〔高中数学〕二次曲线复习PPT课件 人教版

二次曲线小结 二次曲线小结
曹杨职校
授课 人： 陈开运
学
圆
习 导
椭圆
航
与 要
双 双曲曲线线
求
抛物线
二次曲线小结
双曲线定义的盲点
双曲线的渐近线
概
念
的
直线与双曲线关系
精
细 化
离心率分析
几种曲线定义
曲线与方程
曲线的切线
观 看 网 上 动 态 曲 线
曲 线 的 个 性 与 共 性
技 巧 与 题 型 归 类
附 录
▪ 离心率与圆周率是几何中的两大比率， 抛物线，双曲线。
它们的共同特点：均为两个定量的有 ▪ “对立统一，量变到质变”
序之比，区别在于前者适用于二次曲 线，后者只适用于圆；e值有相对的 任意性（可变），π却具有唯一性 （无理常数）。
▪ 离心率深刻揭示了二次曲线的实质， 沟通了它们的关系。椭圆，双曲线， 抛物线三者关系密切，是同一定义
▪ 双曲线定义：“平面内与两个定 ▪ 盲点3 ：“常数”
点 量 双F（曲1F小线2的于。距|”F1离F2之|）差的的点绝的对轨值迹是叫常做 ▪ 定义内有三个盲点：“小于
▪ 若常数等于零，点的轨迹是 什么？经过演示，不难发现 点 线的 。轨迹是线段F1F2的中垂
▪
|稍F1有F2不|”，慎，“就绝回对出值错”。，“常数”， 盲点1：“小于|F1F2|”
两圆的圆心(a1,b1),(a2,b2),两圆的半径r1,r1 两圆的圆心距 d(a1a2)2(b1b2)2
系。 ▪ 学习导航： ▪ 圆的定义与标准方程 圆的几何定义
d的 范围
位置 关系
0 同心
~
内含
|r1r2|
内切
~
相交
r1+r2
外切
d>r1+r2
外离
▪ 几何量间的关系d(P,M)=r
代数等
式
(x-a)2+(y-b)2=r2 ,a,b,r的意义。
▪ 双曲线的渐进线但与双曲线仅有 一个交点，而并不相切。因此， 直线与双曲线只有一个交点，是 直线与双曲线相切的必要而非充 分条件。
什么时候直线与双曲线有一个交 点？两个交点？没有交点？
双曲线的标准方程与性质
标准方程 图形
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
顶点 对称轴
(-a,0) (a,0) X轴y轴，实轴2a，虚轴2b
* x=a+rcosθ (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 y=b+rsinθ
圆心在(-D/2,-E/2),半 径为 D2 E2 4F
4
*过三点A(x1,y1)， B(x2,y2)C(x3,y3)的圆
**过圆 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆
对称中心 (0,0)
焦点 (离心率) 焦距 渐进线
(-c,0) (c,0) e=c/a
|F1F2|=2c c2=a2+b2 y=±bx/a
(0,-a) (0,a) X轴y轴，实轴2a，虚轴2b
(0,0) (0,-c) (0,c)
e=c/a |F1F2|=2c c2=a2+b2 y=±ax/b
双曲线定义的三个“盲点”
M(x,y),定点F(p,0)所以
与长度有序之比，e=c/a>0
▪
(x p)2 y2 e
整理即得
▪ 离心率取值范围：椭圆：2c<2a,故 0<e<1,在双曲线：2c>2a,得 e>1,按 抛物线定义，e=1。
x
▪ （1-e2)x2+y2-2px+p2=0当 0<e<1,e=1,e>1方程分别是椭圆，
圆的公式
图形
直角坐标方程
圆心在原点，半径为 x2+y2=r2
r
圆心在(r,0),半径为r x2+y2=2rx
参数方程 过圆上一点（ x0,y0)的切线
* x=rcosθ x0x+y0y=r2 y=rsinθ
* x=r(1+cosθ) xox+yoy=r(x+xo) y=rsinθ
圆心在（a,b),半径为r (x-a)2+(y-b)2=r2
▪
通过坐标平移可以消去一次项，简化方 ▪
程的表达式。
坐标系的改变，曲线的位置形状和大小
都没有改变，点的坐标和方程也随之改
变。
坐标的平移公式：x=x’+h
x’=x-h
y=y’+k
y’=y-k
主要题目类型：
1。已知原坐标系，新坐标原点，求一些 点和方程的在新坐标系中的表达式。
2。已知新坐标系，原坐标的原点，求一 些点和方程的在原坐标系中的表达式。
▪ 特别：
▪ 1.椭圆的焦点一定在长轴上，
▪ 2. a,b,c三个参数的关系是满足以 a为 斜边的 直角三角形勾股定理a2=b2+c2。
