经典的双曲线复习课件(修改)

抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－ 5，0)，点P
位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲
线的方程是
( )．
A.x42－y2＝1
B．x2－y42＝1
C.x22－y32＝1
D.x32－y22＝1
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解析
设双曲线的标准方程为
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，则ab＝12.
③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴a92－b42＝1.
④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
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法二
由双曲线的渐近线方程为y＝±
1 2
x，可设双曲线方程
为2x22－y2＝λ(λ≠0)．
双曲线的离心率等于
( )．
A.3
14 14
B.3 4 2
3
4
C.2
D.3
解析 由双曲线的右焦点为(3,0)，知c＝3，即c2＝9，
又∵c2＝a2＋b2，∴9＝a2＋5，即a2＝4，a＝2.故所求离心率
e＝ac＝32.
答案 C
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3．(2013·大连模拟)设P是双曲线1x62 －2y02 ＝1上一点，F1，F2
第6讲 双曲线
【高考会这样考】 1．考查利用双曲线的定义求动点的轨迹方程或某些最值问
题． 2．考查双曲线的离心率与渐近线问题．
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复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝
( )．
A．1
B．17
C．1或17
D．以上答案均不对
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解析 由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝ 1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a
＝6－4＝2>1，∴|PF2|＝17. 答案 B
解析 由题意，双曲线的焦点在x轴上，所以e＝
m2＋m＋4＝ m
5，所以m＝2.
答案 2
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考向一 双曲线定义的应用
【例1】►(2012·辽宁)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两 个 焦 点 ， 点 P 为 双 曲 线 上 一 点 ， 若 PF1⊥PF2 ， 则 |PF1| ＋ |PF2|的值为________． [审题视点] 结合双曲线的定义与勾股定理求解．
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考点自测
1．(课本改编题)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
( )．
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析 将双曲线2x2－y2＝8化成标准方程x42－y82＝1，
则a2＝4，所以实轴长2a＝4.
答案 C
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2．(2012·福建)已知双曲线ax22－y52＝1的右焦点为(3,0)，则该
解题时更简便．
(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程
时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，据其他条件确
定λ的值．
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【训练2】 已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)和椭圆1x62 ＋y92＝ 1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两 倍，则双曲线的方程为________．
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
y
M
F1 O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做
双曲线的半虚轴长
a，b，c的 关系
c2＝ a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
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【助学·微博】 一条规律 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝ 2 ⇔双曲线 的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
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x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)，由PF1
的中点为(0,2)知，PF2⊥x轴，P(
5
，4)，即
b2 a
＝4，b2＝
4a，∴5－a2＝4a，a＝1，b＝2，∴双曲线方程为x2－y42＝1.
答案 B
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5．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线xm2－ m2y＋2 4＝1的离心率为 5，则m的值为________．
解析 由题意知双曲线的焦点为(－ 7 ，0)，( 7 ，0)，即c ＝ 7，又因为双曲线的离心率为e＝ac＝247，所以a＝2，故 b2＝3，所以双曲线的方程为x42－y32＝1. 答案 x42－y32＝1
∵A(2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
答案 y82－3x22 ＝1
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Байду номын сангаас
(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定
时，其标准方程可设为
x2 m
－
y2 n
＝1(mn>0)，这样可避免讨论
和复杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，这种形式在
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线 ． 这 两 个 定 点 叫 双 曲 线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 ．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数且a>0，c>0；
性
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
质
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
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渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率 e＝ac，e∈ (1，＋∞) ，其中c＝ a2＋b2 性
质
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝
实虚轴 2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长
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解析 法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为
ax22－by22＝1(a>0，b>0)，则ba＝12.
①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴a42－b92＝1.
②
由①②联立，无解．
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若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a<2c ；
思考：
（2）2a >0 ；
F1 o F2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ 抓(住32)个考线点 段F1突F破23的个考垂向 直平揭秘分3年高线考
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考向二 求双曲线的标准方程 【例2】►已知双曲线的渐近线方程为y＝±12x，且经过点
A(2，－3)，则双曲线的标准方程为________．
[审题视点] 分别讨论双曲线的焦点在x轴上和y轴上，设出 相应的标准方程可解；也可根据渐近线方程的形式设出双 曲线的方程，再进行求解．
x2 a2

y2 b2
1(a
0,b

0)
y2 a2

x2 b2
1(a
0,b 0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
2、渐近线：
2、渐近线：
y
b
P(a,b)
o
-a
a
x
-b
考点梳理
两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△
PF1F2的面积等于
( )．
A．4 2
B．8 3
C．24
D．48
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解析 由|3P|PFF1|1－|＝|P4F|P2|F＝2|2，， 可解得||PPFF12||＝ ＝86， . 又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形， 则S△PF1F2＝12|PF1|×|PF2|＝24. 答案 C
答案 2 3
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双曲线定义的应用 (1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线． (2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题．在圆锥曲 线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简 化．
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【训练1】 (2012·郑州二模)设F1，F2是双曲线x2－2y42 ＝1的
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两种方法 求双曲线方程的两种方法： (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲 线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方 程； (2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出 标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定 量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为mx22－ny22 ＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
①当 a<c 时，P点的轨迹是双曲线； ②当 a＝c 时，P点的轨迹是 两条射线 ； ③当 a>c 时，P点不存在．
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2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥ a 或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
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解析 不妨设|PF1|>|PF2|.由双曲线方程x2－y2＝1知a＝b＝ 1，c＝ 2，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 由已知条件PF1⊥PF2及勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝ (2c)2＝8，上述两式联立，解得|PF1|＝ 3 ＋1，|PF2|＝ 3 － 1，故|PF1|＋|PF2|＝2 3.
则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
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双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点 a.b.c的关
系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 a2 b2 1(a b 0) y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
4.化简
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y
F1 O
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M
M
F2 x
F2 x
O
F1
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1
(a 0，b 0)
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双曲线定义及标准方程
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
Y Mx, y
2. 引入问题：
O
F1 c, 0
F2 c, 0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
双曲线图象
抓住2个考点
拉链画双曲线
突破3个考向
y
y
M M
F2
图象
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2

y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
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问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为正，
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
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双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
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思 考：
平面内与两 定点F1，F2 的距离的差 为非零常数 的点的轨迹 是什么？
定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的
焦距.
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①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a