波是强压缩波，经过激波气流参数变化是突跃的； 气体经过激波受到突然地，强烈地压缩，必然在气体内部 造成强烈的摩擦和热传导，因此气流经过激波是绝能不等 熵流动；
激波的强弱与气流受压缩的程度（或扰动的强弱）有直接
关系。
激波的传播速度
A p2 p1 qm VS VB VS
VS VB
p2 p1
1
1 1 1 2
VB
p2 p1 2 1
12
p1 p2 1 11 1 p1 2
激波强度增加， 传播速度也增加
弱激波：弱压缩波
dp p2 p1 p 2 2 a , 1 2 1 d S 1
A dA OD sin( d )
无限小的折角
流管截面积增大
膨胀波：超声速气流流经由
微小外折角所引起的马赫波
ＯＬ，气流加速，压强和密
度下降。
膨胀波的形成
外折线上的膨胀波
外凸曲线上的膨胀波示意图
1 1 sin M1 1 1 2 sin M2
1
M1 M 2 M 3
激波角β ：斜激波波面与波前来流方向的夹角
1 M 2
arcsin
斜激波中气体参数的 基本关系式
基本方程式
连续方程：1V1n 动量方程：
2V2n
( 1V1n )V1t ( 2V2n )V2t
p1 p2 2V22n 1V12 n
能量方程： 2 V12 V c pT1 n c pT2 2 n 2 2 经过斜激波，气流平行于波面
1 2 3
有限折角
普朗特-迈耶流动：绕外钝角流 动 特点： １、在壁面转折处产生膨胀波束： 马赫波 ２、气流参数连续变化 ３、绝热、等熵、膨胀 ４、气流方向朝着离开波面的方 向（向外）转移，平行于壁面 ５、马赫线：直线，气流参数相 同 ６、膨胀波束中的任一点速度： 气流方向
确定超声速气流沿外凸壁面流动的流线
k 1 k 1
勾画流线的步骤
根据已知条件，确定要计算的膨胀波的数目； 计算每一区间的M数 计算每条膨胀波的r值 勾画流线
例４－５
如图所示，设Ｍ１＝１的直匀流
（θ １＝０°）绕外凸壁折转－５°，求气流的流线
形状。
弱压缩波
弱压缩波：流管截面积变小，气流速度或马赫数 降低，压强增大，wenku.baidu.com温度和密度也将随之增大
2 1 VB VS 2
A p1 p2 A 1 VS VS VB VS
VS p2 p1 2 2 1 1 p2 1 p1 p1 a1 p2 1 p1 k 1 1 2
dV V
d M 1
2
2 1 (M 2 ) (M1)
2 1
超音速气流流过外凸壁流动
例4-1 一个马赫数为1.4的均匀空气流绕外凸壁膨 胀，气流逆时针方向转折20°，计算膨胀波系后的 最终马赫数。
1. 逆时针偏转，右伸膨胀波系 2. 套公式 2 1 (M 2 ) (M1)
激波的形成及传播速度
基本概念
激波：气体受到强烈压缩后产生的强压缩波，也叫强间断 面（即两侧气体参数发生间断的面）。 参数变化：气流经过激波后，流速减小，相应的压强、温 度和密度均升高。 不可逆的耗散过程
不可逆的绝热过程：粘性、热传导
激波厚度：忽略（2.5×10-5）
激波的分类
(M ) C1
普朗特-迈耶函数
普朗特-迈耶角：由普朗特－迈 耶函数表示的声速气流膨胀到 Ｍ数大于1时的气流折转角。
(M ) 1
max
右伸膨胀波
2
(
k 1 1) k 1
(M ) 1 (M1 ) C2
v 与Ｍ 数之间的关系
马赫波极角Φ ：气流从声速开始膨胀到某一Ｍ数时，膨胀 波束的扇形区所张的角度 Φ 与马赫数有关
M 1 M1 C1
(M )
90
90 (M )
膨胀波束扇形区所张的角度：
2 1
正激波：气流方向与波面垂直，如图(a)； 斜激波：气流方向与波面不垂直，如图(b)； 曲线激波：波形为曲线形，如当超声速气流流过钝头物体 时，在物体前面往往产生脱体激波，这种激波就是曲线激 波，图(c)；
激波的形成
气体每受到一次压缩，声速便增大一次 后面产生的微弱压缩波的传播速度必定比前面的快 强压缩扰动波：由许多微弱压缩波在一定条件下累积而成。 激波形成：气体被压缩而产生的一系列压缩波聚集在一起， 就转化为一道激波
p2 k 1 p2 [1 ( ) ] T2 p k 1 p1 1 p2 k 1 T1 p1 k 1
