高考数学大一轮总复习 第十章 第6讲 双曲线课件 理
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【例 2】 已知三点 P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)． (1)求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆标准方程； (2)设点 P、F1、F2 关于直线 y＝x 的对称点分别为 P′、F1′、 F2′，求以 F1′、F2′为焦点且过点 P′的双曲线的标准方程．
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22
【解答过程】 (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为ax22＋by22 ＝1(a＞b＞0)，其半焦距 c＝6,
设所求双曲线的标准方程为ay221－bx221＝1(a1＞0，b1＞0)， 由 题 意 知 ， 半 焦 距 c1 ＝ 6,2a1 ＝ ||P′F1′| － |P′F2′|| ＝ | 112＋22－ 12＋22|＝4 5，a1＝2 5，b21＝c21－a21＝36－20＝16. 所以所求双曲线的标准方程为2y02 －1x62 ＝1.
2a＝|PF1|＋|PF2|＝ 112＋22＋ 12＋22＝6 5， 所以 a＝3 5，b2＝a2－c2＝9. 所以所求椭圆的标准方程为4x52 ＋y92＝1.
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23
(2)点 P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)，关于直线 y＝x 的对称点 分别为点 P′(2,5)、F1′(0，－6)、F2′(0,6)．
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11
5.过点(2，－2)，且与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双
曲线方程为
.
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12
解析：依题意设待求的双曲线方程为x22－y2＝λ(λ≠0)， 将(2，－2)代入得 λ＝222－(－2)2＝－2， 从而得所求双曲线方程为x22－y2＝－2， 即y22－x42＝1.
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.
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26
解析：由题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上， 且 c＝ 2，a＝1，则 b2＝c2－a2＝1， 所以双曲线 C 的方程为 x2－y2＝1.
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27
【跟踪训练 4】(2014·广东梅州一模)已知双曲线 C 的焦点、
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24
【温馨提示】 求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点 的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设 双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)．
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【跟踪训练 3】 (2014·北京)设双曲线 C 的两个焦点为 (－ 2，0)，( 2，0)，一个顶点是(1,0)，则 C 的方程为
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7
3.已知双曲线2x52 －1y62 ＝1 的右支上一点 P 到其右焦点的距
离是 8，则点 P 到左焦点的距离是( A )
A．18
B．3
C．18 或 3
D．13 或 3
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8
解析：由已知及双曲线的定义可知|PF 左|－|PF 右|＝ 10，则|PF 左|＝10＋8＝18，故选 A.
m 的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．(－2，－1)
C．(－∞，－1)
D．(1,2)
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18
解析：由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.
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【跟踪训练 2】 双曲线 y2－4x2＝64 上一点 P 到它的一个
焦点的距离等于 1，则 P 到它的另一个焦点的距离等于
13
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14
一 双曲线的定义及应用
【例 1】(1)动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2，
则点 P 的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
(2)若 k∈R，则“k＞3”是“方程k－x23－k＋y23＝1 表示双曲
线”的( )
百度文库
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
答案：(1)D (2)A
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16
【温馨提示】 双曲线定义的应用有两个方面：(1)判断 轨迹方程；(2)解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题，在 圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过 程简化．
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17
【跟踪训练 1】 如果方程m＋x2 2＋m＋y2 1＝1 表示双曲线，则
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9
4.已知双曲线 C：ax22－by22＝1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C
的渐近线上，则 C 的方程为( A )
A.2x02 －y52＝1
B.x52－2y02 ＝1
C.8x02 －2y02 ＝1
D.2x02 －8y02 ＝1
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10
解析：设双曲线 C：ax22－by22的半焦距为 c， 则 2c＝10，c＝5. 又因为 C 的渐近线为 y＝±abx，点 P(2,1)在 C 的渐近线上， 所以 1＝ba·2，即 a＝2b. 又 c2＝a2＋b2，所以 a＝2 5，b＝ 5， 所以 C 的方程为2x02 －y52＝1.
为
.
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20
解析：将双曲线 4x2－y2＋64＝0 化成标准形式：6y42 －1x62 ＝ 1，所以 a2＝64，b2＝16.
P 到它的一个焦点的距离等于 1， 设 PF1＝1，因为|PF1－PF2|＝2a＝16， 所以 PF2＝PF1±16＝17 或－15(舍去)．
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二 求双曲线的标准方程
C．充要条件
完D整版．pp既t 不充分也不必要条件 15
【解答过程】 (1)|PM|－|PN|＝2＝|MN|，点 P 的轨迹为一 条射线，故选 D.
(2)依题意：“方程k－x23－k＋y23＝1 表示双曲线”可知(k－ 3)(k＋3)＞0，求得 k＞3 或 k＜－3，则“k＞3”是“方程k－x23－ k＋y23＝1 表示双曲线”的充分不必要条件．
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1
第6讲 双曲线
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2
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3
1.(2014·全国
Ⅰ
)已知双曲线ax22－
y2 3
＝1(a>0)
的
离
心
率
为 2，则 a＝( D )
A．2
6 B. 2
C.
5 2
D．1
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4
解析：由题意得 e＝ a2a＋3＝2， 所以 a2＋3＝2a，所以 a2＋3＝4a2， 所以 a2＝1，所以 a＝1.
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5
2.(2015·广
东惠州
模拟
)
若双
曲线
x2 a2
－by22＝
1
的离心率为
3，则其渐近线的斜率为( B )
A．±2
B．± 2
C．±12
D．±
2 2
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6
解析：因为双曲线ax22－by22＝1 的离心率为 3， 所以 e＝ac＝ 1＋ab2＝ 3， 解得ab＝ 2. 所以其渐近线的斜率为± 2.