▪ 3.标准方程中a对应的变量x（或y)，表 明焦点就在x轴（或y轴）。
▪ 直线与椭圆的位置关系：
▪ 把直线与椭圆的方程组消元后得 一元二次方程，它的判别式Δ>0 直线与椭圆相交
▪ Δ=0直线与椭圆相切
▪ Δ <0直线与椭圆相离
椭圆的标准方程与性质
标准方程
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
y2 a2
x2 b2
1(ab0)
图形
顶点 对称轴
（-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b) x轴y轴，长轴长2a，短轴长2b
对称中心 焦点 焦距 (离心率)
（0，0） （-c,0)(c,0),焦点在x轴 |F1F2|=2c,c2=a2-b2
关于相切： （1） 过圆上一点（x0,y0)
▪ 由(x-a)2+(y-b)2=r2
x2+y2+Dx+Ey
公式法： （x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
▪ +F=0 且与Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0比
较，得出圆方程
A=C≠0，B=0，
且D2+E2-4F>0
判别式法：设切线y-y0=k(x-x0)代入圆方 程，消去 y得相应x的二次方程，由 判别式Δ=0可求得 k 从而得切线。
x2+y2+Dx+Ey+F=0
x2+y2 x y 1
x12+y12
x22+y22 =0
x1 y1 1 x2 y2 1
x32+y32 x3 y3 1
m(x2+y2+D1x+E1y+F1 ) +n(x2+y2+D2x+E2y+F2)
=0
x0x+y0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/ 2+F=0
椭圆的学习要求与导航
e=c/a
(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0) x轴y轴,长轴长2a，短轴长2b
（0，0） （0，-c)(0,c),焦点在y轴 |F1F2|=2c.c2=a2-b2
e=c/a
双曲线的学习要求和学习导航
▪ 学习要求 ▪ 知道双曲线的定义，理解双曲线
标准方程的参数a,b,c,e的几何意 义和相互关系，根据条件熟练写 出双曲线的标准方程，灵活应用 双曲线的定义，方程及性质解有 关问题。 ▪ 学习导航 ▪ 学习时，要与椭圆的标准方程进 行比较，加深这两种曲线之间的 区别和联系。 ▪ 必须理解双曲线参数 a,b,c,e是双 曲线所固有的，与坐标的建立无 关。 ▪ 双曲线有心但不封闭，所以存在 这样的特殊情况，直线平行
3。二次曲线方程经过配方成完全平方式
用平移公式简化。 4。把x=x’+h , y=y’+k 代入曲线 方程，使一次项系数为0，简化 曲线方程。
你还想学点吗？
▪ 除了书本上二次曲线的定义外，还 ▪ 又以焦点F为极点，经过焦点作
有一种统一的定义：平面上，一个
准线l的垂线为极轴（取垂足到焦
动点到一个定点和一条定直线的距 离之比是一个常数，动点的轨迹叫 做圆锥曲线。这一定点叫做焦点，
a2 )0
x02 a 2
说明了①在第一象限内，对同样的x渐近 线的值大于双曲线的值，②x无限增大，
y1-y0 也无限趋向于0
思考题： ①你能说说离心率e与双曲线渐近线开口 大小的关系吗？ ②你能举出其他已学的函数或方程的曲
线的渐近线的例子吗？
抛物线的学习要求和学习导航
▪ 学习要求
▪ 掌握抛物线的定义，熟记四种标准方 程，了解 焦参数 p 的几何意义，掌握 抛物线的几何性质并能运用解决有关 问题。
所以直线与抛物线相切并不是直线
与抛物线只有一个公共点的充要条 件。
图形
方程
y2=2px y2=-
2px
对称轴 y=0
y=0
x2=2py x2=2py
x=0 x=0
焦点 准线
(p/2,0) (-
(0,p/2) (0,-
p/2,0)
p/2)
x=-p/2 x=p/2 y=-p/2 y=p/2
坐标平移
二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
▪ ▪ ▪
x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心（-D/2，-E/2）
