高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 新人教A版

（2＋9）×8 10×9×8
2
＋ 3×2×1 ＝164.
答案：C
归纳升华 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：先通过观 察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相 互联系，然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来， 使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、 隔行看、从多角度观察．
(3)二项展开式的二项式系数和为C
1 n
＋C
2 n
＋…＋C
r n
＋…＋Cnn.( )
解析：(1)对，由杨辉三角观察可知结论正确． (2)错，二项式展开式中系数与二项式系数是不同的 两个概念，所以最大项也不相同． (3)错，二项展开式的二项式系数和为 C0n＋C1n＋C2n ＋…＋Cnr ＋…＋Cnn. 答案：(1)√ (2)× (3)×
A．144 B．146
C．164 D．461
解析：由题图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，
第 3 项是 C23，第 4 项是 C13……第 15 项是 C29，第 16 项是 C19.
所以 S16＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13
＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(2＋3＋…＋9)＋C310＝
解析：因为只有第 5 项的二项式系数最大，所以n2＋1 ＝5，所以 n＝8.
答案：8
5．(2x－1)6 展开式中各项系数的和为________；各 项的二项式系数和为________．
解析：令展开式左、右两边 x＝1，得各项系数和为 1； 各二项式系数之和为 26＝64.
答案：1 64
类型1 与“杨辉三角”有关的问题(自主研析) [典例1] 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭 头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6， 4，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则S16＝( )
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的 项的系数相等． (2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它 “肩上”两个数的和，即Crn＋1＝_C__nr－_1_＋__C_rn_．
2．二项式系数的性质
(1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系 数相等，它反映了组合数性质_C_nm_＝__C__nn－_m_．
[变式训练] 在由二项式系数所构成的杨辉三角形 中，第________行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.
解析：由题可设第 n 行的第 14 个与第 15 个数的比为
2∶3，即二项展开式的第 14 项和第 15 项的系数比为 C1n3∶
n！
n！
C
14 n
＝
2∶3
，
即
13！（n－13）！
(2)增减性与最大值．当 k＜n＋2 1时，二项式系数是逐 渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减少的，且在 中间取得最大值．当 n 为偶数时，中间一项的二项式系
n 数 C2n 取得最大值；当 n 为奇数时，中间的两项
__________相等，且同时取得最大值．
(3)①各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋… ＋Cnn＝2n．
2．关于(a－b)10 的说法，错误的是( ) A．展开式中的二项式系数之和为 1 024 B．展开式中第 6 项的二项式系数最大 C．展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大 D．展开式中第 6 项的系数最小
解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系 数的性质知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为 偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第 6 项的系数是负数， 所以是系数中最小的．
∶
14！（n－14）！
＝
2∶3，即n－1413＝23，解得 n＝34.
答案：34
类型 2 二项展开式系数的和的相关问题
[典例 2] 在二项式(2x－3y)9 的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和 a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令 x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令 x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59，
59－1 以上两式相加可得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ 2 .
(4)法一 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3 ＋…－a9＝59.
法二 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9 展开式 中各项系数之和，
令 x＝1，y＝1 得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
②展开式的偶数项的二项式系数与奇数项的二项式 系数相等，都等于 2n－1．
温馨提示 在求二项式系数的最大值时，要注意讨论
n 的奇偶性．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数
列．( )
(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项
是相同的．( )
答案：C
3．如图所示是一个类似杨辉三角的图形，则第 n 行 的首尾两个数均为________．
1 33 565 7 11 11 7 9 18 22 18 9
…
解析：由 1，3百度文库5，7，9，…可知它们成等差数列， 所以 an＝2n－1.
答案：2n－1
4．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最 大，则 n 等于________．
第一章 计数原理
1.3 二项式定理 1．3.2 “杨辉三角”与
二项式系数的性质
[学习目标] 1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与 组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的 观察能力、分析能力和归纳推理能力(重点)． 2.理解二 项式系数的性质，并会简单应用(难点)． 3.会用“赋值 法”解题(重点)．
归纳升华 1.对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n ∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只 需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其 展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．