等熵关系和朗金－雨 贡纽关系
普朗特关系式
1V1n 2V2n
p1 p2 2V22n 1V12 n
k p1 V12 k p2 V22 k k 1 2 RT0 a* k 1 1 2 k 1 2 2 k 1 2(k 1)
p2 p3 pa
p4 pa
p5 p6 pa
膨胀波与压缩波的相交
膨胀波A ′ B和压缩波AB 膨胀波BC和压缩波BC ′
4区：方向一致，压强相等
a b
p3 p2
处理马赫波反射或相交问题的步骤
根据壁面折转情况，确定第一道是膨胀波还是压 缩波 分析波后两区气流方向和压强值的不同，判断产 生第二道波的性质 可用反证法进行讨论（比如是否出现楔形真空区 等） 分析波后两区气流方向和压强值的不同，判断产 生第三道波的性质
A OD sin A dA OD sin( d )
各压缩波的波角是逐渐加大；
M1 M 2 M 3
1 2 3
各压缩波将会相交； 在压缩波未相交之前，气流穿过弱
压缩波系的流动为等熵压缩过程；
激波：熵增加 应用：扩压进气道内壁；压气机超 音速级的叶栅剖面
2
k 1 MdM da 2 k 1 2 a 1 M 2
V M a
dV dM da V M a
dV V
dM 2 k 1 2 2M 2 (1 M ) 2
M 2 1dM d k 1 2 M (1 M ) 2
dV d V M 2 1
k 1 1 k 1 tg (M 2 1) tg 1 M 2 1 C1 k 1 k 1
求
2
及 3 。
膨胀波的相交
膨胀波相交仍为膨胀 波；
两压缩波相交仍为压 缩波。
a b
p p0 ( )
例4-8 如图所示，设空气流
1 的 1 1.2， 1 0 ， a ，求②、③、 b
④区中气流的M数。
膨胀波在自由边界上的反射
自由边界：运动介质和其 它介质之间的切向（平行 于速度方向）交界面； 边界特性：接触面两边的 压强相等； 膨胀波在自由边界上反射 为压缩波； 压缩波在自由边界上反射 为膨胀波
3. 查表
例4-4 设平面超声速喷管出口处气流马赫数Ｍ1=1.4，压
强p1=1. 25×105Pa，外界大气压强pa=1×105Pa。求气流经
膨胀波后的M数及气流外折的角度，以及膨胀波角μ1和μ2。
用到附表1：一维等熵流气动 函数表
Ma1P0 膨胀波角μ1 P2/P0Ma2 膨胀波角μ2 外折角v(Ma2)-v(Ma1)
第四章 膨胀波与激波
赵瑞
主要内容
弱扰动的传播规律 普朗特-迈耶流动
弱压缩波
膨胀波的反射与相交
激波的形成及传播速度
斜激波中气体参数的基本关系式 激波的相交与反射
弱扰动在气流中的传播
膨胀波和激波是超声速气流特有的重要现象。 超声速气流在加速时要产生膨胀波，减速时一般 会出现激波。
a V
a V
a V 0
扰动不再往后传播 局限在以o点为 顶点的圆锥里
马赫锥 o1c1 a 1 马赫角：受扰动区域 sin oo V M V V sin a 1 n 马赫面 1 1 sin 马赫波
M
亚音速直匀流流过机翼
无限小的折角
压缩波
膨胀波
超音速直匀流流过锥体和楔形物
弱压缩波：压强 ；密度 ；速度 膨胀波：压强 ；密度 ；速度
与亚声速有何不同？
如果超声速来流速度沿y方向不均分布：
当地马赫角随当地的Ma数变化，马赫线成曲线形状
二维超声速流场中的马赫线
普朗特—迈耶流动
膨胀波的形成及其特点
A ODsin
流线形状
连续方程：
r* *V* r sin V
V r 1 sin * * r* V q(M )
k 1
1 1 2 k 1 2 k 1 [ (1 M )] q( M ) M k 1 2
1 sin M
r 2 k 1 2 [ (1 M )] r* k 1 2
dp VS a d S
激波增强：传播速度增大
p2 2 k 1 , p1 1 k 1
VS
物体在大气运动的情形：激波减弱 当活塞运动速度＜Ｖs：激波减弱 活塞的运动速度与激波传播速度相同：稳定激波
弓形波
激波角
激波：强压缩波