半径 r= D2 E2 4F 4
圆与直线的关系，圆心M（a,b),半径r
几何法：由圆心到切线距离r确定k而得切 线。
（2）圆外一点（x0,y0)的切线可仿上述 判别式法、几何法处理。
▪
直线 Ax+By+C=0,
AaBbC d
A2 B2
▪ e 0椭圆
圆，e 1,
椭圆变得愈来愈扁，e=1为抛物
线，e>1为双曲线，e 增大，则
▪ b/a= e2 1也变大，双曲线开口 变大，反之，开口变小。 E趋向 于1时，渐近线倾斜角近于0。
点的方向为正方向），建立极坐 圆 标系，得到极坐标系中圆锥曲线 锥 的统一方程 截
定直线叫做准线，这个常数叫做离 线 心率。离心率小于1时叫做椭圆，离
1eecpos
心率大于1时叫做双曲线，离心率等
于1时叫做抛物线。
思考题
▪ 以焦点F为原点，经过焦点作准线l 的垂线为x轴，（取垂足到焦点的方 向为正方向）建立直角坐标系。设 焦点到准线的距离为p ,离心率为e， 可得到直角坐标系中圆锥曲线的统 一方程：
1，一个动点到两个定点（-3，0） （3，0）的斜率的积为-1，这轨 迹是什么曲线？
若斜率的积为-1/4，是什么曲 线？若斜率的积为1/4，是什么 曲线？
2，一个动点到两个定点（-3，0）
▪ (1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0
（3，0）的距离的平方差为常量，
这轨迹是什么曲线？
你还想学点吗？---离心率概念分析
▪ ▪
思考题： 学习椭圆，抛物线的定义要 注意什么？
▪ 将 经“过小演于示|，F1点F2的|”改轨成迹“不大存于在|。F1将F2|”，
“ 经小过于演|示F1，F2点|”改的成轨“迹等不于再|是F1双F2曲|”，
线 线，。而是以F1F2为起点的两条射
▪ 盲点2： “绝对值”
▪ 若将“绝对值”去掉，经过演示 点的轨迹不再是两支曲线，只有 一支，即左支或右支。
双曲线愈来愈接近直线y=± b/a x, 并且不论
Leabharlann Baidu
x
有多大，在第一象限内总有：
ybx a
1ax22
bx a
X无限变大，双曲线无限逼近渐近线，但永远
不会相连接。
设在第一象限y内1 取yx00
对应y0 ，有
b a
( x0
，ba渐x近0 线ba对应x 0y21,双a曲2 线
x02 a 2 )
b (
a x0
▪ 学习要求
▪ 知道椭圆定义并推出椭圆标准方程，理 解参数a,b,c,e 的相互关系和几何意义。
▪ 能灵活应用椭圆定义、方程及性质解决 问题（椭圆作图）。
▪ 学习导航
▪ 椭圆方程的定义及参数a,b,c,(e)是椭圆 所特有的，与坐标无关。 a>b>0,c2=a2b2,(e=c/a)必须牢固掌握。
▪ 椭圆的性质（有心、封闭的曲线），椭 圆曲线的范围，掌握曲线（椭圆）对称 性的判别，与坐标轴的交点。
▪ 学习导航
▪ 掌握抛物线的定义，推导和建立抛物 线的标准方程。用定义解题有时更简 洁，虽然抛物线只一个参数，只须一 个条件就可以求出，但有四个标准方 程，所以必须掌握它的特征和对应的 抛物线的开口方向，对称轴，焦点位 置和准线的关系。
▪ 了解二次曲线的几种定义，对提高解 题能力是有帮助的。
▪ 直线与抛物线的位置关系，特别注意 相切的情况。由于抛物线与对称轴只 一个交点，而它不是抛物线的切线，
二次曲线发展史 目标诊断题
纲要信号图表
一般二次方程的讨论
Excel作图
圆的学习要求和导航
继续
▪ 学习要求：
d>r相离，d=r相切，d<r相交
▪ 掌握由圆的定义推导圆的标准方程，理
圆与圆关系
解参数 a,br的几何意义，掌握一般方程 和标准方程的互化，用圆方程解决有关 问题，解决直线与圆、圆与圆的位置关
双曲线与它的渐近线
双曲线方程
x2 y2 1 a2 b2
可得 yb x2 a2
a
可以看出，随着 x无限变大，y也无限变大
所以双曲线是无界的，为了更好研究它无限
伸展的趋势，把上式改为 y b x 当x无限变大时， a 2 趋近于0 a
a2 1 x2
x2
这时，y就渐近于±b/a x，说明当x无限增大，
▪ 离心率是反映了二次曲线的形态及性 ▪ 下的不同表现。三种曲线可统一
质的重要概念。
定义为：平面内到一定点和一定
▪ 引入定义：椭圆的焦距2c与长轴2a 的比叫做椭圆的离心率，类似的给出
直线的距离之比等于常数e的动 点轨迹叫二次曲线。
了双曲线，抛物线的离心率定义。
▪ 建立适当的坐标，轨迹上任一点
▪ 离心率定义 有两个要点：一个距离