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【解答过程】 (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为ax22＋by22 ＝1(a＞b＞0)，其半焦距 c＝6,
设所求双曲线的标准方程为ay221－bx221＝1(a1＞0，b1＞0)， 由 题 意 知 ， 半 焦 距 c1 ＝ 6,2a1 ＝ ||P′F1′| － |P′F2′|| ＝ | 112＋22－ 12＋22|＝4 5，a1＝2 5，b21＝c21－a21＝36－20＝16. 所以所求双曲线的标准方程为2y02 －1x62 ＝1.
2a＝|PF1|＋|PF2|＝ 112＋22＋ 12＋22＝6 5， 所以 a＝3 5，b2＝a2－c2＝9. 所以所求椭圆的标准方程为4x52 ＋y92＝1.
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(2)点 P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)，关于直线 y＝x 的对称点 分别为点 P′(2,5)、F1′(0，－6)、F2′(0,6)．
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5.过点(2，－2)，且与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双
曲线方程为
.
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解析：依题意设待求的双曲线方程为x22－y2＝λ(λ≠0)， 将(2，－2)代入得 λ＝222－(－2)2＝－2， 从而得所求双曲线方程为x22－y2＝－2， 即y22－x42＝1.
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.
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解析：由题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上， 且 c＝ 2，a＝1，则 b2＝c2－a2＝1， 所以双曲线 C 的方程为 x2－y2＝1.
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【跟踪训练 4】(2014·广东梅州一模)已知双曲线 C 的焦点、
完整版ppt
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【温馨提示】 求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点 的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设 双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)．
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【跟踪训练 3】 (2014·北京)设双曲线 C 的两个焦点为 (－ 2，0)，( 2，0)，一个顶点是(1,0)，则 C 的方程为
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3.已知双曲线2x52 －1y62 ＝1 的右支上一点 P 到其右焦点的距
离是 8，则点 P 到左焦点的距离是( A )
A．18
B．3
C．18 或 3
D．13 或 3
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解析：由已知及双曲线的定义可知|PF 左|－|PF 右|＝ 10，则|PF 左|＝10＋8＝18，故选 A.
m 的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．(－2，－1)
C．(－∞，－1)
D．(1,2)
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解析：由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.
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【跟踪训练 2】 双曲线 y2－4x2＝64 上一点 P 到它的一个
焦点的距离等于 1，则 P 到它的另一个焦点的距离等于
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一 双曲线的定义及应用
【例 1】(1)动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2，
则点 P 的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
(2)若 k∈R，则“k＞3”是“方程k－x23－k＋y23＝1 表示双曲
线”的( )
百度文库
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
答案：(1)D (2)A
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【温馨提示】 双曲线定义的应用有两个方面：(1)判断 轨迹方程；(2)解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题，在 圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过 程简化．
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【跟踪训练 1】 如果方程m＋x2 2＋m＋y2 1＝1 表示双曲线，则
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4.已知双曲线 C：ax22－by22＝1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C
的渐近线上，则 C 的方程为( A )
A.2x02 －y52＝1
B.x52－2y02 ＝1
C.8x02 －2y02 ＝1
D.2x02 －8y02 ＝1
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解析：设双曲线 C：ax22－by22的半焦距为 c， 则 2c＝10，c＝5. 又因为 C 的渐近线为 y＝±abx，点 P(2,1)在 C 的渐近线上， 所以 1＝ba·2，即 a＝2b. 又 c2＝a2＋b2，所以 a＝2 5，b＝ 5， 所以 C 的方程为2x02 －y52＝1.
为
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解析：将双曲线 4x2－y2＋64＝0 化成标准形式：6y42 －1x62 ＝ 1，所以 a2＝64，b2＝16.
P 到它的一个焦点的距离等于 1， 设 PF1＝1，因为|PF1－PF2|＝2a＝16， 所以 PF2＝PF1±16＝17 或－15(舍去)．
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21
二 求双曲线的标准方程
C．充要条件
完D整版．pp既t 不充分也不必要条件 15
【解答过程】 (1)|PM|－|PN|＝2＝|MN|，点 P 的轨迹为一 条射线，故选 D.
(2)依题意：“方程k－x23－k＋y23＝1 表示双曲线”可知(k－ 3)(k＋3)＞0，求得 k＞3 或 k＜－3，则“k＞3”是“方程k－x23－ k＋y23＝1 表示双曲线”的充分不必要条件．
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第6讲 双曲线
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2
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1.(2014·全国
Ⅰ
)已知双曲线ax22－
y2 3
＝1(a>0)
的
离
心
率
为 2，则 a＝( D )
A．2
6 B. 2
C.
5 2
D．1
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解析：由题意得 e＝ a2a＋3＝2， 所以 a2＋3＝2a，所以 a2＋3＝4a2， 所以 a2＝1，所以 a＝1.
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2.(2015·广
东惠州
模拟
)
若双
曲线
x2 a2
－by22＝
1
的离心率为
3，则其渐近线的斜率为( B )
A．±2
B．± 2
C．±12
D．±
2 2
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解析：因为双曲线ax22－by22＝1 的离心率为 3， 所以 e＝ac＝ 1＋ab2＝ 3， 解得ab＝ 2. 所以其渐近线的斜率为± 2.