斜激波的形成：当超声速气流流过内凹的曲壁时，曲壁上 的每一个点都相当于一个折点，而每一个折点都发出一道 微弱压缩波。如果把曲壁 逐渐靠近，极限情况下 与 重合， 这些微弱的压缩波聚集在一起，就形成一道斜激波。
p2 p1 V1n V2n 2V2n 1V1n
1
p1 k 1 2 k 1 2 a* V1 2k 2k
k 1 2 k 1 2 a* V2 2k 2k
膨胀波在直固壁上的反射
膨胀波在固壁上反射为膨胀 波，一般反射角r并不等于入 射角i； 压缩波在固壁上反射为压缩 波；
膨胀波的消失
应用
在超声速风洞的喷管设计中，在接近喷 管出口处，特别需要壁面投射到壁面上 的波的反射
例4-7 如图所示，设空气流的 1 1.2,1 0 , 1
例4-6 设有M1=2.21，p1=0.1×105 Pa的超声速气流，
经内凹曲壁内折了δ=28°。求压缩波后气流的数及
压强，并求第一道和最后一道压缩波的波角μ1和
μ2 。
膨胀波的反射与相交
计算处理方法
把超声速气流经过膨胀波系时连续的无数的无限微弱膨 胀，用若干有限数目但仍是很微弱的膨胀步骤来代替。 超声速气流每经过一步微弱的膨胀，气流的流动方向、 数和压强等诸气流参数都将产生微小的变化。 把原来的连续膨胀分得愈细．数目愈多，计算出来的结 果就愈准确。 压缩波
的速度分量不变，而法向速度
分量减小，气流向着波面转折
激波前后参数关系用图
朗金-雨贡纽关系式
k 1 2 1 p 2 k 1 1 k 1 2 p1 k 1 1
关系式与激波角无 关，适用于各种激 波 等熵关系与朗金-雨 贡纽关系
k 1 p2 1 2 k 1 p1 k 1 p2 1 k 1 p1
普朗特－迈耶流动
平面超声速喷管喷出流动
膨胀波的计算
超声速气流流过外凸壁
'Vn'Vt ' VnVt 0
Vt Vt
'
Vt V cos (V dV ) cos( d ) dV d
V M 1
2
dV tgd V
基本微分方程
a0 T0 k 1 2 1 M 2 T 2 a
激波的形成
激波与弱压缩波的区别
激波是强压缩波，经过激波气流参数变化是突跃的； 气体经过激波受到突然地，强烈地压缩，必然在气体内部 造成强烈的摩擦和热传导，因此气流经过激波是绝能不等 熵流动；
激波的强弱与气流受压缩的程度（或扰动的强弱）有直接
关系。
激波的传播速度
A p2 p1 qm VS VB VS
VS VB
p2 p1
1
1 1 1 2
VB
p2 p1 2 1
12
p1 p2 1 11 1 p1 2
激波强度增加， 传播速度也增加
弱激波：弱压缩波
dp p2 p1 p 2 2 a , 1 2 1 d S 1
A dA OD sin( d )
无限小的折角
流管截面积增大
膨胀波：超声速气流流经由
微小外折角所引起的马赫波
ＯＬ，气流加速，压强和密
度下降。
膨胀波的形成
外折线上的膨胀波
外凸曲线上的膨胀波示意图
1 1 sin M1 1 1 2 sin M2
1
M1 M 2 M 3
激波角β ：斜激波波面与波前来流方向的夹角
1 M 2
arcsin
斜激波中气体参数的 基本关系式
基本方程式
连续方程：1V1n 动量方程：
2V2n
( 1V1n )V1t ( 2V2n )V2t
p1 p2 2V22n 1V12 n
能量方程： 2 V12 V c pT1 n c pT2 2 n 2 2 经过斜激波，气流平行于波面
1 2 3
有限折角
普朗特-迈耶流动：绕外钝角流 动 特点： １、在壁面转折处产生膨胀波束： 马赫波 ２、气流参数连续变化 ３、绝热、等熵、膨胀 ４、气流方向朝着离开波面的方 向（向外）转移，平行于壁面 ５、马赫线：直线，气流参数相 同 ６、膨胀波束中的任一点速度： 气流方向
确定超声速气流沿外凸壁面流动的流线
k 1 k 1
勾画流线的步骤
根据已知条件，确定要计算的膨胀波的数目； 计算每一区间的M数 计算每条膨胀波的r值 勾画流线
例４－５
如图所示，设Ｍ１＝１的直匀流
（θ １＝０°）绕外凸壁折转－５°，求气流的流线
形状。
弱压缩波
弱压缩波：流管截面积变小，气流速度或马赫数 降低，压强增大，wenku.baidu.com温度和密度也将随之增大